Умножение матриц произвольного формата (стр. 6 )

Пример 2. □ Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .

С = В×А

Т. е. ■

Примечание. Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т. е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Определение. Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А. Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

3.2. Частные случаи

1) Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

или

Т. к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т. к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов. Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l. Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т. к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т. к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые. Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: .

Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

2) Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

, то

Характеристическое уравнение:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня. Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

3.3. Произведение матриц. Композиция операторов

Пусть даны два линейных оператора А и В, отображающие R и S, и соответствующие им матрицы

А=‖aik‖, В=‖bik‖ (i=1,2,…,m; k=1,2,…,n).

Определение. Произведением операторов А и В называется оператор С, для которого при любом x из R

Cx=A(Bx) (xR).

Оператор С отображает R в T: Т R.

Из линейности операторов А и В вытекает линейность оператора С. Выберем в пространствах R, S, T. Произвольные базисы и обозначим через А, В и С матрицы, соответствующие операторам А, В и С при этом выборе базисов. Тогда векторным равенствам

z=Ay, y=Bx, z=Cx

Будут соответствовать матричные равенства

Где x,y,z- столбцы координат векторов x,y,z. Отсюда находим

и в силу произвольности столбцов х

Таким образом, произведению C=AB операторов А и В отвечает матрица С=‖сij‖ (i= 1,2,…,q; j=1,2,…,q), равная произведению матриц А и В.

C=αA (αK)

Отвечает матрица

Теорема. Композиции двух операторов соответствует произведение их матриц.

Доказательство. □ Положим Тогда

Отсюда в силу однозначности разложения векторов по базису, выводим

Это соотношение интерпретируется как произведение квадратных матриц Теорема доказана.■

3.4. Построение матрицы по заданной формуле отображения. Примеры

Пусть отображение задано с помощью формулы

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем ,,…,. Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1.□ Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1=1, x2=0, а затем x1=0, x2=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.■

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. □.

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3). Матрица линейного оператора:

.■

Заключение

Свойства и способы умножения матриц имеют огромное значение. Матрицы находят все более широкое применение и вне математики. Они были изобретены в середине 19 в. в связи с изучением n-мерной геометрии. С тех пор их стали использовать везде, где приходится иметь дело с обработкой больших массивов данных. С использованием матриц решаются многие технические задачи, связанные с расчетом напряжений, деформаций, колебаний.

Одно из главных применений матриц в общественных науках связано с построением моделей различных ситуаций. Например, экономическую ситуацию в стране часто моделируют с помощью матрицы с примерно 100 строками и столбцами. На основании операций над такой матрицей экономисты создают свои прогнозы. Пример использования матриц в деловом мире – линейное программирование, которое можно использовать при составлении производственных планов, схем распределения сырья и готовой продукции и в других сложных операциях.

Список литературы:

1) , Теория матриц. Москва. Издательство ФИЗМАТЛИТ. 2004.

2) Теория матриц. Москва. Издательство «наука». 1973.

3) Материалы студенческой научно-практической конференции.

ТГПИ. 2011.