Предисловие (стр. 3 )

2.4. Дифференциальные уравнения трансформатора.

По второму правилу Кирхгофа сумма ЭДС, действующих в кон­туре первичной обмотки нагруженного трансформатора, равна падению напряжения на активном сопротивлении обмотки:

где — ЭДС самоиндукции, определяемая собственным током обмотки; — ЭДС взаимоиндукции, определяемая током вторичной обмотки.

Тогда можно записать

(2.14)

В контуре вторичной обмотки сумма ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции уравновешивается суммой падений напряжений на активном сопротивлении обмотки и нагрузке:

Подставив (2.17) и (2.19) в (2.16), получим

После группирования подобных членов запишем:

(2,16)

Введем некоторые обозначения.

Индуктивности рассеяния первичной и вторичной обмоток:

(2,17)

ЭДС, наведенные в обмотках потоками рассеяния:

(2,18)

ЭДС, наведенные в обмотках рабочим потоком Ф12 :

(2,19)

Подставив (2,17) и (2,19) в (2,16), получим

(2,20)

Поскольку мы рассматриваем трансформатор с ненасыщенным сердечником, то при синусоидальном напряжении все остальные переменные в этих уравнениях также будут синусоидальными функциями времени, если речь идет об установившихся режимов. Тогда для комплексных величин уравнения (2,20) будут иметь вид:

Для первичной и вторичной обмоток введем индуктивные сопротивления рассеяния

И полные комплексные сопротивления

В итоге получим комплексные уравнения трансформатора, которые чаще всего записываются в следующем виде:

(2,21)

Отметим также, что в уравнениях (2.14) и (2.15) не выделены в самостоятельные слагаемые ЭДС, наводимые потоками рассея­ния обмоток.

2.5. Приведение вторичной обмотки трансформатора к первичной

Кажущиеся мощности первичной и вторичной обмоток транс­форматора примерно равны:

Поскольку в силовых трансформаторах всегда и , то не равны и токи в их обмотках, т. е. .

Напряжения, токи и МДС первичной и вторичной обмоток трансформатора могут иметь разные порядки, например = = 15,75 кВ/524 кВ. Такие сильно отличающиеся значения неудобно изображать на общей векторной диаграмме и использовать в об­щих формулах. Поэтому при анализе всех электромагнитных уст­ройств с магнитосвязанными контурами вторичные контуры при­водят к первичным, однако можно поступить и наоборот, т. е. при­вести первичную обмотку к вторичной.

После приведения выравниваются порядки переменных, от­носящихся к разным обмоткам. Очень важно также, что только после приведения можно построить схему замещения трансфор­матора (см. подразд. 2.2).

Физический смысл приведения состоит в том, что реальная вторичная обмотка с числом витков заменяется воображаемой обмоткой с числом витков таким образом, чтобы их МДС, мощности, потери и фазовые углы были равны. Поскольку МДС при приведении не изменяется, останется прежним и рабочий магнитный поток. Хотя приведенная вторичная обмотка имеет оди­наковое с первичной обмоткой число витков, диаметр катушки и расположение ее витков относительно сердечника у них различны (см. рис. 1.3). Следовательно, различаются значения и картины их полей рассеяния, т. е. . Из-за различия размеров проводов обмоток .

Коэффициентом приведения является коэффициент трансфор­мации

Согласно (2.5) ЭДС в приведенной вторичной обмотке

.

Из (2.6) очевидно, что

. Следовательно,

. (2.22)

Аналогично приводится вторичное напряжение:

(2.23)

формулы для приведения комплексных и мгновенных значе­ний ЭДС и напряжений аналогичны формулам (2.22) и (2.23).

Кажущаяся мощность вторичной обмотки при приведении не изменится, т. е.

Подставив в это выражение формулу (2.23), получим

окуда приведенный ток

. (2.24)

Формулы для приведения комплексных и мгновенных значений тока аналогичны формуле (2.24).

В установившемся режиме выражение для комплексных значений ЭДС, наведенных в обмотках трансформатора рабочим потоком, в соответствии с (2.19) будут иметь вид

(2,25)

где приведенное индуктивное сопротивление взаимоиндукции

Из выражений (2.25) видно, что . Кроме того, эти выражения определяют два способа учета воздействия рабочего потока на обмотки трансформатора. Первый — введение в уравнения Кирхгофа ЭДС, наведенных этим потоком [см. (2.21)]; второй — введение в уравнения падения напряжений на индуктивном противлении [см. (2.25)]. Кстати, эти же способы используют для учета воздействия на обмотку ее потока рассеяния.

Одновременно умножим все члены второго уравнения (2.21) на к2 и разделим на к.

Обозначим приведенные сопротивление вторичной обмотки:

(2,26)

С учетом (2.23), (2.24) и (2.26) комплексное приведенное на­пряжение вторичной обмотки можно записать в виде

(2.27)

Нетрудно показать, что электрические потери мощности во вторичной обмотке трансформатора при приведении не изменя­ются:

2.6. Основные уравнения и векторная диаграмма трансформатора

В установившемся режиме трансформатор описывается следу­ющими комплексными уравнениями:

(2.28)

В реальных условиях эксплуатации трансформатор часто рабо­тает при переменной нагрузке. Под изменением нагрузки понима­ется изменение ее сопротивления. В результате изменяются ток нагрузки и потребляемый из сети ток . Однако ток холосто­го хода при этом остается практически постоянным.

Уравнения (2.28) можно представить на временной ком­плексной плоскости в виде век­торной диаграммы трансформа­тора (рис. 2.5).

Диаграмму начинаем стро­ить, выбрав направление векто­ра потока . С ним совпадает вектор намагничивающего тока , а вектор активной состав­ляющей тока холостого хода ему перпендикулярен. Вектор тока холостого хода равен гео­метрической сумме этих компо­нент:

Рис. 2.5. Векторная диаграмма транс­форматора при активно-индуктив­ной нагрузке

Вектор равных ЭДС и , наведенных в первичной и вто­ричной обмотках потоком , отстает от него по фазе на 90°. Значение и характер сопротивления нагрузки определяют значение и фазу вторичного тока . Со­гласно последнему уравнению системы (2.28) к надо приба­вить отрицательный вектор падения напряжения на полном со­противлении вторичной обмотки , чтобы получить вектор напряжения на зажимах вторичной обмотки . В треугольнике векторов падений напряжений, описываемом выражением

Сначала строится вектор , затем вектор и, наконец, вектор .

Следующий этап построения связан с определением вектора , из первого уравнения системы (2.28):

Последними осуществляются построения, соответствующие второму уравнению системы (2.28), в результате которых находится вектор . Треугольник векторов падений напряжений на полном сопротивлении первичной обмотки, описываемый выра­жением

строится в следующем порядке: сначала к концу вектора прибавляется вектор после чего перпендикулярно ему проводится вектор , а затем — замыкающая гипотенуза, равная . В силовых трансформаторах падения напряжений в обмотках очень малы, поэтому , . На рис. 2.5 изображена векторная диаграмма трансформатора, имеющего активно-индуктивную нагрузку. Студентам предлагается самостоятельно начертить векторную диаграмму трансформатора с активно-емкостной нагрузкой. При этом необходимо учесть, что при достаточно больших отрицательных углах , когда опережает по фазе , значение напряжения может оказаться больше ЭДС .

2.7. Схема замещения трансформатора

Расчет характеристик трансформаторов в различных режимах работы удобно производить с помощью его эквивалентной схемы замещения. Схема замещения — это электрическая цепь, описываемая теми же уравнениями, что и обмотки реального трансформатора. Преимуществом схемы замещения является то, что в ней элементы, эквивалентирующие первичную и вторичную обмотки, электрически соединены между собой, а индуктивная связь отсутствует.

Схема замещения справедлива, только если контур одной обмотки трансформатора приведен к контуру другой, т. е. когда

Докажем существование схемы замещения трансформатора. Подставив из (2.25) в уравнение первичной обмотки (2.28), получим

или с учетом уравнения баланса токов (2.28)

(2.29)

Дополним систему (2.28) уравнением цепи нагрузки:

(2.30)

где — сопротивление нагрузки, приведенное к первич­ной обмотке, ZН — реальное сопротивление нагрузки.

Подставив (2.25) и (2.30) в уравнение вторичной обмотки (2.28), получим

или с учетом уравнения баланса токов (2.28)

Откуда

(2,31)

Подставив (2,31) в (2,29) и выполнив несложные преобразования, получим

(2,32)

Уравнение (2.32) справедливо для электрической цепи, по­казанной на рис. 2.6, которая и называется схемой замещения трансформатора. Сопротивление на­грузки может изменяться при ра­боте трансформатора. Выражение, заключенное в квадратные скобки в формуле (2.32), представляет собой некоторое эквивалентное (или входное) сопротивление трансформатора.

Учитывая конфигурацию данной схемы замещения, ее назы­вают Т-образной. Отметим, что в этой схеме не учитываются по­тери мощности в стали магнитопровода. Для вертикального участка между точками а и б часто используется название «намагничивающая ветвь».

2.8. Учет потерь в стали

Поскольку в сердечнике трансформатора возникают магнитные потери активной мощности, их необходимо учитывать в схеме замещения. В противном случае расчетные характеристики трансформатора будут иметь большие погрешности.

Потери мощности в стали имеют место только в электромаг­нитных цепях переменного тока. Причины их появления — явление гистерезиса и наличие вихревых токов. Причем на промышленной частоте 50 Гц потери на гистерезис в электротехнической (Или в несколько раз выше потерь на вихревые токи.

Потери активной мощности в стали определяют нагревание сердечника, т. е. его нагрев является следствием, а не причиной возникновения потерь.

При проектировании трансформатора потери в его сердечнике определяются по формуле

где = 1,0... 1,2 — коэффициент добавочных потерь, возникающих из-за неравномерного распределения индукции по поперечному сечению магнитопровода, изменения свойств стали при механической обработке, учитывающий также потери в стыках и инструктивных деталях (стяжных балках и др.); рст — удельные потери в стали, Вт/кг; G — масса сердечника, кг.

Удельные потери в стали при любой индукции В и частоте f определяются по формуле

(2,33)

где — удельные потери при В= 1 Тл и f = 50 Гц; 1,3...1,6 — показатель степени, зависящий от марки электротехнической стали и толщины ее листов.

Удельные потери задаются в виде графиков и таблиц для всех марок стали. Необходимо запомнить полезные пропорциональные связи:

(2.34)

Потери мощности в сердечнике можно считать пропорцио­нальными квадрату подводимого напряжения, если пренебречь падением напряжения на полном сопротивлении первичной об­мотки (2.7).

Физические явления гистерезиса в стали и вихревых токов вы­зывают появление активной составляющей тока холостого хода трансформатора. Покажем это на примере гистерезиса, для чего вернемся к режиму холостого хода трансформатора, рассмотрен­ному в подразд. 2.2. При синусоидальном изменении потока Ф12 его индукция также изменяется во времени синусоидально. При условии (2.7) кривая на рис. 2.7 совместно с петлей гистерезиса позволяют получить зависимость тока холостого хода транс форматора от времени . Для этого масштабы индукции графика и петли гистерезиса должны быть одинаковыми. Извест­но, что абсциссами петли гистерезиса является напряженность // магнитного поля в сердечнике, которая по закону полного токт пропорциональна току холостого хода .

Построение начинается с точки кривой , лежащей в на чале координат. На петле гистерезиса ей будет соответствовать точка 1. Если перенести эту точку в новую систему координат i, t получим значение при t=0 на графике . Продолжая анало­гичные построения для точек 2... 6, получим полный период кривой , которая оказывается несинусоидальной, т. е. содержит первую и высшие гармоники. Отметим, что отклонение кривой тока холостого хода трансформатора от синусоиды произошло из-5й нелинейных гистерезисных свойств стали сердечника.

Выделим основную первую гармонику кривой тока холо­стого хода. Вследствие явления гистерезиса стали она отстает по фазе от кривой первичного напряжения на угол меньше 90°. разницу составляет угол δ. Это означает, что в токе холостого хода появилась активная составляющая, а пропорциональная ей ак­тивная мощность, которую трансформатор потребляет из сети, равна потерям на гистерезис.

Приведенное построение проводилось для , Сле­довательно,

(2,35)

Т. е. мы получили активную и реактивную (намагничивающую) выставляющие тока холостого хода. Это разложение можно выполнить графически (на рис. 2.7 показана только кривая ) и с помощью векторной диаграммы (см. рис. 2.2). Итак, гистерезис стали вызывает искажение синусоидальной формы кривой и появление в ней активной составляющей аналогично и действие вихревых токов в сердечнике. Для учета потерь в стали в намагничивающую ветвь схемы замещения искусственно вводится некоторое активное сопротивление , электрические потери в котором от активной составляющей тока холостого хода приравниваются к потерям в стали трансформатора. Из этого условия и определяется значение