Умножение матриц произвольного формата (стр. 5 )

А) (A∙B)∙C=(Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n)∙Ck×l

1) n>p и q+(n-p)>k. Аналогично, как при доказательстве пункта III имеем:

(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n

Б)

(Am,1→p∙( Bp×q∙ Ck×l))| Am,(p+1)→n

Таким образом, для случая 1) выполнение условия ассоциативности

умножения матриц произвольного формата справедливо.

2) n>p и q+(n-p)>k

A) (А∙B)∙C=((Am,1→p∙Bp×q)|Am,(p+1)→n)∙Ck×l=

Б)

Так как

q+n-p<k

n<p+(k-q)

то по смыслу умножения матриц произвольного формата необходимо

разбить матрицу на блоки горизонтальной n-линией, значит

первый блок будет содержать от 1 до n строк, и так как p<n, то блок

Bp×q∙C1→q,l сохраняется, а из блока C(q+1)→k,l, берется n-p строк, второй блок

данного горизонтального разбиения будет состоять из матрицы C(q+1)→k,l за

вычетом n-p строк, взятых в первый блок.

Итак:

Тогда по смыслу умножения матриц произвольного формата:

Тогда:

Получили равные выражения, что означает выполнение ассоциативности для случая IV и так как были рассмотрены всевозможные случаи, то можно сказать, что операция умножения матриц произвольного формата ассоциативна.

§3. Матрицы как линейные операторы

3.1 Матрицы линейных преобразований

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А×,

Пример 1 .

□Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A = ■

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Определение. Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А