Методические рекомендации и контрольные задания для студентов II курса (стр. 4 )

Интегрируя левую и правую части данного равенства, получим

,

,

, или .

Обозначив , получим ответ: .

Раздел II

Линейная алгебра

Задание 1.

1.1. Вычислить A·B, если , .

Решение.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, то матрица А называется согласованной с матрицей В. В этом случае определено умножение матрицы А на матрицу В. Размерность матрицы A - , а матрицы B - => размерность матрицы - .

. Получаем .

Произведение матрицы В на матрицу А невозможно, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Задание 2.

2.1. Найти значение матричного многочлена , если , .

Решение.

,

.

Задание 3.

3.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение.

Запишем матрицу данной системы:

,

- вектор столбец свободных коэффициентов.

Формулы Крамера имеют вид .

Найдем D - определитель матрицы А (по правилу треугольников).

=1×3×3+1×(-4)×(-3)+2×(-2)×5-2×3×(-3)-1×5×3-(-2)×(-4)×1= -4

Найдем Dn – определитель матрицы, полученной из матрицы А путём замены n-го столбца на столбец свободных коэффициентов (столбец В).

-

,

-

,

-

.

Таким образом .

3.2. Записать систему линейных уравнений в матричном виде и решить её с помощью обратной матрицы.

Решение.

Запишем матричное уравнение соответствующее данной системе:

,

то есть АХ = В. Домножим слева обе части этого уравнения на обратную матрицу к матрице . Получим . Поскольку , а , то решение данного уравнения имеет вид .

Обратная матрица вычисляется по формуле

где - называется присоединенной матрицей и вычисляется по формуле

=.

Аij – алгебраические дополнения матрицы А.

.

- определитель матрицы А (уже вычисляли в предыдущем пункте).

Таким образом .

, то есть .

3.3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных.

Решение.

а) Выпишем расширенную матрицу этой системы.

б) сведем матрицу D к «треугольному» виду, из которого сможем непосредственно найти решение системы.

Для этого произведем над строками матрицы D элементарные преобразования. К ним относятся:

- изменение порядка строк (соответствует изменению порядка уравнений);

- умножение строки на отличное от нуля число (отвечает умножению соответствующих уравнений на это число);

- прибавление к любой строке матрицы D любой другой ее строки, умноженной на число (соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на число).

Итак, стремясь привести матрицу к «треугольному» виду проделаем следующие преобразования:

1) вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 5;

2) к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 3;

3) первую строку оставим без изменения.

Умножим вторую строку на .

Вычтем из третьей строки вторую и тем самым окончательно приведем расширенную матрицу к «треугольному» виду.

Это расширенная матрица системы

эквивалентной исходной системе.

Подставляя значение во второе уравнение, находим :

Подставляя значение и в первое уравнение, находим :

Таким образом, решение исходной системы линейных уравнений имеет вид:

, , .

Замечание. В индивидуальном варианте необходимо выполнить проверку полученного решения.

Задание 4.

4.1. Решить матричное уравнение

.

Решение.

Имеем матричное уравнение , где , .

Домножим справа обе части этого уравнения на обратную матрицу к матрице . Получим . Поскольку , а , то решение данного уравнения имеет вид .

Обратная матрица вычисляется по формуле

.