Дифференциальные уравнения (стр. 2 )

3.2.3 Линейные уравнения первого порядка

и уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:

(3.10)

где и непрерывные заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (3.10): искомая функция и её производная входят в уравнение первой степени, не перемножаясь между собой.

Решение уравнения (3.10) ищется посредством замены функции произведением двух вспомогательных дифференцируемых функций, зависящих от , то есть , где , . С помощью такой подстановки линейное ДУ сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Уравнение вида:

, , , (3.11)

называется уравнением Бернулли.

Если , то ДУ (3.11) является линейным, а при с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли (3.11), отличающееся от линейного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции , решается так же, как линейное. Посредством подстановки оно также сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 78. Найти общее решение уравнение

Решение. Данное уравнение соответствует (3.10), где , , поэтому является линейным. Полагаем . Тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

или .

Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то подберем функцию такой, чтобы она удовлетворяла уравнению

.

Или можно сказать так: выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания получим уравнение .

Решим первое уравнение. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что , получим . Умножим уравнение на : .

Интегрируя последнее уравнение, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

; ; .

Подставляя во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

, , , , , .

Зная функции и , находим искомую функцию :

.

Пример 79. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Разделим данное уравнение на :

. Здесь , , согласно (3.10) данное уравнение является линейным.

Полагая , имеем . Данное уравнение примет вид:

или .

Отсюда, как и в решении примера 78, получаем два уравнения с разделяющимися переменными: 1) и 2) .

Решая первое уравнение, находим как частный интеграл этого уравнения: , . Умножим последнее уравнение на и проинтегрировав, находим функцию :

, , , .

Подставляя во второе уравнение и решая его, находим как общий интеграл этого уравнения:

Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения:

.

Подставляя сюда заданные значения переменных при , находим значение произвольной постоянной :

, , .

Таким образом, искомый частный интеграл будет

.

Пример 80. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Разделим обе части уравнения на :

или

Убеждаемся, что это уравнение Бернулли (3.11), где , .

Заменяя функцию по формуле , имеем , , . Получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1) и 2) .

Решая первое уравнение, находим как частный интеграл этого уравнения:

, , . Умножая уравнение на и интегрируя, получим:

, , , ,

частный интеграл первого уравнения.

Подставим во второе уравнение:

, , .

Умножим уравнение на и проинтегрируем , , , , .

Тогда искомый общий интеграл данного уравнения

или .

Пример 81. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Преобразуем данное уравнение

.

Здесь , . Убеждаемся, что это уравнение Бернулли (3.11). Заменяя функцию по формуле , имеем , или .

Отсюда, как и в решении предыдущего примера, получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1) и 2) .

Решим первое уравнение:

, , .

Умножим уравнение на и проинтегрируем

, , , .

Нашли как простейший частный интеграл первого уравнения.

Подставим найденную функцию во второе уравнение и преобразуем его:

, , .

Так как тогда получим: Умножим уравнение

на : , . Проинтегрируем последнее уравнение

, , , . Умножим на -2: , тогда .

Получили общий интеграл второго уравнения. Так как вторая вспомогательная функция получена в четной степени , удобнее выразить общий интеграл данного уравнения как :

.

Подставляя сюда заданные значения переменных , , находим значение произвольной постоянной :

, , .

Следовательно, искомый частный интеграл будет

.

Задания для самостоятельного решения

1. Проверить, является ли указанная функция решением данного уравнения:

а) , ; б) , ;

в) , ; г), ; д), .

Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если даны начальные условия, найти частные решения:

2. , , . 3. , , . 4. , , . 5. , , . 6. , , . 7., , . 8., , . 9., , . 10. .

11. .

Проинтегрировать однородные дифференциальные уравнения:

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Проинтегрировать линейные ДУ и уравнения Бернулли. Если даны начальные условия, найти частные решения:

19. . 20. ; . 21. ; . 22. . 23. , .

24. , .

25. Определить тип дифференциального уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) .

Ответы. 1. а) является; б) является; в) не является; г) является; д) не является. 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. а) с разделяющимися переменными; б) линейное; в) Бернулли; г) однородное; д) Бернулли; е) с разделяющимися переменными; ж) однородное; з) однородное; и) с разделяющимися переменными; к) линейное.

3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков

3.3.1 Основные понятия и определения

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде: