Неевклидовы геометрии (стр. 3 )

Таблица 4.

№	Модули и темы	Виды СРС	Не­деля семе­стра	Объем ча­сов	Кол-во бал­лов
обязатель­ные	дополни­тель­ные
Модуль 1
1.1.	Общие вопросы аксиоматики	Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	1-2	2	0-6
1.2	Исторический очерк развития геометрии.	Подготовка доклада. Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	3-4	8	0-6
1.3	Основные факты геометрии Лобачевского	Подготовка доклада. Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	5-6	10	0-14
1.4	Модели планиметрии Лобачевского.	Подготовка доклада. Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	7-8	10	0-14
	Всего по модулю 1:		30	0-40
Модуль 2
2.1.	Элементы сферической геометрии	Домашние задания.	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	9-10	12	0-15
2.2.	Метрики на сфере и плоскости Лобачевского.	Домашние задания.	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	11-12	12	0-15
	Всего		24	0-30
Модуль 3
3.1.	Элементы тензорного анализа.	Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	13-14	10	0-15
3.2	Элементы римановой геометрии	Домашние задания	Чтение дополнительной литературы; Знакомство с содержанием электронных источников.	15-17	12	0-15
	Всего по модулю 3:	22	0-30
	ИТОГО:	76	0-100

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (после­дующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе­чиваемых (последую­щих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечи­ваемых (последующих) дисциплин
1.1	1.2	1.3	1.4	2.1	2.2	3.1	3.2
1.	Курсы по выбору студента.	+	+	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины.

Модуль 1.

1.1.Общие вопросы аксиоматики

Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода структур. Эквивалентность теорий. Модель системы аксиом. Основные свойства системы аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).

1.2. Исторический очерк обоснования геометрии.

Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида. История пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида. Открытие неевклидовой геометрии. Римана.

1.3. Основные факты геометрии Лобачевского.

Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые. Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых. Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского. Секущая равного наклона. Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр. Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского. Угол параллельности, функция Лобачевского. Окружность, эквидистанта, орицикл.

1.4. Модели планиметрии Лобачевского.

Различные модели плоскости Лобачевского. Интерпретация некоторых фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Независимость пятого постулата.

Модуль 2.

2.1. Элементы сферической геометрии. Элементарная геометрия на сфере. Двуугольники и треугольники. Расстояние между точками. Прямоугольные треугольника. Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.

2.2. Метрики на сфере и плоскости Лобачевского. Декартовы и криволинейные координаты. Простейшие примеры криволинейных систем коорди­нат. Длина кривой в криволинейных координатах. Понятие римановой метрики в области евклидова про­странства. Индефинитные метрики. Геометрия на сфере, плоскости. Псевдосфера и геометрия Лобачевского.

Модуль 3.

3.1. Элементы тензорного анализа.

Общее понятие тензора. Алгебраические операции над тензорами. Кососимметричные тензоры.

3.2. Элементы римановой геометрии. Связность и ковариантное дифференцирование.

Определение и свойства аффинной связности. Римановы связности. Параллельный перенос. Геодезические. Тензор кривизны. Координатное определение тензора кривизны. Инвариантное определение тензора кривизны. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана. Некоторые приложения тензора.

6.  Планы семинарских занятий.

Модуль 1.

Занятие 1. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

Занятие 2. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

Занятие 3. Доказательство теорем и решение задач в планиметрии Лобачевского.

Занятие 4. Доказательство теорем и решение задач в планиметрии Лобачевского.

Занятие 5. Доклады. Великие ученые-геометры.

Занятие 6. Доклады. Различные факты геометрии Лобачевского.

Занятие 7. Доклады. Модели плоскости Лобачевского.

Занятие 8. Коллоквиум.

Модуль 2.

Занятие 9. Элементы сферической геометрии.

Занятие 10. Элементы сферической геометрии.

Занятие 11. Криволинейные координаты.

Занятие 12. Криволинейные координаты.

Модуль 3.

Занятие 13. Элементы тензорного анализа.

Занятие 14. Элементы тензорного анализа.

Занятие 15. Аффинная связность.

Занятие 16. Тензор кривизны.

Занятие 17. Контрольная работа.

7.  Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не предусмотрены.

8.  Примерная тематика докладов.

Тема 1. Различные факты геометрии Лобачевского.

Примерное содержание: В докладе рассматривается доказательство одного или нескольких фактов планиметрии или стереометрии Лобачевского. Доказываются некоторые теоремы. Доклад готовится одним студентом. К докладу прилагается презентация.

Тема 2. Модели плоскости Лобачевского.

Примерное содержание: В докладе рассматривается доказательство и интерпретация одного или нескольких фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей. Доклад готовится одним студентом. К докладу прилагается презентация.

Тема 3. Великие геометры.

Примерное содержание: В докладе рассматривается биография и результаты одного из великих геометров. Доклад готовится одним студентом. К докладу прилагается презентация.

9.  Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценоч­ные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттеста­ции по итогам освоения дисциплины (модуля).

Текущая аттестация:

Коллоквиумы: В пятом семестре проводится коллоквиум (на семинаре).

Контрольные работы: В пятом семестре проводится контрольная работа (на семинаре).

Промежуточная аттестация:

Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.

Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.

Темы коллоквиумов.

Планиметрия Лобачевского

1.  Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода структур.

2.  Эквивалентность теорий.

3.  Модель системы аксиом.

4.  Основные свойства системы аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).

1.  Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида.

2.  История пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида.

3.  Открытие неевклидовой геометрии. Римана.

4.  Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые.

5.  Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых.

6.  Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского.

7.  Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр.

8.  Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.

9.  Угол параллельности, функция Лобачевского.

10.  Окружность, эквидистанта, орицикл.

11.  Различные модели плоскости Лобачевского.

12.  Интерпретация некоторых фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей.

13.  Непротиворечивость планиметрии Лобачевского.

14.  Независимость пятого постулата.

Примерные задания для контрольной работы.

1.  Преобразовать выражение к новым координатам u,v, где u=y+ax, v=y-ax. При каких а предложенная замена дает регулярную систему координат?

2.  Вычислить метрику на стандартной единичной псевдосфере в R3 в сферических координатах Θ, φ.

3.  Доказать теорему синусов для сферического треугольника.

4.  Найти координаты тензоров .

5.  Найти компоненту тензора кривизны следующей метрики .

Вопросы к экзамену

1.  Род структур. Основные математические структуры курса геометрии. Теория рода структур.

2.  Эквивалентность теорий.

3.  Модель системы аксиом.

4.  Основные свойства системы аксиом (непротиворечивость, минимальность, полнота).

5.  Основные этапы истории развития геометрии. «Начала» Евклида.

6.  История пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата Евклида.

7.  Открытие неевклидовой геометрии. Римана.

8.  Взаимное расположение прямых в плоскости Лобачевского. Параллельные прямые.

9.  Признак параллельности прямых. Существование параллельных прямых.

10.  Свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского.

11.  Расходящиеся прямые, их общий перпендикуляр.

12.  Треугольники и четырехугольники в плоскости Лобачевского.

13.  Угол параллельности, функция Лобачевского.

14.  Окружность, эквидистанта, орицикл.

15.  Различные модели плоскости Лобачевского.

16.  Интерпретация некоторых фактов планиметрии Лобачевского в одной из моделей.

17.  Непротиворечивость планиметрии Лобачевского.

18.  Независимость пятого постулата.

19.  Элементарная геометрия на сфере. Двуугольники и треугольники. Расстояние между точками.

20.  Прямоугольные треугольника. Тригонометрические соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

21.  Теорема Пифагора.

22.  Теоремы синусов и косинусов.

23.  Декартовы и криволинейные координаты. Простейшие примеры криволинейных систем коорди­нат.

24.  Длина кривой в криволинейных координатах.

25.  Понятие римановой метрики в области евклидова про­странства. Индефинитные метрики.

26.  Геометрия на сфере, плоскости.

27.  Псевдосфера и геометрия Лобачевского.

28.  Общее понятие тензора. Алгебраические операции над тензорами.

29.  Кососимметричные тензоры.

30.  Связность и ковариантное дифференцирование.

31.  Определение и свойства аффинной связности.

32.  Римановы связности. Параллельный перенос.

33.  Геодезические.

34.  Тензор кривизны.

35.  Координатное определение тензора кривизны.

36.  Инвариантное определение тензора кривизны.

37.  Алгебраические свойства тензора кривизны Римана.

10.  Образовательные технологии.

При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями обучения (различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).

При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).

При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета).

В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое занятие, работа в малых группах, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме.

11.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

11.1  Основная литература:

1.  , Гольдберг исчисление. - 3-е изд., перераб. - Москва: Физматлит, 20с.

2.  Клейн геометрия: пер. с нем. - 3-е изд.. - Москва: ЛКИ, 20с.

3.  и др. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: учеб. Пособие. - Москва: Физматлит, 20с. - Библиогр.: с. 410-411.

4.  , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии: учеб. для студ. вузов. - Москва: Физматлит, 20с.

5.  , Шикин геометрия: первое знакомство. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва: Едиториал УРСС, 20с.

11.2. Дополнительная литература:

1.  Алгебра. Дифференциальная геометрия. Топология [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан.. - Москва: Регулярная и хаотическая динамика, 20эл. опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв.. - (Электронная библиотека).

2.  , Нецветаев : учеб. пособие. - Москва: Наука, 19с.

3.  Атанасян : часть 1. - Москва: Просвещение, 19с.

4.  Атанасян, : часть 2. - Москва: Просвещение, 19с.

5.  Борисенко, А. И., Тарапов анализ и начала тензорного исчисления: учеб. пособие для вузов. - 6 изд. - Харьков: Вища школа, 19с.

6.  Риманова геометрия в целом. - Москва: Мир, 19с.

7.  Дифференциальная геометрия и топология [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан.. - Москва: Компьютерные информационные технологии: Регулярная и хаотическая динамика, 20эл. опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв. - (Электронная библиотека).

8.  Погорелов, : 2-е изд. - Москва: Наука, 19с.

9.  Погорелов, геометрия: учеб. для мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов. - 6 изд.. - Москва: Наука, 19с.

11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:

1.  www. ***** - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.

2.  www. ***** - образовательный математический сайт

3.  www. ***** - учебный материал по различным математическим курсам

4.  www. ***** – материалы по элементарной геометрии

5.  www. ***** - федеральный образовательный портал

6.  www. xplusy. ***** - математика для студентов

12.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.