Умножение матриц произвольного формата (стр. 2 )

§2. Умножение матриц произвольного формата

2.1. Два случая умножения матриц

Рассмотрим два возможных случая:

1) Не все переменные y1,y2,…,yn выражаются через переменные z1,z2,…,zq, а только y1,y2,…,yn-k (kN{0}).

2) Через z1,z2,…,zq выражаются не только переменные y1,y2,…,yn ,но еще и некоторые переменные yn+1,…,yp.

Случай 1.

□(1')

(2')

■

Случай 2.

□(1'')

(2'') ■

В случае (1) подставим вместо y1,y2,…,yn-k в формулу (1') их выражение через z1,z2,…,zq , взятые из формулы(2'). Получим выражение m переменных x1,x2,…,xm, через (q+n-k) переменных z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn . При этом, коэффициент cij при zj в выражении xi через z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn находится по формуле

А коэффициент dis при yn-k+s в выражении xi через z1,z2,…,zq и yn-k+1,…,yn равен a1(n-k+s).

Тогда матрица С, составленная из коэффициентов выражений x1,x2,…,xm через z1,z2,…,zq, yn-k+1,…,yn , находится следующим образом. Сначала умножаем матрицу Am(1-(n-k)),составленную из первых n-k столбцов матрицы А на всю матрицу B(n-k)q . Затем к полученному произведению приписываем справа матрицу, составленную из последних k столбцов матрицы А. Получим, что

В случае (2) подставим вместо y1,y2,…,yn в формулу (1'') их выражение через z1,z2,…,zq, y1,y2,…,yn из формулы (2'') получим выражение m+k переменных x1,x2,…,xm, yn-k+1,…,yn через q переменных z1,z2,…,zq.

При этом коэффициент cij при zj в выражении ys через z1,z2,…,zq.

А коэффициент dsj s=n+1,…,n+k при zj выражении ys через z1,z2,…,zq находится по формуле dsj=bsj.

Тогда матрица С, составленная из коэффициентов выражений x1,x2,…,xm, yn+1,…,yn+k через z1,z2,…,zq находится следующим образом. Сначала матрицу Amn умножаем на матрицу B(1-n)q, составленную из первых строк матрицы B(n-k)q. Затем к полученному произведению приписываем снизу матрицу, составленную из последних k строк матрицы В. Получим, что