Интегрированный урок по геометрии-информатике
Тема урока: «Изображение многомерных объектов на плоскости экрана дисплея».
Урок проходит в компьютерном классе и ведут его сразу два учителя - по математике и информатике.
Ход урока (основные моменты)
Учителя ставят задачу: как, зная координаты точки (группы точек, например, вершин многогранника), изобразить ее на экране компьютера. Точка на экране должна иметь всего две координаты, да и то значения которых находятся в определенных пределах.
В начале учитель математики рассказывает учащимся математическую модель данной задачи.
Суть в следующем. Плоскость экрана дисплея зададим двумя ортогональными векторами 
и 
. Поскольку в том же n-мерном пространстве находится точка М, заданная своими координатами (m1, m2, ..., mn), то и вектора и имеют n координат: (a1, a2, ..., an) и (в1, в2, ..., вn).
Т - проекция точки М на плоскость (,).
= a + b.
Плоскость (,) и будет взята нами в качестве плоскости экрана дисплея, а числа a и b - в качестве координат изображения точки М на данной плоскости. Математическая постановка задачи заключается в том, чтобы, зная координаты точки М и векторов и , найти числа a и b.
Решается задача предельно просто, с использованием скалярного произведения векторов.
* = OM*a*cos(ÐMOA) = a*(OM* cos(ÐMOA)) = a*OA = a*a*a = aa2.
Аналогично, * = ОМ*в*cos(ÐMOВ) = в*(ОМ* cos(ÐMOВ)) = в*ОВ = в*b*в = bв2.
Итак, 
Далее учащимся предлагается взять произвольные три точки М1, М2, М3, заданные в трех или четырехмерном пространстве. Задать координаты векторов и , так, чтобы а1в1+а2в2+...+anвn=0. В случае четырехмерного пространства, например, можно задать: в1=а2, в2=-а1, в3=а4, в4=-а3.
Дабы не терять время на определение и инициализацию переменных, учащимся предлагается написать эту программу на Бейсике.
На языке информатики задача уже звучит так: даны координаты точек М1 ,М2 ,М3, векторов и . В соответствии с формулами для a и b написать программу для нахождения координат точек 
.
Учащиеся на компьютере выполняют это тривиальное задание.
Совместно с учителем информатики анализируются полученные результаты. Хотя теперь мы имеем DТ1Т2Т3, лежащий в плоскости экрана, но нужно, чтобы, во-первых, он был внутри прямоугольника, отображающего экран, а во-вторых, по возможности, занимал всю ширину экрана для лучшего визуального наблюдения. Учащиеся сами догадываются, что для этого последовательно надо сделать две операции: параллельный перенос и масштабирование.
При параллельном переносе крайняя верхняя точка DТ1Т2Т3 перемещается на уровень оси ОХ на экране (чуть ниже ее), а крайняя левая точка при этом - чуть правее оси ОУ:
Теперь треугольник находится в нужной «четверти» плоскости. Учащиеся пишут второй блок программы (перенос на вектор 
). Теперь координаты точек Mi больше нуля, причем наименьшая из абсцисс и наименьшая из ординат точек близки к нулю. Оба учителя могут помогать учащимся при реализации этого блока, ибо некоторые, даже сильные учащиеся, могут ошибиться хотя бы в вопросе - надо прибавлять или отнимать соответствующие числа.
Теперь необходимо совершить преобразование подобия, ибо треугольник может получиться либо слишком маленьким:
либо «вылезать» за пределы экрана:
Поэтому нужно масштабировать изображение, применив логическую цепочку:
Т1(a1, b1), Т2(a2, b2), Т3(a3, b3)
V - ширина экрана, L - длина экрана (в пикселях).
Учащиеся проделывают эти преобразования и с помощью оператора line чертят получившийся треугольник:
В заключение можно заметить, что, так как мы производим масштабирование, то в формулах для a и b знаменатели дробей 
и 
при написании программы можно опустить.
Старшеклассникам на дом предлагается изобразить на экране трехмерный куб с координатами вершин Mi(x, y,z), где x, y,z равны 0 или 1.
Уже на следующем уроке выяснится, что куб получился не у всех, у некоторых он почти сливается в прямоугольник и т. п. Правда, если методом проб и ошибок менять координаты векторов и , все получится. Возникает вопрос: а может ли программа сама подбирать нужные числа аi и вi? И можем ли мы вращать куб? Опять новые математические модели, новые возможности алгоритмического языка, новое сотрудничество учителей математики и информатики. В итоге самые сильные учащиеся могут дойти до серьезных тем анимационной графики. Но дело не в верхнем пороге знаний и умений, а в понимании сути рассматриваемых вопросов, переходе мышления на качественно новую ступень развития.
