Умножение матриц произвольного формата (стр. 3 )

Объединяя оба случая, получаем новое правило умножения матриц произвольного формата, которое совпадает с обычным умножением для совместимых матриц.

2.2. Разбиение матриц

Пусть даны матрицы Pm×n, Qm×l, Sd×l , тогда составим их них одну связанную по элементам матрицу:

Получим новую матрицу А. Размерность Аm+k×l+n, а матрицы Pm×n, Qm×l, Sd×l, входящие в данную как составные части назовем ее блоками, процесс получения из матрицы А матрицы P,Q,R,S назовем разбиением на блоки, обратную операцию - склеиванием блоков P,Q,R,S в матрицу Аm+k×l+n. Условную линию, по которой проходит разбиение(т. е. определяются блоки_

или

Назовем линией разбиения. И если разбиение матрицы идет по столбцам, назовем линию горизонтальной, если строкам – вертикально линией разбиения матрицы Аm+k×l+n.

Пусть задана матрица Аm×n. Разобьем ее на два блока горизонтально следующим образом:

тогда полученные блоки будем обозначать следующим образом:

тогда .

Определить формат блока можно следующим образом:

A(k+1)→m,n и d = k+1, s = m, r = n будет иметь формат (s-d)+1×r. То есть формат A(k+1)→m,n равен (s-d)+1×r = (m-k-1)+1×n = m-k×n. Аналогичным образом, если разбить Ф вертикально:

Обозначим следующие разбиения следующим образом:

и A= Am,1→k|Am,(k+1)→n

Пример 1.□

■

Теорема.

□Аm×l имеет блоки A1→q,1→p, где 1≤p≤α и Bl×n с блоками B1→p,1→r, тогда матрица А∙В имеет блоки:

То есть, другими словами умножение матриц формата Аm×l и Bl×n в смысле разбиений на блоки не отличается от стандартного метода умножения «строчки на столбик». ■

Пример 2.

□

■

2.3. Ассоциативность умножения матриц произвольного формата

Пусть даны три матрицы произвольного формата Am×n, Bp×q, Ck×l, где

Необходимо показать, что: (А∙В)∙С=А∙(В∙С).

I. Пусть n<p и q<k.

А)

Если n≤p, справедливо:

(Am×n∙Bp×q)∙Cq×l=Am×n∙(Bp×q∙Cq×l)

Следовательно

Б)

Сравнивая полученные результаты в пунктах А) и В), видим, что они равны, а это значит выполнимость ассоциативности для случая n<p и q<k.

II). Теперь пусть n<p и q>k

А)

По смыслу умножения матриц в терминах разбиения

Am×n∙Bn×q=Am×n∙Bn,1→k|Am×n∙Bn,(k+1)→q, а Bs×q=Bs,1→k|Bs,(k+1)→q, следовательно верно равенство: