Дифференциальные уравнения (стр. 1 )

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3.1. Основные понятия и определения

Определение. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется равенство, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Например:

- ДУ второго порядка,

- ДУ третьего порядка,

- ДУ первого порядка,

- общий вид обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Определение. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

(3.1)

Уравнение связывает независимую переменную искомую функцию и её производную Если уравнение (3.1) можно разрешить относительно то его записывают в виде

(3.2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной.

Уравнение (3.2) можно записать в дифференциальной форме

(3.3)

где и известные функции. Уравнение (3.3) удобно тем, что переменные и в нем равноправны, то есть любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами).

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при функция должна быть равна заданному числу то есть называется начальным условием и записывается в виде

или (3.4)

Определение. Общим решением (общим интегралом) ДУ первого порядка называется функция содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении

2) Каково бы ни было начальное условие (или ), можно найти такое значение постоянной что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Определение. Частным решением (частным интегралом) ДУ первого порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной

С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых на плоскости частное решение одна кривая из этого семейства, проходящая через точку

Задача отыскания решения ДУ первого порядка (3.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (3.4), называется задачей Коши.

Рассмотрим методы интегрирования ДУ первого порядка определенного типа.

3.2.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида:

(3.5)

В нем одно слагаемое зависит только от а другое – от Обычно такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

Пример 69. Проверить, что данная функция является решением (интегралом) данного дифференциального уравнения

Решение. Найдем производную данной функции Подставив в данное уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество:

1=1.

Пример 70. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части на

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

Пример 71. Найти общее решение данного ДУ

Решение. Выразим производную через дифференциалы переменных и умножим обе части уравнения на

Интегрируя обе части полученного равенства, находим общее решение данного уравнения:

или

Пример 72. Найти общее решение уравнения

Решение. Воспользуемся свойствами степеней с одинаковыми основаниями степеней:

Выразим производную функции через дифференциалы переменных и умножим обе части уравнения на :

Разделяем переменные, умножая уравнение на

Интегрируя последнее равенство, получим общее решение данного уравнения:

Пример 73. Найти частный интеграл уравнения удовлетворяющий начальному уравнению .

Решение. Разделяя переменные (делим уравнение на ) и интегрируя, находим сначала общий интеграл данного уравнения:

Здесь произвольную постоянную взяли в виде логарифма для удобства нахождения общего интеграла, а поскольку это тоже некоторая постоянная величина, поэтому её обозначим через .

Затем, используя указанное начальное условие , подставляем в общий интеграл заданные значения переменных и определяем соответствующее значение произвольной постоянной:

При этом значении из общего интеграла получаем искомый частный интеграл, удовлетворяющий заданному начальному условию, .

Пример 74. Найти частный интеграл уравнения , удовлетворяющий начальному условию .

Решение. Дано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, неразрешенное относительно .

Выразим производную через дифференциалы переменных и умножим обе части уравнения на :

Разделяя переменные (делим уравнение на ) и интегрируя, находим общий интеграл данного уравнения:

Найдем полученный интеграл, пользуясь методом замены переменной. Пусть , тогда . Получим:

. Тогда .

Используя указанное начальное условие , подставляем в общий интеграл заданные значения переменных и определяем соответствующее значение произвольной постоянной :

.

Таким образом, частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий указанному начальному условию, имеет вид:

.

3.2.2 Однородные дифференциальные уравнения

I порядка

Определение. Функция называется однородной функцией го порядка (измерения), если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , то есть

.

Например, функция есть однородная функция третьего порядка, поскольку

Дифференциальное уравнение первого порядка

(3.6)

называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка или если можно представить как функцию только одного отношения переменных , то есть уравнение вида

. (3.7)

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме

, (3.8)

где однородные функции одинакового порядка.

Однородное уравнение (3.7) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)

или, что то же самое, . (3.9)

Пример 75. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Уравнение задано в дифференциальной форме (3.8). . Проверим однородность этих функций:

.

Функция является однородной второго порядка.

. Функция также является однородной второго порядка. В силу этого данное уравнение является однородным ДУ первого порядка.

Разрешим данное уравнение относительно производной, для этого разделим его на , а так как , получим

или .

Выразим из последнего уравнения :

, .

Воспользуемся подстановкой , тогда . Подставим правые части этих равенств в последнее уравнение

Так как , тогда получим или .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим уравнение на

.

Проинтегрируем полученное уравнение

или .

Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим

или .

Это и есть искомый общий интеграл.

Пример 76. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Вначале устанавливаем, что данное уравнение - однородное. Разрешим это уравнение относительно :

Получили уравнение вида (3.7), поэтому оно, а следовательно и данное уравнение является однородным. Заменим функцию . Полагая , при этом , подставим правые части в последнее уравнение

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Так как тогда получим: .

Разделим переменные. Для этого обе части уравнения умножим на :

затем умножим уравнение на :

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем это уравнение:

.

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения, воспользуемся методом замены переменной. Пусть , тогда , а значит . .

Таким образом, получим

.

Исключая вспомогательную переменную , найдем искомый общий интеграл:

.

Пример 77. Найти частный интеграл уравнения , удовлетворяющий начальному условию .

Решение. Выясним, является ли данное уравнение однородным. Разделим уравнение на и преобразуем его:

то есть .

Полученное уравнение является однородным, соответствующим уравнению (3.7). Поэтому, полагая , откуда , получим уравнение

или .

Разделим переменные полученного уравнения с разделяющимися переменными , умножим уравнение на :

.

Интегрируя полученное уравнение, имеем

, .

Возвращаясь к переменной , находим общий интеграл:

, , , .

Подставив заданные значения переменных , при , найдем значение : , .

Следовательно, искомый частный интеграл уравнения имеет вид:

или .