Индивидуальное задание по теме «Арифметика конечного поля»

Индивидуальное задание по теме

«Арифметика конечного поля»

1. Среди многочленов f1(x), f2(x), f3(x) найти неприводимый многочлен над полем Z3.

2. Построить таблицу Кэли по умножению поля GF(9), реализованного как кольцо многочленов по модулю неприводимого многочлена, найденного в 1.

3. Найти все элементы в поле GF(9), порождающие мультипликативную группу этого поля. Удостовериться, что элемент порождает мультипликатив-ную группу. Выбрать его в качестве .

4. Найти все степени элемента .

5. Решить систему уравнений a11u+a12v=b1, a21u+a22v=b2 с неизвестными u и v.

6. Найти неизвестное натуральное число , если .

7. Решить уравнения и с неизвестной . (Например, перебирая все элементы поля и подставляя их в уравнение.)

I

Для вариантов 1, 4, 7, 10, 13, 16: f1(x)=x2, f2(x)=x2+1, f3(x)=x2+2.

5 задание

вариант		a11	a12	a21	a22	b1	b2
1	[1+x]	[1+x]	[2x]	[1+2x]	[2+2x]	[2+x]	[1+2x]
4	[1+2x]	[2x]	[1+2x]	[2+x]	[2+2x]	[1]	[1+2x]
7	[2+2x]	[1+2x]	[2x]	[2+2x]	[1+x]	[2+2x]	[1+x]
10	[2+x]	[2]	[1+2x]	[2x]	[2+2x]	[2]	[1+2x]
13	[1+x]	[2+2x]	[1+x]	[2]	[1+2x]	[2+2x]	[1+x]
16	[2+2x]	[x]	[2+2x]	[2+x]	[2]	[1+x]	[2+2x]

6, 7 задание

вариант	k	l	m	p	s	t
1	2	7	7	3	2	7
4	3	6	1	7	3	2
7	4	7	3	2	4	3
10	5	6	2	2	5	1
13	6	6	2	7	6	5
16	7	4	5	3	7	4

II

Для вариантов 2, 5, 8, 11, 14, 17: f1(x)=x2+x, f2(x)=x2+x+1, f3(x)=x2+x+2.

5 задание

вариант		a11	a12	a21	a22	b1	b2
2	[1+x]	[1+2x]	[2]	[2x]	[2+x]	[1+2x]	[2+2x]
5	[x]	[2+2x]	[2x]	[2]	[2+2x]	[2+x]	[1]
8	[2+2x]	[2]	[2+2x]	[1+2x]	[2x]	[2+2x]	[1+2x]
11	[2x]	[2x]	[1+2x]	[2]	[2+2x]	[x]	[2+2x]
14	[x]	[2+x]	[x]	[2x]	[2]	[x]	[1+2x]
17	[2x]	[1+x]	[1+2x]	[2+2x]	[2x]	[2+2x]	[x]

6, 7 задание

вариант	k	l	m	p	s	t
2	7	2	6	5	1	2
5	6	2	7	6	2	3
8	4	3	2	2	3	6
11	5	4	6	2	4	7
14	3	6	2	1	5	3
17	2	2	6	2	6	5

III

Для вариантов 3, 6, 9, 12, 15, 18: f1(x)=x2+2x, f2(x)=x2+2x+1, f3(x)=x2+2x+2.

5 задание

вариант		a11	a12	a21	a22	b1	b2
3	[x]	[1+2x]	[2x]	[1+x]	[1+2x]	[2+2x]	[x]
6	[1+2x]	[1+x]	[2x]	[2x]	[1+2x]	[1+x]	[1+x]
9	[2x]	[x]	[1+2x]	[2x]	[2]	[1+x]	[2x]
12??	[2+x]	[2+x]	[2x]	[1+x]	[1+2x]	[2]	[x]
15	[1+2x]	[2+2x]	[2x]	[1+2x]	[2+x]	[2+2x]	[1+x]
18	[2x]	[2+x]	[2]	[1+2x]	[2x]	[2+x]	[2+2x]

6, 7 задание

вариант	k	l	m	p	s	t
3	2	7	3	3	6	1
6	3	4	2	8	5	2
9	4	2	7	5	4	5
12	6	5	3	1	3	7
15	5	3	5	2	2	6
18	7	3	3	4	1	5