Дифференциальные уравнения (стр. 6 )

, , , , или .

Поэтому, согласно правилу 3, искомый общий интеграл

.

Пример 101. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение . Полученное уравнение является биквадратным. Пусть , тогда получим ,

. , . Характеристическое уравнение имеет две пары мнимых сопряженных корней , . Согласно правилу 3, общий интеграл данного уравнения

.

Пример 102. Решить уравнение .

Решение. Данному ЛОДУ седьмого порядка соответствует характеристическое уравнение или , . Оно имеет трехкратный действительный корень и пару двукратных мнимых сопряженных корней . Поэтому, согласно правилам 2 и 4 , общий интеграл данного уравнения имеет вид

.

Задания для самостоятельного решения

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

16.

17.

18.

Ответы: 1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. . 8.

9. 10.

11. 12. 13. . 14. .

15. . 16.

17. 18.

3.4.4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.26)

где и постоянны, . Уравнение

, (3.27)

Левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (3.26), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 4 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением уравнения (3.26) является сумма его произвольного (некоторого) частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (3.27), то есть

. (3.28)

Укажем некоторые случаи нахождения частного некоторого решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, не требующим интегрирования. Эти случаи типизируются по виду правой части уравнения .

I. .

II. .

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части уравнения (3.26) записывают ожидаемую форму частного некоторого решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют её в уравнение (3.26) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

I. Правая часть уравнения (3.26) имеет вид , где , многочлен степени . Тогда частное некоторое решение ищется в виде:

, (3.29)

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами, количество корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, совпадающих с (то есть число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения ). Это означает, что может принимать одно из следующих значений: 0;1;2.

а) Пусть не является корнем характеристического уравнения , то есть . Следовательно, , тогда .

б) Пусть (или ), то есть совпадает только с одним из корней характеристического уравнения, тогда , следовательно,

.

в) Если , то есть корни характеристического уравнения есть действительные равные числа и равные , тогда и

.

Если в данной правой части уравнения (3.26) отсутствует множитель , это означает, что , т. к. .

Еще раз поясним, как определяются коэффициенты многочлена находим первую и вторую производные и , полученные правые части , и подставляем в данное уравнение. После преобразования получаем слева – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов многочлена .

Напомним, каковы коэффициенты многочленов некоторых степеней:

многочлен нулевой степени ;

многочлен первой степени ;

многочлен второй степени ;

многочлен третьей степени и так далее, где ,, , некоторые постоянные величины.

Пример 103. Найти общее решение уравнения .

Решение. Согласно теореме 4 , поэтому вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение и решим его

, .

Тогда .

Найдем частное некоторое решение данного уравнения. По условию - многочлен второй степени, множитель отсутствует, поэтому . Среди корней характеристического нет нулей, следовательно , таким образом, есть многочлен второй степени

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов и найдем и

, .

Правые части , и подставим в данное уравнение

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях из обеих частей равенства, так как только при этом условии оно будет тождественным, получим систему

Следовательно, .

Тогда общее решение данного уравнения примет вид

.

Пример 104. Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение однородного уравнения

.

Правая часть данного уравнения есть произведение многочлена первой степени на . Здесь не совпадает ни с одним из корней характеристического решения, поэтому . Частное некоторое решение данного уравнения имеет вид

.

Для определения коэффициентов и найдем и

,

Правые части равенств , и подставим в данное уравнение

Сократим полученное равенство на и приведем подобные слагаемые

, или .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Частное некоторое решение примет вид

.

Тогда общее решение данного уравнения

.

Пример 105. Найти общее решение уравнения .

Решение. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному . Характеристическое уравнение или имеет корни . Тогда общее решение однородного уравнения примет вид

.

По условию , здесь дважды совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому , многочлен первой степени, следовательно, частное некоторое решение данного уравнения будет иметь вид

или

/

Аналогично примерам 103 и 104 найдем коэффициенты и :

.

Правые части равенств , и подставим в данное уравнение:

Сократим полученное равенство на и приведем подобные слагаемые .

Отсюда . Тогда общее решение данного уравнения

.

Пример 106. Найти частное решение уравнения , если , .

Решение. Вначале найдем общее решение данного неоднородного уравнения. Решим соответствующее однородное уравнение. Его характеристическое уравнение или имеет различные действительные корни и , поэтому общее решение однородного уравнения

или .

Правая часть данного уравнения многочлен второй степени, множитель отстутствует, значит, , которое совпадает с одним из корней характеристического уравнения , . Поэтому частное некоторое решение данного уравнения имеет вид

.

Найдем неопределенные коэффициенты и .

,

.

Тогда получим

,