Дифференциальные уравнения (стр. 7 )

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений

Таким образом , а общее решение данного уравнения

.

Для получения частного решения найдем и воспользуемся начальными условиями (здесь ) и (здесь также ):

Поэтому, частное решение данного уравнения имеет вид

.

II. Правая часть уравнения (3.26) имеет вид , где и многочлены степени и соответственно, и действительные числа. Тогда частное некоторое решение данного уравнения ищется в виде

. (3.30)

Здесь равно показателю кратности корней в характеристическом уравнении соответствующего однородного уравнения: если характеристическое уравнение таких корней не имеет, то , а если имеет такие корни, то (то есть в данном случае для уравнений 2-го порядка ); и полные многочлены от степени с различными неопределенными коэффициентами, при одних и тех же степенях в обоих многочленах, причем равно наибольшему из чисел и ( или ):

и .

Следует помнить, что если в выражении функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводить обе функции.

Неопределенные коэффициенты многочленов находятся так же, как и в случае I.

Форма сохраняется и в случаях, когда или .

Если правая часть уравнениях (3.26) есть сумма двух функций вида I и II, то есть , то для нахождения частного некоторые решения следует использовать теорему о наложении решений: надо найти частные решения, соответстующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частым некоторым решением исходного уравнения (то есть уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).

Пример 107. Найти общее решение уравнения .

Решение. Решим соответствующее однородное уравнение . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , , , тогда . По условию , правой части соответствуют числа , которые не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное некоторое решение данного уравнения будет иметь вид

.

Здесь и постоянные, так как по условию множитель перед равен 37- постоянной.

Для нахождения и найдем первую и вторую производные от и полученные правые части , иподставим в данное уравнение:

, ,

,

,

,

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и решим полученную систему уравнений:

Тогда получим .

Общее решение данного уравнения примет вид:

/

Пример 108. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид

, его корни

. Тогда общее решение однородного уравнения

.

По условию , правой часи этой функции соответствует число , которое совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому частное некоторое решение будем искать в виде

.

Найдем первую и вторую производные от :

Подставим полученные результаты в данное уравнение

Сократим полученное равенство на :

Отсюда получим

Таким образом .

Общее решение данного уравнения примет вид:

.

Пример 109. Решить уравнение .

Решение. Решим соответствующее однородное уравнение: , , , . Согласно формуле (3.21) получим .

По условию , правой части соответствуют числа , которые не совпадают с корнями характеристического уравнения. Тогда в равенстве (3.30) , , . Тогда получим

.

Найдем и:

Правые части , и подставим в данное уравнение

Сократим обе части полученного равенства на и приведем подобные слагаемые

,

.

.

Приравнивая множители при одинаковых тригонометрических функциях

Получим равенства многочленов, в каждом из которых приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

Тогда .

Таким образом, общее решение данного неоднородного уравнения примет вид

.

Пример 110. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Тогда

.

Правая часть данного уравнения есть сумма многочлена первой степени и показательная функция . Поэтому частное некоторое решение данного уравнения согласно теореме о наложении решений

.

Найдем , :

, .

Правые части , , подставим в данное уравнение

и приравнивая коэффициенты подобных членов из обеих частей полученного равенства, имеем систему:

Следовательно ,

.

Для нахождения частного решения данного уравнения найдем

и подставим в и заданные начальные условия при , , :

Тогда искомое частное решение примет вид:

.

Задания для самостоятельного решения

Найти общие решения ЛНДУ:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:

13. , , .

14. , .

15. , , .

16. , , .

17. , , .

Ответы: 1. .

2. .

3. 4. .

5. . 6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. . 14. .

15.. 16. .

17. .

Индивидуальное домашнее задание по теме

«Дифференциальные уравнения»

Задача 1. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.