Сборник методических пособий (стр. 10 )

В связи с этим можно рассматривать случайную величину, принимающую два значения: 1, если проконтролированное изде­лие является годным, 0, если дефектным.

Для определенности будем считать, что отнесение изделий к годным или дефектным осуществляется на основе величины их параметра. Предприятие установило соответствующую границу параметра, которую может обеспечить существующая на данный момент технология. В соответствии с этим решением определен­ная доля продукции может оказаться дефектной. Эта доля опреде­ляется на основе построенной функции распределения параметра. Если эта доля равна р, то р ― это вероятность того, что при контро­ле одного изделия оно окажется дефектным. Величина q = 1 - р равна вероятности годного изделия.

Если проконтролировано п изделий, то можно в связи с этим контролем рассматривать дискретную случайную величину, принимающую п + 1 значение: 0, 1, 2, ..., п, равное числу дефектных изделий среди п проконтролированных.

Пусть п = 3, и случайная величина принимает значения 0, 1, 2, 3.

В соответствии с определением вероятности, вероятность некоторого конкретного события представляет собой отношение числа m частных случаев, входящих в полную группу из п попарно несо­вместимых и равновозможных событий, к числу этих событий

Р = т/п.

Рассмотрим генератор случайной величины, принимающей значения 0 и 1 с вероятностями соответственно р и q.

Пусть р = 0,1, q = 0,9. Таким генератором может служить лототрон, в котором 9 белых и 1 черный шар. Так как выпадение любо­го шара равно возможно, то тот цвет, который преобладает, будет выпадать чаще. Эта частота определяется соотношением количе­ства белых и черных шаров. При одном вынимании шара равновозможными событиями будут появления любого шара. Их может быть десять.

При двух последовательных выниманиях с возвращением ша­ра, вынутого первый раз, количество равновозможных событий равно 100.

С учетом сказанного общее количество равновозможных результатов опыта, заключающегося в том, что из лототрона с 9 белыми и 1 черным шарами извлекаются последовательно три шара с возвращением каждый раз обратно извлеченного шара, равно 103. Случаев, когда все три извлеченных шара окажутся белыми, равно 93, так как в этом случае первый белый шар можно выбрать девятью способами, второй и третий также.

Случаев, когда один из трех шаров черный, может быть 1 · 92 +1 · 92 +1 · 92 =3·92, где слагаемые соответствуют случаям, когда черный шар извлечен при первом, втором и третьем извлечении. Случаев, когда два шара черных, может быть 1·1·9 + 1·9·1 + 9·1·1 = 3 · 9, где слагаемые соответствуют случаям, когда белый шар извлечен при третьем, втором и первом извлече­нии. Случаев, когда три шара черных, может быть один, когда при каждом извлечении извлекается черный шар. Всего получено 93 + 3 · 92 + 3 · 9 + 1 = (9 + 1)3 = 103 вариантов. Разделив обе части равенства на 103 , получим

q3 + 3q2p + 3qp2 + р3 = 1, или (q + р)3 = 1.

Очевидно, что это соотношение справедливо при любом п, так как q + p =1:

(q + р)п = 1.

Используя формулу бинома Ньютона, можно написать

,

где Спi — число сочетаний из n пo i.

Слагаемые этой суммы представляют собой вероятности того, что случайная величина — количество черных шаров в выборке или количество дефектных изделий в выборке — примет значение i : i = 0, 1, ..., п. Действительно, в частном случае при п = 3 это было очевидно, так как каждое слагаемое бинома при п = 3 пред­ставляло собой отношение числа случаев, когда случайная вели­чина принимает одно из возможных значений, к общему числу равновозможных событий. В общем случае, т. е. при п извлече­ниях шара из лототрона, в котором N шаров, из них Nq белых и Np черных, результат, при котором количество дефектных изде­лий примет значение i, может быть получен, если при i извлече­ниях появился черный шар, а при остальных n-i — белый. Если номера извлечений зафиксированы, то возможно (Nq)п-і (Np)і равнозначных результатов, а зафиксировать i номеров извлече­ний можно Спі различными способами. Учитывая, что всего име­ется Nn равновозможных результатов, имеем

Pi = Cni(Nq)n-i(Np)i/Nn =Cniqn-ipi.

Итак, мы имеем дискретную случайную величину, принимающую значения 0,. 1,. 2, ..., п с вероятностямиCniqn-ipi.

Это распределение называется биномиальным.

Если вероятность того, что случайно взятое изделие окажется дефектным равна р, и взята выборка из п изделий, то случайная величина — количество дефектных изделий в выборке имеет биномиальное распределение.

Вероятность того, что случайная величина не превысит задан­ного значения с определяется формулой

.

Для этого выражения существуют таблицы, параметрами которых являются п, р, и с.

Для осуществления выборочного контроля необходимо установить систему правил ― план контроля, в котором указываются следующие сведения:

1) какое количество изделий отбирается для контроля;

2) каким образом отбираются контролируемые изделия;

3) по какому правилу принимается решение.

Наиболее широко применяются три типа планов выборочного контроля по качественному (альтернативному) признаку.

1 Планы типа однократной выборки.

Из партии объема N отбирается случайным образом п (п < N) изделий, которые контролируются. Если число дефектных изде­лий d(n) ≤ с, где с ― целое число, то партия принимается. Если d(n) > с, то партия бракуется. Число с называют приемочным числом.

2 Планы типа двукратной выборки.

Из партии объема N случайным образом выбирается п1 элементов — первая выборка. Если d(n1) ≤ c1 то партия принимается.

Если d(n1) > с2 > с1, то партия бракуется. Если с1 < d(n1) ≤ с2, то берется вторая выборка из п2 элементов. Если общее число обнаруженных в двух выборках дефектных изделий d(п1 + n2) ≤ с3, то партия принимается, если d(п1 + n2) > с3, то партия бракуется.

Разновидностью этого плана являются усеченные планы типа двукратной выборки, при которых с2 = с3.

3 Планы типа последовательного анализа.

В этих планах задаются объемы последовательных выборок пi, i = 1,2, ..., где п1 < N, п1 + п2 < N и т. д., и пары целых чисел сi и сi’, сi < сi’. На первом шаге контролируется выборка объема п1. Если d1 ≤ с1, то партия принимается, если d1 > с1’, то бракуется, если с1 < d1 ≤ с1’, то берется выборка объема п2. Если d2 = d(п1 + n2) ≤ с2, то партия принимается, если d2 > с2’, то бракуется, ес­ли с2 < d2 ≤ с2’, то берется выборка объема п3 и т. д.

Величина

представляет собой вероятность приемки партии при плане (п, с), т. е., когда выборка состоит из п изделий, а приемочное число равно с.

При данном плане (п, с) эта вероятность зависит от величины р, т. е. от доли дефектных изделий в партии. Эта зависимость Р(р) на­зывается оперативной характеристикой плана контроля. По данным табл. 1.9 значений Р на рис. 1.25 построены оперативные характери­стики для шести планов контроля: (5,1), (5,0), (10,0), (10,2), (20,0).

Таблица 1.9

р план	0,05	0,1	0,3	0,5
(5,1)	0,98	0,92	0,53	0,19
(5,0)	0,77	0,59	0,17	0,03
(10,0)	0,60	0,34	0,03	0,001
(10,2)	0,99	0,93	0,38	0,05
(20,2)	0,92	0,68	0,04	0,0002
(20,0)	0,36	0,12	0	0

0 р

Рисунок 3 – Оперативные характеристики трех планов контроля

Из графиков видно, что планы, в которых с = 0, уже при малых значениях р гарантируют очень небольшую вероятность принятия партии, т. с. эти планы очень жесткие.

При с =1 или с = 2 планы менее жесткие.

Оперативная характеристика плана ― это функция Р(р), paвная вероятности принятия партии, содержащей долю дефектных изделий, равную р, если приемка производится в соответствии с системой правил, определяющих исходный план контроля.

Вероятность принятия партий ― это доля принятых партий при многократном повторении процесса сдачи-приемки.

Естественна тенденция устанавливать такой уровень ркр, что партии, имеющие засоренность р ≤ ркр, считаются хорошими и их следует принимать, а партии с р > ркр ― плохими и их надо браковать. В этих случаях желательно иметь план с идеальной оперативной характеристикой, которая равна 1 для значений р ≤ ркр и равна 0 для значений р > ркр. Однако такая оперативная характеристика может быть только при сплошном контроле, ее не может быть при контроле с относительным объемом выборки n/N < 1.

На практике такое деление партий на плохие и хорошие не является удовлетворительным, так как может возникнуть зона неопределенности, примыкающая к значению ркр. Поэтому более четким является такой подход, когда назначаются два числа, р1 и р2, р2 > р1. Партии считаются заведомо хорошими при р ≤ р1 и заве­домо плохими при р > р2. В этом случае к плану предъявляются требования, состоящие в том, чтобы

Р(р) ≥ 1 - α при р ≤ р1

и

Р(р) ≤ β при р ≥ р2

Вероятность 1 - Р(р1) = α , т. е. вероятность браковки заведомо хорошей партии, называется ошибкой первого рода или риском поставщика, доля p1 называется приемлемым качеством.