функция не является нечетной.
Функция является функцией общего вида.
Замечание: Вывод об общем виде функции можно сделать на основании несимметричности относительно начала отсчёта её области определения.
3) Функция имеет одну точку разрыва второго рода 
, поскольку в ней односторонние пределы бесконечны:
; 
.
4) Исследуем график функции на асимптоты.
4.1) Вертикальная асимптота задается уравнением 
, если
.
Следовательно, есть вертикальная асимптота графика функции 
.
4.2) наклонная асимптота задается уравнением 
, где
,
.
.
.
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид 
.
5) Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (в них ордината, т. е. 
, равна 0), которые вместе с точками разрыва разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства.
т. е. 
.
6) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
6.1) Производная функции
= 
= 
=
6.2) Критические точки - те точки из области определения функции, в которых производная либо не существует, либо равна нулю.
, если , но 
не является критической.
.
.
6.3) Нанесём критические точки на числовую прямую. Определим знак производной слева и справа от критических точек:
=
Поскольку 
при 
, то знак производной определяется знаком её числителя, т. е. знаком квадратного трёхчлена 
.
Воспользуемся методом интервалов.
При 
;
при переходе через корень квадратный трёхчлен меняет свой знак на противоположный.
Согласно достаточному условию возрастания и убывания функции и первому достаточному условию экстремума, при 
и 
функция возрастает, при 
убывает;
- точка максимума, 
- точка минимума.
Находим 
;
.
7) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
7.1) Вторая производная функции:
= 
.
7.2) Найдем точки, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует, и определим ее знак слева и справа от этих точек.
при , но
Следовательно, точек перегиба нет. Вместе с тем, 
(x) меняет свой знак:
если 
если 
Следовательно, при 
функция выпукла вверх, а при 
функция выпукла вниз;
8) построим график функции.
Задание 4.
Найти неопределенный интеграл. Результаты проверить дифференцированием.
4.1. 
Решение.
При вычислении интегралов пользуются следующими свойствами интеграла (буква 
означает постоянную величину, а 
и 
- функции):
1) 
;
2) 
.
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
,
,
, (
),
В данном задании используем метод замены переменной. Введем новую переменную 
. Тогда
Выразим дифференциал старой переменной 
через дифференциал новой переменной 
:
Осуществим замену переменной в подынтегральном выражении:
.
Следовательно,
Проверим результаты дифференцированием:
Получили подынтегральную функцию.
4.2. 
Решение.
Выделим в знаменателе полный квадрат.
.
4.3. 
Решение.
Используем метод интегрирования по частям.
Положим 
.
Дифференцируя первое равенство и интегрируя второе 
,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
