Основная теорема арифметики
Теорема. Любое натуральное число больше 
либо является простым числом, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка сомножителей.
Доказательство теоремы разбивается на несколько лемм.
Следствие 1. Пусть 
Тогда 
равен произведению всех общих простых сомножителей с наименьшими степенями.
Следствие 2. Пусть 
Тогда 
равно произведению всех различных простых сомножителей с наибольшими степенями.
Следствие 3. 
Пример 1. Пусть 
Тогда 
Пример 2. Если произведение двух взаимно простых сомножителей является квадратом, то каждый сомножитель является квадратом.
Доказательство. Пусть 
Так как 
и 
взаимно простые, то в их разложении участвуют различные простые сомножители. Тогда в произведении 
которое является квадратом, все простые сомножители различные и имеют четные показатели. □
Пример 3. Пусть 
Тогда сумма всех делителей числа равна 
Действительно, общий делитель числа имеет вид 
а сумма делителей равна
Далее по формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем исходное выражение. □
Например, 
Пример 4. Пусть Тогда число различных делителей числа равно 
Действительно, число 
равно числу сомножителей в формуле 
□
Пример 5.
1) Найти все числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных делителя.
2) Найти все числа, которые делятся на 10 и имеют ровно 15 различных делителей.
Решение.
1) Так как 
то исходное число делится на 
и по Утв.13 
Следовательно, может иметь только три различных простых сомножителя 
и
степени которых могут быть равны 
или 
Ответ: 
2) Так как 
то исходное число делится на 
и по Утв.13 
Следовательно, может иметь только два различных простых сомножителя 
и 
степени которых равны или 
Ответ: 
Пример 6.
1) Натуральное число 
имет ровно 6 различных делителей, сумма которых равна 104.
Пример 7. Найти все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 
а наибольший общий делитель равен 
Решение. Пусть 
исходные числа. Так как 
простое число, а 
то по следствиям основной теоремы арифметики только число 
входит в разложение обоих чисел, а для чисел и возможны варианты: 
Ответ: 
Пример 8. Найдите натуральные числа 
разность которых равна 42, а НОК
