Решебник к сборнику заданий , для проведения экзамена по геометрии в 9 классе (стр. 3 )

Тогда получим для :

,

Ответ: ,

Вариант 8.

№13.

Две стороны треугольника имеют длины 10 см и 6 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7 см. Найдите угол между данными сторонами треугольника.

Дано: , ВМ – медиана,

Найти:

Решение.

По теореме косинусов:

Ответ:

№14.

В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АВ и по одной вершине на сторонах АС и ВС. Найдите площадь квадрата, если АВ=40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет длину 24 см.

Дано: , MKLN – квадрат, СН – высота,

Найти:

Решение.

(по двум углам)

Тогда

см2

Ответ: см2

№15.

Вне квадрата на его стороне, построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. Докажите, что биссектриса прямого угла этого треугольника проходит через центр квадрата.

Дано: ABCD – квадрат, - прямоугольный, NM-биссектриса.

Доказать: NM проходит через центр ABCD

Доказательство.

Достроим BCDАN до квадрата со стороной BN+AN, (по трем сторонам).

Пусть О – центр квадрата NLMK, тогда , значит, - прямоугольные и равнобедренные, т. е. NM и LK – биссектрисы , значит, биссектрисы пересекаются в центре NLMK, т. е. О – центр ABCD, ч. т.д.

Вариант 9.

№13.

Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований.

Дано: ABCD – трапеция, .

Доказать:

Доказательство.

Дополнительное построение: ,

По теореме Пифагора: , т. е. , ч. т.д.

№14.

В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 см и 8 см. Найдите длины сторон треугольника.

Дано: , - вписана в , N, K, M, L – точки касания, ,

Найти:

Решение.

, с другой стороны

Пусть , тогда получим:

Тогда

Ответ:

№15.

Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

Дано: , , MB- медиана, BD- биссектриса,

Найти:

Решение.

Впишем в окружность . Пусть , тогда , как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, тогда - равнобедренный и KD- высота, медиана и биссектриса.

, т. е. KF – диаметр.

, как накрест лежащие при BH║KM, тогда .

(по двум углам), тогда -равнобедренный и ВК=ВС- серединный перпендикуляр к KF - центр окружности - диаметр, тогда , , ,

Ответ: , , .

Вариант 10.

№13.

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F и G – середины сторон АВ, ВС и AD соответственно, причем . Найдите угол ACD.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .

Найти:

Решение.

GF – серединный перпендикуляр к , GЕ – серединный перпендикуляр к , значит, точка G равноудалена от всех вершин ABCDG – центр описанной около ABCD окружности.

опирается на диаметр

Ответ:

№14.

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 1:3. Диагонали ромба равны 18 см и 24 см. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.

Дано: DBFE – ромб, , , .

Найти: АВ, ВС

Решение.

Т. к. DBFE – ромб, то, из прямоугольного .

и аналогично , тогда и , как соответственные углы при параллельных прямых, значит,

Ответ: ,

№15.

Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырехугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.

Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник, .

Доказать: BF=KL

Доказательство.

Зададим прямоугольную систему координат так, что сторона СВ лежит на оси Ox, AD - на Oy, тогда пусть A(0;a), B(b;0), C(c;0), D(0;d).

Тогда , , ,

Т. е. BF=KL, ч. т.д.

Вариант 11.

№13.

В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD=6 см и BD=5 см.

Дано: ABCD – параллелограмм, , .

Найти: АС

Решение.

Дополнительное построение: , так что и поэтому , Т. е. получим прямоугольник , где , . Из прямоугольного :

Ответ:

№14.

В шестиугольнике ABCDEF AB=AF, BC=CD, DE=EF. Докажите, что биссектрисы углов А, С и Е пересекаются в одной точке.

Дано: ABCDEF, AB=AF, BC=CD, DE=EF, АА1, СС1, ЕЕ1 - биссектрисы.

Доказать:

Доказательство.

- равнобедренные, тогда АА1, СС1, ЕЕ1 – биссектрисы и медианы - серединные перпендикуляры к сторонам , а серединные перпендикуляры пересекаются в треугольнике в одной точке, т. е. , ч. т.д.

№15.

Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 12 см, а угол между ними равен . Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Дано: , , .

Найти: длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Решение.

По теореме косинусов

, т. е. искомая биссектриса , т. к. против большего угла лежит большая сторона

Ответ:

Вариант 12.

№13.

В треугольнике со сторонами 30 см, 25 см и 11 см найдите длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.

Дано: , .

Найти: длину высоты, проведенной из вершины меньшего угла.

Решение.

Дополнительное построение:

Меньший угол лежит против меньшей стороны - меньший.

Пусть , тогда из :

Из ,

Ответ:

№14.

Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 29 см, а средняя линия – 21 см.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция,, - средняя линия, .

Найти:

Решение.

Дополнительное построение: .

Т. к. , то

- прямоугольный,

Ответ:

№15.

Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину.

Дано: , - хорды, - середины хорд

Найти: ГМТ

Решение.

, т. к. , ( по теореме о диаметре, делящем хорду пополам),

Тогда , т. е. середины хорд равноудалены от центра окружности, т. е. лежат на окружности с центром в точке О и .

Теперь докажем, что все точки окружности являются серединами хорд данной окружности длины l.

Пусть . Построим , т. е. АВ – касательная к окружности.

( - общая, AO=OB=R). По теореме Пифагора , ч. т.д.

Ответ: середины хорд лежат на окружности с центром в точке О и .

Вариант 13.

№13.

В треугольнике АВС проведены медианы АМ и CN. найдите расстояние между их серединами, если АС=16 см.

Дано: , медианы АМ и СN, AD=DM, NF=FC, .

Найти:

Решение.

Введем прямоугольную систему координат так, что A(0;0), B(a;b), C(16;0), тогда , ,

Ответ:

№14.

В треугольнике ABC угол A больше угла B, а угол B больше угла C. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?

Дано: DABC, ÐA > ÐB >ÐC, O –центр вписанной в DABC окружности

Найти: к какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности

Решение:

Поскольку O – центр вписанной окружности, то OA, OB и OC – биссектрисы углов A, B и C соответственно.

Т. к. ÐA > ÐB, то ÐA > ÐB, а т. к. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона .

Аналогично (из ). Таким образом, центр вписанной в треугольник ABC окружности ближе всего расположен к вершине A.

№15.

Дан прямой угол. Найдите геометрическое место середин всех отрезков одной и той же длины с концами на сторонах этого угла.

Дано: - прямоугольный, , , ,

Найти: ГМТ

Решение.

- прямоугольные, тогда , значит, точки лежат на дуге окружности с центром в точке С и

Ответ: точки лежат на окружности с центром в точке С и

Вариант 14.

№ 13.

В прямоугольном треугольнике ABC (ÐC – прямой) проведена высота CD, а в треугольнике ACD – биссектриса CE. Докажите, что треугольник BCE равнобедренный.

Дано: DABC, ÐC = 90°, CD – высота DABC, CE – биссектриса DACD

Доказать: DBCE – равнобедренный.

Доказательство.

Так как CE – биссектриса ÐACD, то ÐACE = ÐECD. ÐBCE = ÐACB - ÐACE = 90° -

-ÐECD, ÐBEC = 180° - ÐADC - ÐECD = 90°- -ÐECD Þ ÐBCE = ÐBEC Þ DBCE – равнобедренный.

№ 14.

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. Определите, в каком отношении диагонали трапеции делятся точкой пересечения.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция AB = CD, AC ^ CD, AC Ç BD = O, AC –биссектриса ÐA