Микроэкономика (стр. 5 )

Функция называется косвенной (неявной) функцией параметров а есть максимум функции полезности. Максимальная полезность, достигаемая в точке оптимального набора, косвенно зависит от цен и дохода. Косвенная функция полезности обладает следующими свойствами.

Косвенная функция не возрастает по ценам. Если растут цены при постоянном доходе, то объемы спроса в оптимальном наборе уменьшаются. Если цена хотя бы одного товара строго возрастает, то общая полезность строго убывает. Данная функция строго возрастает по доходу при неизменных ценах. С ростом дохода увеличивается количество продуктов в оптимальном наборе потребителя. Функция является однородной функцией по всем одновременно изменяющимся переменным. Это означает, что если все переменные (цены всех товаров и доход потребителя) увеличиваются в или раз, то общая полезность приобретаемого набора не изменяется. Запишем это свойство для набора, состоящего из двух товаров: . Для косвенная функция полезности является однородной нулевой степени. В отличие от кривых безразличия уровни косвенной функции полезности квазивыпуклы к началу координат. Поэтому, если при переходе от одной на другую более высокую кривую безразличия полезность набора увеличивается, то в случае косвенной функции полезности отображаемые ею уровни полезности нарастают в направлении не от начала координат, а в обратном направлении. Благодаря строгому изменению косвенной функции полезности по доходу (возрастанию или убыванию), она имеет обратную функцию - функцию расходов потребителя.

Так как цены товаров и доход потребителя положительны, то косвенная функция полезности непрерывна по всем переменным. Свойства косвенной функции полезности приводятся без доказательства.

Косвенная функция полезности применяется для изучения влияния налогов и субсидий на уровень полезности набора, приобретаемого потребителем. Ведь налоги уменьшают, а субсидии увеличивают доход потребителя.

Условия второго порядка или достаточные условия оптимизации состоят в следующем. Условие устойчивости или необходимое условие экстремума функции многих переменных имеет вид , так как Тогда выполняется достаточное условие оптимальности: полный дифференциал второго порядка функции полезности Лагранжа отрицателен при отрицательных значениях вторых частных производных функции полезности и

Следовательно, набор имеет максимальную общую полезность для потребителя.

1.2.  Экономико-математическая модель выбора потребителя.

Основное уравнение теории ценности.

Применим метод сравнительной статики в исследовании изменения спроса рационального потребителя на товары после того, как изменились цены и доход. Подставим найденные оптимальные значения в необходимые условия (1.2), получим тождество . (1.4)

Прежде рассмотрим влияние изменения дохода потребителя на индивидуальный спрос при неизменных ценах. Для этого продифференцируем тождества (1.4) по доходу . При этом необходимо помнить, что предельная полезность - го товара есть сложная функция от переменных объемов покупаемых товаров, которые в свою очередь зависят от изменяющихся цен и дохода . В результате получим систему уравнений.

(1.5)

Заменим цены их выражением из условий (1.2), т. е. . Тогда получаем систему из уравнения:

.

.

………………………………………….. (1.6)

.

.

Решая систему уравнений по правилу Крамера, находим величины изменения спроса на каждый товар , вызванного изменением дохода потребителя. Первую величину (выражение в скобках) не определяем. Определитель системы уравнений:

(1.7)

Определитель системы имеет своими элементами предельные полезности товаров , измеряемые первой частной производной функции полезности по переменным, изменяющимся количествам товаров в наборе. Элементы матрицы с двойными индексами - вторые частные производные функции полезности также измеряют предельную полезность товара, отмеченного вторым индексом, но в наборе, который отличается от первоначального набора, приобретаемого до изменения дохода потребителя: в нем изменился объем товара, обозначенного первым индексом.

Запишем величину изменения спроса потребителя на первый товар при изменении дохода потребителя:

Решение системы уравнений:

. (1.8)

Изменение спроса на товар, вызванное изменением дохода и определяемое выражениями (1.8), может быть как положительным, так и отрицательным. Математически это определяется знаком - алгебраического дополнения (минора) определителя системы уравнений. Индекс минора соответствует индексу элемента определителя , находящегося на пересечении первой строки и номера столбца, например - го столбца, соответствующего определяемому изменению спроса на товар . Экономически это означает, что с увеличением дохода спрос на одни товары увеличивается, на другие - уменьшается. В общем виде изменение спроса на любой товар , вызванное изменением дохода, равно:

(1.9)

Изменение отражает степень локальной чувствительности спроса на товары и предельной полезности дохода к изменениям дохода.

Рассмотрим ситуацию, когда изменяется цена хотя бы одного товара, причем остальные цены и доход остаются неизменными, что вызывает изменение спроса в общем случае на все товары и услуги. В действительности доход потребителя в течение определенного периода остается постоянным, в то время как цены на товары изменяются. Спрос потребителя зависит не только от величины постоянного дохода, но и от цен, от предпочтений потребителя, от его оценок полезности благ и услуг. Как и в случае изменения дохода потребителя в качестве исходного условия используем объемы товаров в наборе, имеющем максимальную полезность. Величины спроса определены из системы уравнений (1.2), которые представляют необходимые условия максимума функции полезности, ибо всякий рациональный потребитель стремится максимизировать полезность приобретаемого им набора товаров.

Допустим, что изменяется цена первого товара , цены остальных товаров и доход потребителя остаются неизменными. В общем случае такое возмущение на рынке приведет к изменению спроса на все товары, возможно замещение некоторого количества одних товаров соответствующим количеством других товаров. В итоге потребитель купит новый набор товаров, займет новое положение в рыночной системе с учетом собственных предпочтений. Задача заключается в том, чтобы определить изменение спроса на все товары, входящие в набор, при изменении цены хотя бы одного товара.

Математическая интерпретация изменений в положении потребителя сводится к следующему. Необходимо продифференцировать систему уравнений (1.2), представляющую исходные условия, равновесное положение потребителя, по переменной . Напомним, что . В полученной системе уравнений, которая представлена ниже, присутствуют искомые величины - изменения спроса на все товары, вызванные изменением цены .

. (1.10)

Заменим все цены их выражением через предельную полезность соответствующего товара и предельную полезность денежной единицы , для . Получим следующую систему уравнений:

(1.11)

В системе уравнение с неизвестным Величины характеризуют изменение спроса на каждый товар, вызванное изменением цены одного из товаров, в данном случае . Определитель системы имеет вид (1.7). Изменение спроса на товар составляет величину

Изменение спроса на товар составляет

Изменение спроса на товар равно

Изменение спроса на любой товар при изменении любой цены составит (1.12)

Воспользуемся выражением (1.9) изменения спроса на любой товар при изменении дохода и подставим его в (1.12), получим основное уравнение теории ценности:

(1.13)

В полученном выражении можно поменять местами и . Таким образом определяем изменение спроса потребителя на любой товар с номером , вызванное изменением цены любого другого товара с номером . Изменение спроса зависит от объема потребляемого товара , цена которого изменяется, и от , т. е. от предельной полезности денежной единицы для потребителя, от предельной полезности товаров , оцениваемой потребителем, и от - вторых частных производных функции полезности, знаки которых свидетельствуют о характере изменения предельной полезности. Если предельная полезность товара убывает, то отрицательна.

Экономическая интерпретация основного уравнения теории ценности.

Согласно уравнению (1.13) изменение спроса определяется двумя слагаемыми. Первое измеряет влияние изменения дохода на спрос. Если цена товара увеличивается, то это приводит к снижению реального дохода потребителя при неизменном номинальном доходе и уменьшению спроса в общем случае на все товары, для которых . Данная величина должна быть положительной, так как первое слагаемое в уравнении ценности имеет знак минус. Если , то . Снижение дохода вызывает снижение спроса, или увеличение дохода обусловливает увеличение спроса, что характерно для нормальных товаров.

В то же время спрос на малоценные товары, для которых может увеличиться. Если то . При снижении дохода спрос увеличивается, с ростом дохода спрос уменьшается, это характерно для малоценных товаров, для товаров низшей категории.

Однако с изменением цены любого товара и реального дохода потребитель может осуществлять замену - уменьшить потребление одних товаров и увеличить потребление других. Рассмотрим влияние компенсированного изменения цены, при котором доход компенсируется таким образом, чтобы полезность набора оставалась неизменной . Чтобы измерить влияние замены на спрос, рассмотрим увеличение цены -го товара на . Изменение цены сопровождается изменением дохода на величину , если изменение дохода будет потрачено на покупку товара . При снижении цены часть номинального дохода высвобождается при прежних объемах покупки товаров и увеличивается реальный доход потребителя. Если цена увеличивается, то при неизменном номинальном доходе потребителя его реальный доход уменьшается.

Спрос на любой - й товар при увеличении цены -го товара составит величину: . Первое слагаемое характеризует изменение спроса на товар при изменении дохода, второе слагаемое - изменение спроса на этот же товар при изменении цены любого другого товара . Воспользуемся и запишем в виде: , или

(1.14)

Сравнив основное уравнение теории ценности (1.13) с (1.14), получим, что . Величина измеряет влияние замены товара товаром - эффект замены, взаимозамещаемость товаров в потреблении, вызванную относительными изменениями цен. Эффект замещения характеризует воздействие изменяющейся цены товара на спрос товара одновременно с таким изменением реального дохода, которое позволяет потребителю купить то же самое количество товара , что и раньше, несмотря на изменение цены .

Величина может быть положительной и отрицательной. Ее знак определяет направление изменения спроса на товар при компенсированном изменении цены . Если положительно, параметр всегда величина положительная для рационального потребителя, , то с ростом цены спрос на товар увеличивается и товары являются взаимозаменяемыми. Если отрицательно, то с ростом цены спрос на уменьшается, , и товары взаимодополняемы.

Таким образом, общее изменение спроса на любой товар при изменении цены любого другого товара в экономике равно сумме эффектов замещения и дохода , которые могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. Если т. е. цена на один товар растет и спрос на другой товар также растет, или цена на один товар снижается и спрос на другой товар уменьшается, то имеем инфериорные товары. При повышении цены товара возможно увеличение спроса на него при низком доходе, что характерно для товаров Гиффена.

Если то цена товара снижается, а спрос на товар увеличивается.

Эффект замещения и эффект дохода используется в построении маршаллианской кривой спроса и кривых компенсированного спроса. Первая выражает зависимость между величиной спроса и ценой товара с учетом обоих эффектов - замещения и дохода при фиксированном номинальном доходе потребителя. Вторая, кривая компенсированного спроса, выражает зависимость между объемом спроса на товар с учетом только эффекта замещения. В зависимости от соотношения эффекта замещения и эффекта дохода изменяется взаимное расположение маршаллианской кривой и кривой компенсированного спроса. Для нормальных товаров общий эффект изменения цены превышает эффект замещения, поэтому кривая компенсированного спроса имеет больший по абсолютной величине наклон, чем кривая компенсированного спроса. Для товаров низшей категории общий эффект изменения цены меньше эффекта замещения, то кривая компенсированного спроса имеет меньший наклон, чем маршаллианская кривая спроса. Но обе они и для нормальных товаров и для товаров низшей категории имеют отрицательный наклон, поскольку эффект замещения изменяет объем спроса в направлении обратном изменению цен. Маршаллианская кривая спроса, т. е. обычная кривая, может иметь положительный наклон только в случае товара Гиффена.

Различают кривые компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу. В основу различия этих кривых положена трактовка реального дохода Е. Слуцким и Дж. Хиксом. Влияние эффекта замещения на изменение спроса на товар при изменении его цены (или цены другого товара) оценивают при абстрагировании от влияния эффекта дохода, т. е. в предположении, что реальный доход потребителя не изменяется при изменении цены товара. Существуют две трактовки реального дохода. По Слуцкому реальный доход измеряется количеством благ и услуг, которое потребитель приобретает на свой номинальный доход. Реальный доход не изменяется, если после изменения цен потребитель может приобрести тот же набор, что и прежде. В обосновании эффекта замещения по Слуцкому элиминируют влияние дохода вспомогательной бюджетной линией, проходящей через точку первоначального оптимального набора. Это означает, что эффект замещения определяют при неизменном реальном доходе потребителя.

По Хиксу реальный доход измеряется полезностью приобретаемого набора товаров. Если после изменения цен потребитель может купить на весь свой доход набор, имеющий такую же полезность, что и прежний набор, то его благосостояние, т. е. реальный доход, не изменяется. При выделении эффекта замещения по Хиксу влияние дохода элиминируется тем, что вспомогательная бюджетная линия (на которой находится вспомогательный набор, разделяющий эффект замещения и эффект дохода) касается кривой безразличия, на которой находится первоначальный набор.

Величина эффекта замещения и эффекта дохода по Слуцкому и по Хиксу различаются. Поэтому хотя кривые компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу располагаются одинаково относительно маршаллианской кривой спроса, имеют отрицательный наклон, но их наклоны различны. Компенсированный спрос по Слуцкому является функцией переменной цены одного из товаров, постоянных ценах всех остальных товаров и неизменного реального дохода потребителя. В случае двух товаров функцию можно записать так: . Компенсированный спрос по Хиксу есть функция товара при постоянной цене товара и фиксированной полезности набора, приобретаемого потребителем .

Основное уравнение теории ценности позволяет рассматривать изменение спроса одного потребителя на группы товаров при одинаковом изменении их цен, изучать воздействие, которое оказывает изменение цены на спрос со стороны групп потребителей, имеющих одинаковые доходы, и другие процессы.

1.3.  Предельная полезность по доходу и предельная полезность

по цене продукта (тождество Роя)

Рассмотрим предельную полезность по доходу и предельную полезность по цене продукта для случая приобретения потребителем двух товаров. Выводы естественным образом переносятся на случай любого числа товаров .

Значения - представляют собой решение задачи потребления - оптимального положения рационального потребителя в экономике. Покажем, что предельная полезность по доходу

(1.15)

равна множителю Лагранжа . Для выполняются необходимые условия оптимальности

(1.16)

Равенство является тождеством по переменным Продифференцируем его по доходу, получим Так как то , что и требовалось доказать.

Вывод (1.15,2.3) позволяет оценить максимальное значение общей полезности при условии При относительно малом изменении дохода множитель Лагранжа мал так, что для заметного увеличения полезности приобретаемого набора необходимо значительно увеличить расход потребителя, что следует из .

Косвенная функция полезности по определению есть максимум функции общей полезности при наличии бюджетного ограничения, есть функция цен и дохода потребителя.

Изменение значения косвенной функции полезности, вызванное изменением цены одного из товаров, является произведение т. е.

(1.17)

Решение задачи Лагранжа получено из необходимых условий максимума функции полезности. Продифференцируем тождество по переменным ценам товаров. Получим

(1.18)

Тогда

Значение определено из условия (1.18,2.5). Аналогично можно показать, что.

Условия (1.16) позволяют оценить новый функции полезности, который имеет место при относительно малом изменении цены:

Таким образом, для любого числа товаров предельная полезность косвенной функции полезности по доходу и по ценам равна:

, ,…,.

1.4.  Предельный расход по полезности и предельный расход

по цене продукта

Рациональный потребитель стремится приобрести набор, имеющий максимальную полезность. Возникает вопрос, как достичь такого уровня полезности с наименьшими расходами? Решим задачу минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности – максимально возможном уровне полезности методом Лагранжа. Исходные условия задачи;

→ (1.19)

(1.20)

Функция Лагранжа сформулированной задачи имеет вид:

. (1.21)

Запишем необходимые условия минимизации издержек - условия первого порядка.

(1.22)

Получили систему уравнений с тремя неизвестными. Решение системы называется критической точкой функции Лагранжа. Критическая точка без координаты , т. е. называется короткой точкой. Система имеет единственное решение , представленное функциями:

Первые два уравнения называются функциями спроса потребителя по Хиксу на первый и второй товары или функциями компенсированного спроса. Функции спроса по Хиксу подставляем в функцию бюджетного ограничения, получим выражение:

Функция называется функцией расходов. Она зависит от цен и максимальной величины общей полезности набора, но явно не зависит от объемов приобретаемых потребителем продуктов. С ростом полезности оптимального набора и неизменных ценах расходы потребителя увеличиваются. Если растет цена хотя бы одного товара, что уменьшает полезность набора, то для достижения потребителем исходного уровня полезности его расходы должны увеличиться. Если цены товаров растут в одинаковой пропорции, то расходы потребителя для достижения оптимального уровня полезности должны вырасти в такой же пропорции.

Функция расходов растет по цене убывающим темпом, что обусловлено замещением более дорогого товара относительно более дешевым в оптимальном наборе.

Свойства функции расходов состоят в следующем. Функция расходов однородна первой степени по переменным ценам продуктов. Доказательство

Если максимальная полезность растет, то и расход потребителя растет. Функция расходов непрерывна по ценам и дважды дифференцируема.

Функции спроса являются однородными нулевой степени по переменным ценам так, что для любого положительного числа выполняется равенство: Доказательством служат следующие выражения:

→, (1.23)

Задачи на нахождение набора, имеющего максимальную полезность для потреби, 1.3), минимизации расходов потребителя при фиксированном уровне полезности(1имеют одно и тоже решение .

Функция спроса по Хиксу непрерывна. Доказательство не приводится.

Для любого числа продуктов в наборе функции спроса по Хиксу имеют вид: Объемы продуктов, входящих в потребительскую корзину, имеющей максимальную полезность, являются функциями цен и набора максимальной полезности.