Основы научных исследований (стр. 10 )

Если , следовательно, величина BR распределена как χ2 - критерий с числом степеней свободы N-1. Если BR < BT = cT2 [pD; f = N – 1], то это свидетельствует об отсутствии значимого различия между дисперсиями , т. е. об их однородности. Если случайные величины Yu не имеют нормального распределения, то применять критерий Бартлета не рекомендуется, так как он получен при условии нормального распределения этих величин.

11.6. Сравнение выборочной средней c теоретически предполагаемым средним или стандартным значением

Пусть проведен ряд измерений технологического параметра или свойств продукта и получено N значений, среднее выборочное значение которых равно .

Первый случай (выборка большого объема). Чтобы применить нулевую гипотезу H0: о равенстве генеральной средней M{Y} нормальной совокупности с известной дисперсией (которая найдена теоретически, или вычислена по выборке большего объема) σ2{Y} ≈ S2{Y} предполагаемому (гипотетическому) генеральному среднему или стандартному значению Y0, пользуются критерием

(11.6)

Случайная величина uR распределена нормально, причем если нулевая гипотеза справедлива, то M{uR} = 0 и s{uR} = 1.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. При конкурирующей гипотезе H1: используется двусторонний табличный критерий, который определяется по равенству

(11.7)

где - функция Лапласа (см. приложение 5).

При конкурирующей гипотезе H1: используется односторонний табличный критерий, который определяется по равенству

(11.8)

Если или , то при заданном уровне значимости a нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Еcли или , то нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай (выборка малого объема). Если дисперсия s2 генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то для проверки гипотезы H0: используется критерий

(11.9).

Случайная величина tR имеет распределение Стьюдента с f = m-1 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

При конкурирующей гипотезе H1: используется двусторонний критерий , который определяется по приложению 3 по заданному уровню значимости a и f = m-1.

При конкурирующей гипотезе H1: используется односторонний критерий , который определяется по заданному уровню значимости a и f = m-1. Если или , то нет основания отвергать нулевую гипотезу, и выборочная средняя незначимо отличается от предполагаемой средней и постоянной стандартной величины.

В тех случаях, когда по данным проведенного эксперимента разница оказалась при pD = 0,95 незначимой, рекомендуется проверить при большем объеме выборки. В случае определения наименьшего объема m, при котором с заданной вероятностью разность оказалась бы значимой, используют формулу (11.9). При этом приравнивают и получают

(11.10)

Определив значение K1 правой части формулы (11.10), находят исходный объем m по приложению 6 для полученного K1 и заданной доверительной вероятности. Двусторонний критерий используется при H0: и односторонний – при H0: или

При планировании эксперимента для сравнения выборочной средней с постоянной величиной (без предварительного эксперимента) рекомендуется в формуле (11.10) брать разницу , которую по технологическим соображениям следует считать наименьшей, и величину S{Y}, которая предположительно может быть в данном эксперименте.

Пример 11.5. Проведено 200 измерений прочности пряжи и получены средние значения и S{Y}=30. Необходимо проверить, значимо ли различие выборочной средней от стандартной прочности Y0=300 при двух конкурирующих гипотезах – H1: и H2:

Пользуясь формулой (11.6), получим:

По формулам (11.7) и (11.8) находим:

при H1

и по приложению 5

при H2

и по приложению 5

Следовательно, при двух конкурирующих гипотезах нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т. е. нельзя доказать значимого различия выборочной средней и стандартной прочности пряжи.

11.7. Сравнение двух средних больших независимых выборок

Если выборки имеют большой объем (m³30) и независимы, то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий, и поэтому их можно считать известными приближенно. При этих условиях случайная величина

распределена приближенно нормально с параметрами M{u}=0 (при условии справедливости нулевой гипотезы) и s2{u}= 1 (если выборки независимы).

Для проверки нулевой гипотезы H0: принимается приближенный критерий, расчетное значение которого равно

(11.11)

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Если конкурирующая гипотеза H1: M{Y1)¹M{Y2}, то при заданном уровне значимости a по таблице функции Лапласа (см. приложение 5) находят табличное значение двустороннего критерия по равенству

(11.12)

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве и , т. е. . Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Пример 11.6. Проведено измерение прочности двух образцов пряжи и получены следующие данные:

При уровне значимости a=0,05 требуется проверить нулевую гипотезу H0: M{Y1} = M{Y2}, при конкурирующей гипотезе H1: M{Y1} ≠ M{Y2}. Находим расчетное значение критерия по формуле (11.11):

Используя равенство (11.12) по таблице Лапласа (см. приложение 5) находим

Так как , то нулевую гипотезу отвергаем, т. е. разница между средними значениями прочности двух образцов пряжи существенна.

Второй случай. Если конкурирующая гипотеза H1: M{Y1)>M{Y2}, то при заданном уровне значимости a, используя таблицу функции Лапласа (см. приложение 5), находят табличное значение одностороннего критерия по равенству

(11.13)

Если , то нулевая гипотеза не отвергается. В противном случае гипотеза отвергается.

Пример 11.7. Исследователь после введения конструктивных изменений в прядильное пневмомеханическое устройство ожидает повышения прочности пряжи, т. е. принимает по отношению к гипотезе Но: M{Y1} = M{Y2}конкурирующую гипотезу H1: M(Y1)>M(Y2). Числовые статические характеристики двух образцов пряжи приведены в предыдущем примере, поэтому

Используя равенство (11.13) по таблице функции Лапласа (см. приложение 5) находим Так как нулевую гипотезу отвергают, т. е. конструктивное изменение в прядильном устройстве обусловило значимое изменение прочности пряжи.

11.8. Сравнение двух средних из нормально распределенных генеральных совокупностей

Если проверяется гипотеза о равенстве двух средних из нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, то прежде всего следует проверить с помощью F-критерия гипотезу о равенстве дисперсий в генеральных совокупностях. При этом возможны два случая.

Первый случай – равноточность двух рядов измерений доказана. Для проверки гипотезы о равенстве средних, найденных по независимым малым выборкам, используется критерий t, расчетное значение которого определяется по формуле

(11.14)

где - среднее квадратическое отклонение разности , или ошибка разницы;

(11.15)

Доказано, что величина t при справедливости нулевой гипотезы Но: M{Y1} = M{Y2}имеет t-распределение Стьюдента с f = m1 + m2 - 2 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Если проверяется гипотеза Но: M(Y1) = M(Y2) при конкурирующей гипотезе H1: M{Y1} ≠ M{Y2}, то в этом случае используется двусторонний критерий , табличное значение которого определяют по приложению 3 при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы f = =m1 + m2 – 2. Если , то нулевую гипотезу отвергают, т. е. исследователь устанавливает, например, что применение уровня фактора или конструктивные изменения в машине обусловили значимое различие между выходными параметрами. Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, т. е. оба ряда измерений относятся к одной и той же совокупности, для которой среднее значение определяется по формуле

(11.16)

а дисперсия – по формуле (11.15).

Если разность между средними двух выборок значимо только при доверительной вероятности в пределах pD = 0,95–0,99, то прежде, чем идти на риск по принятию нулевой гипотезы Но: M{Y1} = M{Y2}, следует увеличить объем выборки, т. е. провести дополнительный эксперимент.

Оптимальным соотношением объемов сравниваемых выборок является, где m = m1 + m2, так как при этом ошибка разности оказывается наименьшей.

Считая дисперсии сравниваемых совокупностей одинаковыми и равными при , из формулы (11.14) получаем

(11.17)

В этом случае расчетное значение критерия Стьюдента

(11.18)

Чтобы разность можно было считать значимой, tR должна быть если не больше, то, по крайней мере, равна для заданной доверительной вероятности и заданного числа степеней свободы f = m-2.

После замены tR на , сосредоточенные в левой части формулы (11.18) члены, зависящие от m, и возведя обе части в квадрат, получим

(11.19)

где (11.20)

Зная K2 при заданной pD, по приложению 8 определяем искомое значение m. Для случая, когда K2 <0,13, искомое m находят по формуле

(11.21)

(что также нашло отражение в приложении 8). Величина , входящая в формулу (11.20), определяется по данным проведенного эксперимента или по данным других исследований. Величину разности принимают равной или наименьшему различию между средними, которое может представлять практический интерес, или разности, которая оказалась незначимой в предварительном эксперименте. При использовании формул (11.19) и (11.20) предполагается, что увеличение объема выборки не вызовет значительного изменения и S2{Y}.

Второй случай – равноточность двух рядов измерений (s1)2 = (s2)2 не доказана. Для проверки нулевой гипотезы о равенстве средних M{Y1} = M{Y2} используется также критерий t (Стьюдента), расчетное значение которого определяется по приближенной формуле

(11.22)

Табличное значение двустороннего критерия определяется при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы

(11.23)

где

(11.24)

Если , то разница незначима, а если , то разница между средними значима.

11.9. Непараметрический критерий для сравнения двух средних

Непараметрические критерии служат для проверки однородности двух выборок, т. е. возможности их объединения в одну общую выборку, считающуюся выборкой из общей генеральной совокупности. Большинство из них позволяет находить различия между двумя выборками при условии, что они отличаются своими средними. Если выборки различаются только по величине дисперсии, то уровень этого различия с помощью непараметрических критериев выявить не удается.

Ниже из большого числа критериев, используемых для сравнения средних, будут рассмотрены только два: Медианы и критерий числа серий. Последний имеет относительно большую сложность расчетов, чем первый, но обеспечивает большую точность.

Критерии Колмогорова – Смирнова и хиквадрат Пирсона используются для определения вида распределения данных эксперимента. Эти критерии дают большую точность расчетов и позволяют обнаружить различия двух выборок при наличии разницы не только средних значений, но и дисперсий.

11.9.1. Критерий Медианы.

Указанный критерий применяется для сравнения средних и основан на предварительном ранжировании двух рядов. При использовании этого критерия исследователь проводит следующие операции:

1) все измерения m1 и m2 обеих выборок Y1u, Y2u располагает в один ряд по возрастающей;

2) определяют медиану Me{Y} для ряда c m = m1 + m2 измерениями, используя следующие правила:

если m = 2k+1 (k = 0,1,2…), т. е. нечетное число, то медиана Me{Y} соответствует тому ряду члена Yv, который имеет ранг , т. е. Me(Y) = Yv;

если m = 2k (k = 1,2…), т. е. четное число, то медиана

где Yv и Yv+1 - члены ряда, которым соответствуют ранги и );

3) составляет матрицу

где m1м, m1б - число измерений первой выборки, имеющих меньшую и большую величину, чем Me{Y}; m2б, m2м - то же для второй выборки; m1м + m1б = m1, m2м + m2б = m2;

4) определяет расчетное значение критерия cR2. Если m³40 и наименьшее значение из m1м, m2м, m1б, m2б не менее 5, т. е. min (m1м; m1б; m2м; m2б) ³ 5, то случайная величина, связанная с определителями матрицы и имеющая вид

(11.25)

распределена приблизительно по закону χ2 с одной степенью свободы;

5) сравнивает значения cR2 и cT2[pD; f = 1], пользуясь приложением 2. Если , то нулевая гипотеза отвергается, т. е. различие между средними двух выборок значимо.

Пример 11.8. Из двух тазов случайно взято по 20 трехсантиметровых отрезков ленты, выработанной на шляпочных чесальных машинах. Массы трехсантиметровых отрезков Y1v, Y2v приведены в таблице 11.3. Необходимо установить с помощью критерия Медианы, имеется ли различие в двух выборках?

Таблица 11.3

	89	94	97	90	97	92,5	102,5	92,5	95	92
	96	105	102,5	100,5	95	108	102	97,5	92,5	102
	100	94	108	96	96	104,5	96	91	94,5	106
	104	97,5	111,5	100	92,5	104,5	101,5	103	98	91

1. Проводим ранжировку данных двух выборок, образуя одну общую выборку.

2. Определяем медиану. Так как m = 40, то

3. Определяем элементы матрицы, пользуясь таблицей 11.4:

m1б = 5; m1м = 15; m2б = 15; m2м = 5. m1×б = 5, m2×м = 5, m1×м = 15, m2б = 15 .

4. По формуле (11.25) определяем расчетное значение Критерия:

5. По приложению 2 находим cT2[0,05;f = 1] = 3,84. Так как cR2 >cT2, то различие между средними и выборками значимо.

К таким же результатам можно придти, если использовать параметрический критерий Стьюдента, предполагая, что измерения в выборках имеют нормальное распределение. В результате расчетов получено:

Используя формулы (11.15) и (11.14), находим:

и .

Так как , то гипотеза об отсутствии различия между выборками отвергается.

11.9.2. Критерий числа серий

Этот критерий применяется для сравнения двух выборок малого объема. При его использовании исследователь осуществляет следующие операции:

Таблица 11.4

	89	90	91	--	92	92,5	92,5	–	–	94
	–	–	–	91	–	–	–	92,5	92,5	–

Окончание табл. 11.4