Основы научных исследований (стр. 6 )

Во-вторых, одна величина s вне сравнения со средней величиной не даст еще правильной оценки рассеяния. Ведь две различные статистические совокупности могут иметь одно и то же значение s при различных средних и . Очевидно, если < , то при одном и том же s варианты первой совокупности более рассеяны относительно средней, чем второй.

Пример 10.20. Пусть = 10 г и = 100 г, а s = 2 г. По отношению к = 10 г величина s = 2 г составляет 20%, а по отношению к = 100 г - лишь 2%.

Истинное положение с рассеянием может быть выявлено лишь с помощью отношения s и , которое называется коэффициентом вариации.

Коэффициент вариации

Коэффициентом вариации u называется отношение среднего квадратического отклонения к средней величине, выраженное в процентах.

В работах по математической статистике, связанных с текстильным производством, коэффициент вариации иногда обозначают буквой С.

Итак,

Пример 10.21 Найти коэффициенты вариации при тех же данных, что и в примерах 10.17 и 10.18.

;

Коэффициентом вариации в качестве меры рассеяния не рекомендуется пользоваться, когда варианты колеблются около нуля. В этом случае s и близки к нулю, и незначительное изменение того или другого может привести к резкому изменению коэффициента вариации u.

Коэффициент вариации u, как мера рассеяния, значительно совершеннее коэффициента неровноты Н.

Пример 10.22. Подсчитаем коэффициенты вариации для числовых данных примеров 10.15 и 10.16, в каждом из которых, несмотря на явное различие в неровноте двух совокупностей, коэффициенты неровноты оказались одинаковыми.

Для первого ряда из примера 10.15 имеем:

;

следовательно,

Для второго ряда из этого же примера

;

следовательно,

Коэффициент вариации u1 значительно больше, чем uII, что вполне соответствует действительности.

Аналогично для двух рядов из примера 10.16 имеем:

;

И в этом примере коэффициенты вариации, в отличии от коэффициентов неровноты, свидетельствуют об истинной неровноте.

Замечательный сравнительный анализ различных мер рассеяния дан . Им, в частности, установлено, что в тех случаях, когда коэффициент неровноты дает верную информацию о неровноте, коэффициент вариации при одинаковых объемах испытаний дает результаты на 20–25 % более точные, чем коэффициент неровноты Н.

10.7. Двумерные выборочные совокупности.
Составление эмпирических формул

Статистические зависимости

Большой практический интерес представляет изучение статистических совокупностей объектов одновременно по двум каким-нибудь признакам X и Y. Так, например, для расчета размерно-ростовочного ассортимент при изготовлении одежды швейным предприятием необходимо изучить статистическую совокупность людей одновременно по обхвату груди X и росту Y. Совокупность образцов пряжи целесообразно рассматривать одновременно, к примеру, по влажности X и прочности Y или по крутке X (число кручений на 1 м) и укрутке Y (длине образца после кручения) и т. д.

Взаимосвязь между величинами X и Y бывает двух видов:

1.  Точная функциональная зависимость, когда каждому значению х величины X соответствует вполне определенное значение у величины Y. Такова, скажем, зависимость между си­лой тока Y и сопротивлением X, выражаемая законом Ома.

2.  Расплывчатая статистическая, или корреляционная, зависимость, когда одному и тому же значению величины X может соответствовать целая статистическая совокупность значений величины Y со своим законом распределения, из меняющимся с изменением X. Подобными зависимостями являются зависимости между обхватом груди X и ростом Y, между круткой X и укруткой Y и т. д. При статистической зависимости расплывчатая связь, или корреляция, между X и Y может быть более тесной, т. е. более близкой к функциональной, и менее тесной, вплоть до полного ее отсутствия.

Раздел математической статистики, изучающий статистические (корреляционные) зависимости, называется теорией корреляции.

Различают два вида корреляции – неполную и полную, в зависимости от того, как ставится эксперимент.

Неполной называется корреляция, когда одному из признаков, например X, даются те или иные фиксированные значения х1у х2, . . ., xk и для каждого из них путем эксперимента находят совокупность значений у признака Y. В этом случае результаты эксперимента оформляются в виде таблицы, верхняя строка которой содержит фиксированные значения х1 , х2 , . . . , xk признака X, а по столбцам – получаемые из эксперимента соответствующие значения признака Y, которые обозначаются через ух. Заметим, что при непрерывном изменении признака X под x1 , х2, . . . , xk надо понимать середины частных интервалов Δxi на которые разбивается общий интервал изменения признака X в данной выборочной совокупности.

Примером такой таблицы может служить обведенная жирными линиями часть табл. 10.14, в первой строке которой выписаны фиксированные значения крутки X (число кручений на 10 см) пряжи, а в столбцах — числовые значения укрутки Y (длины скрученных образцов пряжи в процентах от длины нескрученных образцов), определенные при фиксированных крутках.

Таблица 10.14

X	х1 = 10	х2 = 50	х3 = 100	х4 = 150	х5 = 200
yx	99 100 100 101 100	98 100 99	99 97 99 97	96 94	87 86 89 90
№ 1	mx
№ 2

Обработка подобной таблицы состоит в следующем:

1)  подсчитывают число испытаний (измерений) укрутки Y для каждого значения xi ,т. е. численности тх, которые записываются в строке № 1 под нижней жирной линией;

2)  находят средние значения ух для каждого значения xi называемые условными средними, которые записывают в строке № 2.

В рассматриваемом примере для каждого фиксированного значения крутки X проводилось разное число тх испытаний, а именно 5, 3, 4, 2 и 4 – всего 18. Но чаще всего для простоты вычислений числа тх испытаний Y для каждого хi берут одинаковыми.

Полной называется корреляция, когда каждый из отобранных элементов статистической совокупности объектов испытывается срази по двум признакам X и Y. В этом случае результаты эксперимента оформляются в виде первоначальной двумерной таблицы, состоящей из пар значений (X; Y). Примером такой таблицы служит табл. 10.15, в которой X — обхват груди (см), a Y — рост (см) 20 мужчин некоторого города.

Таблица 10.15

X	91	95	97	99	92	96	100	100	97	101	97	95	102	98	101	99	103	104	104	103
Y	160	169	162	168	164	164	165	169	159	170	171	165	171	166	172	175	170	181	176	175

Статистическая обработка такой таблицы состоит в составлении корреляционной таблицы распределения численностей, являющейся двумерной аналогией одномерной таблицы распределения численностей. В двух верхних строках и двух левых столбцах корреляционной таблицы выписывают частные интервалы Δх и Δу и их середины xi и yi для признаков X и Y, а в остальных клетках таблицы фиксируют численности m (х1; y1) = m11; m (х2; y1) = m21; m (х3; y1) = m31; … тех пар значений X и Y из первоначальной таблицы (табл. 10.15), которые одновременно попадают в соответствующие столбец и строку. Эти численности находят путем предварительных отметок посредством системы точек и подсчета точек. В частности, первоначальной двумерной таблице для обхвата груди X и роста Y (табл. 10.15) соответствует корреляционная таблица численностей, приведенная в табл. 10.16.

Первичная обработка корреляционной таблицы численностей состоит в следующем:

1) подсчитывают численности тх значений Y при фиксированных значениях х и численности ту значений X при фиксированных значениях у с занесением результатов в строку № 1 внизу и столбец № 1 справа;

2) находят условные средние ух и ху как средние взвешенные значения ух и ху по столбцам или по строкам с учетом соответствую­щих численностей и заносят их в строку № 2 и столбец № 2.

Так, для х2 = 96 имеем:

для y1 = 158

Таблица 10.16

X Y	Δx	90 – 94	94 – 98	98 – 102	102 – 106	№ 1	№ 2
Δy	x y	х1 = 92	х2 = 96	х3 = 100	х4 = 104	my
155 – 161	y1 = 158
161 – 167	y2 = 164
167 – 173	y3 = 170
173 – 179	y4 = 176
179 – 185	y5 = 182
№ 1	mx					n = 20
№ 2

В теории корреляции разрешаются две основных задачи: