Умножение матриц произвольного формата (стр. 4 )

Тогда:

а это равно:

Б) A∙(B∙C)=Am×n∙(Bp,1→k∙Ck×l|Bp,((k+1)→q)

Разобьем блоки Bp,1→k и Bp,(k+1)→q n-линией горизонтально, получим:

Таким образом, получили одинаковые выражения, а это говорит о том, что операция умножения матриц произвольного формата ассоциативна для случая n<p и q>k.

III). Теперь пусть n>p и q>k. Тогда:

А) (A∙B)∙C=(Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n)∙Ck,l

Заметим, что по смыслу разбиений:

Am,1→p∙Bp×q= Am,1→p∙Bp,1→k| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q, тогда

Am,1→p∙Bp×q|Am,(p+1)→n=Am,1→p∙Bp,1→k| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n

Если разбить матрицу в правой части последнего равенства вертикальной k-линией, то ее первый блок равен Am,1→p∙Bp,1→k, а второй

Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n. Тогда по смыслу умножения матриц произвольного формата:

(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= (Am,1→p∙Bp,1→k)∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n

Б) Am×n∙( Bp×q∙ Ck×l)= Am×n∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Bp,(k+1)→q)=

Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n

По смыслу умножения матриц в терминах разбиения справедливо:

(Am,1→p∙Bp×q| Am,(p+1)→n)∙Ck×l= Am,1→p∙( Bp,1→k∙ Ck×l| Am,1→p∙Bp,(k+1)→q| Am,(p+1)→n

А в силу ассоциативности совместимых матриц, результаты, полученные в пунктах А) и Б) равны. Итак, операция умножения матриц произвольного формата ассоциативна для случая n>p и q>k.

IV. n>p и q<k.