Дифференциальные уравнения (стр. 3 )

(3.12)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

. (3.13)

Будем в основном рассматривать уравнение вида (3.13): от него всегда можно перейти к (3.12).

Определение. Решением ДУ (3.13) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение. Общим решение ДУ (3.13) называется функция , где и не зависящие от произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:

1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения и .

2. Каковы бы ни были начальные условия

, , (3.14)

существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (3.13) и удовлетворяет начальным условиям (3.14).

Определение. Всякое решение уравнения (3.13), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , , называется частным решением.

Решения ДУ (3.13), записанные в виде , , называются общим и частным интегралами соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (3.13) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (3.13), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.14), называется задачей Коши.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ го порядка, которое в общем виде записывается как

или

. (3.15)

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения, которое удовлетворяет условиям: , ,…, при , где , , …, заданные числа, которые называются начальными данными или начальными условиями.

Проинтегрировать (решить) ДУ го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Интегрирование дифференциальных уравнений го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.

3.3.2 Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. .

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение порядка решается последовательным интегрированием раз.

Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение го порядка:

.

Снова умножая обе части на и интегрируя, получаем уравнение порядка:

и т. д.

После кратного интегрирования получаем общий интеграл у этого уравнения в виде явной функции от и произвольных постоянных:

.

Пример 82. Найти общее решение уравнения .

Решение. Умножая обе части данного уравнения 3-го порядка на и затем, интегрируя, получим уравнение 2-го порядка:

, , ,

, .

Далее тем же способом получаем уравнение 1-го порядка:

, , ,

, .

И, наконец получаем искомую функцию – общий интеграл данного уравнения:

, , ,

, .

Пример 83. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям , , , .

Решение. Заменим отношением дифференциалов: . Умножим обе части данного уравнения на и проинтегрируем:

, , ,

, ,

.

Получили уравнение 3-го порядка. Используя одно из начальных условий , найдем константу :

, .

Заменяя отношением дифференциалов , умножая обе части уравнения 3-го порядка на , а затем, интегрируя, получим уравнение 2-го порядка:

, ,

, .

Используя начальное условие , найдем константу :

, , , тогда

.

Выполняя те же действия, получим уравнение 1-го порядка:

, ,

, ,

.

Так как , найдем постоянную :

, , тогда .

И, наконец, найдем функцию используя те же действия:

, ,

.

По условию , тогда , , .

Таким образом, частный интеграл данного уравнения имеет вид:

.

II. Дифференциальное уравнение вида , не содержащее явно искомой функции . Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, то есть, полагая , где . Тогда получаем уравнение:

.

Таким образом, порядок уравнения понижается на единиц.

Пример 84. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции . Полагая , получим и после подстановки данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:

.

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

, , ,

, , , .

Заменяя вспомогательную переменную через , получим уравнение , решая которое найдем искомый общий интеграл: , , .

Пример 85. Найти частный интеграл уравнения , удовлетворяющий условиям , .

Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции , поэтому, полагая , получим . Подставим правые части полученных равенств в данное уравнение:

, .

Разделим обе части уравнения на :

или .

Получили дифференциальное уравнение Бернулли. Воспользуемся подстановкой , откуда , тогда получим , .

Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными

1) и 2) .

Решим первое уравнение. . Умножим обе части уравнения на и разделим переменные

, , .

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем функцию :

, , .

Подставляя во второе уравнение и решая его, находим как общий интеграл этого уравнения

, , , , , , , , , . Тогда . Поскольку , тогда .

Получили ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: , тогда получим

, .

Проинтегрируем полученное уравнение

, .

Воспользуемся методом подстановки.

Пусть , , тогда , ,

, , .

.

Таким образом общий интеграл данного уравнения имеет вид:

.

Используя начальные условия , при , найдем значения постоянных и :

, .

Тогда частный интеграл данного уравнения имеет вид

.

III. Дифференциальное уравнение вида , не содержащее явно независимой переменной . Такое уравнение называется неполным ДУ. Его порядок можно понизить на единицу, положив , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим . Затем найдем

и так далее.

Пример 86. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно аргумента . Положим ; тогда и данное уравнение преобразуется в уравнение 1-го порядка:

; или .

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (3.5). Умножим обе части полученного уравнения на и проинтегрируем:

, , .

Применим к последнему интегралу метод подстановки. Пусть , тогда , , . Подставим полученные выражения под знак интеграла

Тогда получим , , , . Так как , тогда , , . Умножим полученное уравнение на и проинтегрируем