Аналитическая геометрияаналитическая геометрия (стр. 3 )

№ п/п	Наименование обеспе­чиваемых (последую­щих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечи­ваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
1.1	.1.2	1.3	2.1	2.2	2.3	3.1	3.2
1.	Теоретическая и прикладная механика	+	+	+	+	+
2.	Численные методы		+	+	+	+	+
3	Математический анализ	+	+	+	+	+	+
4	Дифференциальные уравнения	+	+	+	+	+	+
5	Дифференциальная геометрия и топология	+	+	+	+	+	+
6	Функциональный анализ	+	+	+	+	+	+
7	Комплексный анализ			+		+	+	+	+
8	Векторный и тензорный анализ	+	+	+	+	+	+
9	Уравнения математической физики			+	+	+	+
10	Гидродинамика	+	+	+	+	+
11	Системы компьютерной математики	+	+	+	+	+	+	+	+
12	Механика деформируемого твердого тела	+	+	+	+	+	+
	Вариационное исчисление и оптимальное управление	+	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины.

МОДУЛЬ 1

1.1 Векторная алгебра.

1.  . Направленные отрезки. Равенство направленных отрезков

2.  Понятие свободного вектора. Сложение векторов

3.  Отношение отрезков. Умножение вектора на число.

4.  Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости

5.  ... Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах..

1.2 Системы координат. Скалярное и векторное произведения

6.  Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении.

7.  Прямоугольная система координат. Расстояние между точками.

8.  Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов.

9.  Ортонормированные базисы и реперы.

1.3 Преобразование координат

10.  Преобразования координат при повороте или сдвиге декартовой системы координат

11.  Полярные координаты на плоскости.

12.  Сферические и цилиндрические координаты в пространстве

МОДУЛЬ 2

2.1. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.

13.  . Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

14.  Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных.

15.  Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных.

16.  Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

17.  Разбиение плоскости и пространства соответственно прямой и плоскостью.

18.  Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой.

19.  Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.

2.2 Эллипс парабола и гипербола

20.  Канонические уравнения эллипса

21.  Канонические уравнения параболы

22.  Канонические уравнения, гиперболы.

23.  Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому виду.

24.  Виды линий второго порядка

2.3 Линии и поверхности второго порядка

25.  Алгебраические линии и поверхности.

26.  Распадающиеся линии и поверхности.

27.  Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения.

28.  Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды.

29.  Прямолинейные образующие поверхностей.

30.  Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго порядка.

31.  Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка.

32.  Центры линий и поверхностей второго порядка.

МОДУЛЬ 3

3.1 Аффинные и изометрические преобразования

33.  Преобразование векторов при аффинном преобразовании.

34.  Основные свойства аффинных преобразований, формулы аффинного преобразования.

35.  Сохранение отношения площадей и объемов при аффинных преобразованиях.

36.  Изометрические преобразования и движения.

37.  Классификация движений плоскости. Подобие и гомотетия.

38.  Аффинная классификация линий второго порядка.

39.  Метрическая классификация линий второго порядка.

3.2. Проективная плоскость

40.  Пополненная плоскость и связка.

41.  Однородные координаты на проективной плоскости.

42.  Теорема Дезарга.

43.  Проективные системы координат.

44.  Проективные преобразования.

45.  Линии второго порядка в однородных координатах.

6.  Планы семинарских занятий.

№	Модули	недели семестра	Виды учебной работы в часах.
Лекции*	Семинарские (практические) занятия*	Самостоятельная работа*	Тема аудиторных семинарских занятий
1	2	3	4	5	6	7
	Семестр 1
	Модуль 1
1	Векторная алгебра	1-2	4	4	8	Понятие свободного вектора. Сложение векторов. Отношение отрезков. Умножение вектора на число. Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
2	Системы координат. Скалярное и векторное произведения.	3-4	4	4	8	Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и направленный угол (на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы. Полярные координаты на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты в пространстве
3	Преобразование координат	5-6	4	4	8	Преобразование аффинных координат вектора и точки. Ортогональные матрицы. Преобразование прямоугольных координат вектора и точки. Ориентации плоскости и пространства. Ориентированные площади и объем параллелепипеда. Векторное и смешанное произведение векторов.
	Всего		12	12	24	24
	Модуль 2
1	Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве	7-8	4	4	8	Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Прямая на плоскости и уравнение первой степени от двух переменных. Плоскость и уравнение первой степени от трех переменных. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости. Собственные и несобственные пучки прямых на плоскости и плоскостей в пространстве. Разбиение плоскости прямой и пространства плоскостью. Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, от прямой до прямой. Угол между прямыми, плоскостями, прямыми и плоскостями.
2	Эллипс парабола и гипербола	9-10	4	4	8	Канонические уравнения эллипса, параболы, гиперболы. Приведение многочлена второго порядка от двух переменных к каноническому виду. Виды линий второго порядка. Пучок линий второго порядка.
3	Линии и поверхности второго порядка	11-12	4	4	8	Алгебраические линии и поверхности. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей. Приведение многочлена второго порядка от трех переменных к каноническому виду. Виды поверхностей второго порядка. Асимптотические направления линий и поверхностей второго порядка. Центры линий и поверхностей второго порядка. Сопряженные направления и сопряженные диаметры линий второго порядка. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка. Особые направления.
	Всего		12	12	24
	Модуль 3
1	Аффинные и изометрические преобразования	13-15	6	6	12	Преобразование векторов при аффинном преобразовании. Основные свойства аффинных преобразований, формулы аффинного преобразования. Сохранение отношения площадей и объемов при аффинных преобразованиях. Изометрические преобразования и движения. Классификация движений плоскости. Подобие и гомотетия. Аффинная классификация линий и поверхностей второго порядка. Метрическая классификация линий и поверхностей второго порядка. Центры линий второго порядка. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка
2	Проективная плоскость	16-18	6	6	12	Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты на проективной плоскости. Уравнение прямой в однородных координатах. Инцидентность. Двойственность. Теорема Дезарга. Проективные системы координат. Проективные преобразования. Линии второго порядка в однородных координатах. Проективная и проективно-аффинная классификация линий второго порядка
	Всего		12	12	24
	Всего семестр 1		36	36	72

7.  Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Отсутствует

8.  Примерная тематика курсовых работ

Отсутствует

9.  Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводится 3 домашние контрольные работы. В каждой группе, как правило, дается несколько вариантов одной и той же работы. В качестве образца приведем работы, составленные на основе задачника , (см. п.3 списка основной литературы).

Контрольная работа №1.

1. Даны четыре вектора , , , . Подобрать числа , и так, чтобы векторы , , и образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

2. Даны две смежные вершины параллелограмма . Найти две другие его вершины при условии, что диагональ параллельна оси , а диагональ параллельна оси .

3. Даны точки и . Установить, пересекает ли прямая какую-нибудь из осей координат.

4. Одна из вершин параллелепипеда находится в точке , а концы выходящих из нее ребер — в точках , , . Найти длину диагонали AC' этого параллелепипеда и угол, образуемый AC' с ребром AB.

5. Даны два вектора и . Найти вектор длины 1, перпендикулярный к вектору , образующий c вектором угол и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , имела положительную ориентацию. Система координат прямоугольная.

6. Написать уравнение прямой в системе координат, осями которой служат прямые 2x-y+7=0 (ось O’y’), x+y-4=0 (ось O’x’), а единичной точкой — точка .

Контрольная работа №2.

В задачах 1,3,4,5,6 система координат прямоугольная.

1. Дан треугольник : , , . Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла треугольника при вершине .

2. Даны вершины тетраэдра: , , , . Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и равноудаленной от вершин и . Система координат аффинная.

3. Найти ортогональную проекцию точки на прямую , .

4. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптотами которой служат прямые

5. Написать уравнение линии второго порядка, центр которой находится в точке , а одной из директрис служит прямая , зная, что линия проходит через точку .

6. Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

Контрольная работа №3.

1. Определить вид поверхности z=xy и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из осей.

2. Составить уравнение цилиндра, образующие которого касаются сферы и составляют равные углы с осями координат. Система координат прямоугольная.

3. По какой линии плоскость пересекает двуполостный гиперболоид ?

4. Найти касательную плоскость к поверхности ,

параллельную плоскости x+2y+2=0.

5. Найти аффинное преобразование, являющееся произведением сжатия к прямой x+y-1=0 с коэффициентом ½ и симметрии относительно этой прямой. Система координат прямоугольная.

6. Сторонами , , базисного треугольника проективной системы координат на проективной - аффинной плоскости являются прямые, заданные относительно аффинной системы координат уравнениями

Единичной точкой проективной системы координат является точка . Найти:

1) проективные координаты точки , аффинные координаты которой (1, 1);

2) аффинные координаты точки , проективные координаты которой (4:3:-6).

10.  Образовательные технологии.

а) аудиторные занятия:

·  лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары, специализированные практикумы); на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке индивидуальных домашних заданий. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.

·  активные и интерактивные формы (лекционные и семинарские занятия в диалоговом режиме, компьютерное моделирование и практический анализ результатов, научные дискуссии, работа студенческих исследовательских групп, вузовские и межвузовские видеоконференции).

б) внеаудиторные занятия:

·  самостоятельная работа: Индивидуальные расчетные задания по каждому модулю с индивидуальным (интерактивным) отчетом преподавателю в конце каждой контрольной точки.

·  индивидуальные консультации.

11.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.

11.1. Основная литература:

1. , Лекции по аналитической геометрии, М.: Наука, 1968.

2. , Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Энас, 2003.

3. , , Сборник задач по аналитической геометрии, М., 2005 (изд-е стер.).

11.2. Дополнительная литература:

1.  . , Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1979.

2.  2. , , Геометрия. М.: МЦНМО, 1997.

3.  3. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Нагляднаяя геометрия. М.: Наука, 1981.

4.  4. М. Берже, Геометрия. М.: Мир, 1984.

5.  5. , Аполлоний Пергский. М.: МЦНМО, 2004.

6.  6. Э. Артин, Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.

11.3. Программное обеспечение: Необходим пакет символьной математики Maple. Интернет – ресурсы не требуются.

12.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Данный предмет описывает геометрию окружающего мира. По этой причине многие темы могут быть хорошо проиллюстрированы на пакете компьютерной математики Maple V, например, расположение плоскостей в пространстве, поверхности второго порядка, пресечения плоскостей и поверхностей и многие другие темы. Для реализации подобных целей на лекционных и практических потребуется компьютер, с установленным на нем пакетом компьютерной математики Maple V. Аудитории корпуса для чтения лекций и проведения практик оборудованы компьютером с нужными пакетами программ и мультимедийной техникой и этого достаточно.