z2 =

2. Найдем z13 :

(2 + 2i )3 =23 + 3 2 2 × 2i + 3 22 + (2)3 = 8+ 24 + 24i2 + 83 =

= 8 + 24i – = -16 + 16i

3. Найдем по формуле:

где k = 0, 1, … , n-1

Получаем

Полагая k = 0, 1, 2 находим три значения корня:

Ответ: 1) z1 = , z2 =;

2) z13 =i; 3)

2.4 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

1. Дан параллелограмм АВСD, три вершины

которого (А(4; - 4; 2), В(- 5; 2; - 3), С(- 1; 7; -2)) заданы. Найти координату четвертой вершины D и острый угол параллелограмма.

Решение:

Пусть О – точка пересечения диагоналей параллелограмм АВСD. Т. к. точка О – точка середины отрезка АС (диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам), то ее координаты найдем по формуле:

Получили точку О(3/2; 3/2; 0).

С другой стороны точка О является также и серединой отрезка ВD. Координаты точек О и В известны. Координаты точки D определим из формул:

Итак, получили точку D(8; 1; 3).

Найдем угол между любыми пересекающимися сторонами параллелограмма, например, между сторонами АВ и АД, как угол j между векторами

Как видим, угол между сторонами АВ и АД – тупой. Острый угол параллелограмма будет 180о – 98,2о » 81,8о.

Ответ: D (8; 1; 3); j » 81,2 о

2. Определить вид кривой, которая задана выражением

Решение

В заданном уравнении коэффициенты при x² и y² равны и отсутствует член с произведением координат, значит заданное уравнение – уравнение окружности. Преобразуем его, выделив полные квадраты:

(x² + 2x + 1) + y² -1 – 3 = 0 Þ (х + 1)2 + у2 = 4 Þ

(х + 1)2 + у2 = 22

Полученное уравнение описывает окружность радиусом R = 2 с центром в точке О(- 1, 0).

Ответ: окружность радиусом R = 2 с центром в точке О(-1, 0).

3.Записать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

М(2; - 1; 3) на прямую

Решение

Исходя из заданного уравнения прямой запишем ее параметрическое уравнение:

х = 2 + 3t

y = 1 +2t

z = - 3 + t

Проекция точки М на данную прямую есть точка K (2 + 3t; 1 + 2t; - 3 + t).

= (хК – хМ; уК – уМ; zК – zМ) = (2 + 3t – (- 4); 1 + 2t – 2; - 3 + t –

= (3t + 6; 2t - 1; t).

Т. к. направляющий вектор (3; 2; 1) заданной прямой и прямая МК перпендикулярны, то скалярное произведение векторов и равно нулю: или

(3t + 6) · 3 + (2t - 1) · 2 + t · 1 = 0 Þ 9t + 18 + 4t - 2 + t = 0 Þ

14 t + 16 = 0 Þ

Тогда получим координаты точки

Запишем уравнение искомой прямой МК в виде уравнения прямой, проходящей через две точки:

- искомое уравнение перпендикуляра

Ответ:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3