Методические рекомендации и контрольные задания для студентов II курса (стр. 3 )

имеем:

Пользуясь формулой интегрирования по частям , получим:

Оформлять эту запись будем так:

Проверим полученный результат дифференцированием:

т. к. , то

.

Получили подынтегральную функцию.

Замечание: Метод интегрирования по частям можно применить несколько раз, при этом необходимо, чтобы подынтегральное выражение либо упрощалось, либо приводилось к исходному виду.

Рекомендация. В качестве u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается; за dv выбирается такое выражение, содержащее dx, которое легко интегрируется. Если под интегралом стоит произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u нужно принять алгебраическую функцию. Если произведение логарифмической функции на алгебраическую, то в качестве u принимают логарифмическую функцию.

Задание 5.

Вычислить определенный интеграл

5.1.

Решение.

Используем метод замены переменной. Введем новую переменную t = 11+5x. Тогда

Выразим дифференциал старой переменной х через дифференциал новой переменной t:

Осуществим замену переменной в подынтегральном выражении:

.

При замене переменной в определенном интеграле меняются пределы интегрирования:

если , то ,

если , то .

Таким образом, получим

Замечание: При вычислении определенного интеграла мы воспользовались формулой Ньютона-Лейбница: если - первообразная для функции , то имеем

.

5.2.

Решение.

Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла:

, тогда

-

Задание 6.

6.1. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями , .

Решение.

Если фигура ограничена линиями и (см. рис.), то ее площадь находится по формуле , где и - абсциссы точек пересечения графиков, которые находятся как решения системы уравнений: , - функция, график которой на отрезке расположен выше, а - ниже.

Изобразим графики заданных функций:

Найдем точки пересечения данных функций. Для этого решим уравнение: . Домножив обе части на , получим , или . Корни полученного квадратного уравнения . Таким образом, площадь заштрихованной фигуры

=

Задание 7.

Найти частные производные первого порядка

7.1. .

Решение.

Частные производные первого порядка , функции двух переменных находятся по обычным правилам и формулам дифференцирования по каждой из переменной при фиксированном значении второй переменной.

.

7.2.

Решение.

;

.

Задание 8.

8.1. Найти экстремум функции двух переменных .

Решение.

Необходимое условие экстремума: функция может иметь экстремум только в точках, в которых и . Эти точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Пусть - критическая точка. Введем обозначения для вторых производных в этой точке: , , , . Тогда, если:

1) и , то - точка минимума;

2) и , то - точка максимума;

3) , то не является точкой экстремума.

Сначала находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений:

,

,

.

Из первого уравнения выражаем , подставляем его во второе:

.

Решая второе уравнение, получим что . Следовательно . Точка - критическая точка.

Находим производные второго порядка:

,

,

.

Таким образом , , , .

Поскольку и , то точка - точка минимума; .

Задание 9.

9.1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

или .

Поскольку данное уравнение приводится к виду

,

то оно является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив обе его части на , получим уравнение с разделенными переменными:

,

.