Физика (стр. 2 )

Если учесть взаимосвязь вектора индукции с вектором напряженности магнитного поля, то можно сформулировать теорему о циркуляции для вектора напряженности магнитного поля

(10)

В соотношении (10) суммирование проводится по всем макроскопическим токам, которые охватывает выбранный контур.

2.1.4 Методы расчета индукции магнитного поля

Закон Био-Савара-Лапласа (3) и теорема о циркуляции (9, 10) являются основой двух различных методов расчета магнитных полей.

1 Последовательность расчета на основе закона Био-Савара-Лапласа: Необходимо предварительно проводник с током, который создает магнитное поле, мысленно разбить на малые элементы dL, которые можно рассматривать как бесконечно малые. На основе закона Био-Савара-Лапласа (3) вычислить вектор индукции магнитного поля, создаваемого каждым элементом проводника. На основании принципа суперпозиции полей провести суммирование полей, создаваемых всеми элементами.

Преимущество этого метода в том, что этот метод применим при любой конфигурации магнитного поля и макроскопических токов, создающих это поле. Недостаток этого метода в необходимости вычисления интеграла по всему проводнику, который может иметь сложную форму.

В задаче 1 раздела 3 данного методического пособия более подробно показано применение закона Био-Савара-Лапласа для расчета магнитного поля на примере конкретной задачи.

2 Последовательность расчета магнитного поля на основе теоремы о циркуляции: Теорема о циркуляции позволяет упростить расчет индукции магнитного поля в тех случаях, когда удается удачно выбрать контур интегрирования. Этот контур выбирают на основе соображений симметрии таким образом, чтобы значение индукции в каждой точке контура или на каком то участке было постоянным.

Рис.6

Применим теорему о циркуляции для расчета магнитного поля в соленоиде и в тороиде. Соленоид это катушка, намотанная на цилиндрический сердечник. Тороид это катушка, намотанная на тороидальный сердечник. На рис.6 приведена форма силовых линий магнитного поля для соленоида.

Для расчета поля соленоида удобно выбрать контур интегрирования в форме прямоугольника ABCD. В этом случае интеграл по контуру равен

(11)

Предположим, что длина соленоида равна L, а длина участка контура AB равна L*. Если соленоид достаточно длинный (бесконечный, L >> L*), то на участке AB индукция постоянна и совпадает по направлению с направлением обхода контура. Поэтому . На участках BC и DA вектор ортогонален вектору и поэтому скалярное произведение для этих участков равно нулю. Поэтому Индукция магнитного поля на участке CD тем меньше, чем дальше расположен этот участок от соленоида. Выберем контур так, чтобы участок CD был удален от соленоида на бесконечно большое расстояние. В этом случае индукция магнитного поля на этом участке равна нулю.

Согласно теореме о циркуляции интеграл по контуру ABCD пропорционален суммарному току, который охватывает контур. Если N - число витков соленоида, то плотность намотки соленоида равна n = N/L. Число витков, охватываемое контуром равно N* = n×L*. Если по обмотке соленоида течет ток J, то суммарный ток, охватываемый контуром равен J×N×L*/L. Подставим полученные значения интеграла и суммарного тока в соотношение (9) получим значение индукции магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида.

B = m0mNJ/L (12)

Следует отметить, что значение индукции магнитного поля в соленоиде не зависит от расстояния между участком AB контура и осью соленоида. Следовательно, индукция поля в бесконечно длинном соленоиде имеет одинаковое значение в любой точке внутри соленоида. Такое поле называется однородным.

Рис.7

На рис.7 приведен тороид. Для расчета поля тороида выберем контур интегрирования в форме окружности, центр которой совпадает с центром тороида. В этом случае вектор индукции магнитного поля в тороиде имеет одно и то же значение в любой точке контура и будет направлен по касательной к окружности. Вектора и параллельны и . Контур охватывает все N витков тороида. Интеграл по контуру вычисляется просто и равен . Используя соотношение (9) теоремы о циркуляции, можно получить величину индукции магнитного поля тороида

B = m0×m×N×J/2pR (13)

Магнитная проницаемость m в соотношениях (12), (13) определяется магнитными свойствами сердечника соленоида и тороида. Направление вектора индукции в соленоиде и тороиде определяется по правилу правого винта. Если головка винта вращается в направлении движения тока по обмотке, то движение самого винта указывает направление вектора индукции. Это правило для соленоида является следствием закона Био-Савара-Лапласа.

2.1.5 Сила Ампера. Магнитная сила Лоренца. Закон Ампера

На основе экспериментальных исследований было установлено, что на участок проводника dL с током J, помещенный в магнитное поле индукции B, действует сила равная

(14)

Эта сила называется силой Ампера. Направление этой силы определяется векторным произведением. Сила Ампера всегда ортогональна вектору индукции магнитного поля и направлению электрического тока.

Соотношение (14) показывает, что сила, действующая на бесконечно малый элемент проводника, пропорциональна индукции магнитного поля, действующего на этот элемент. Это свидетельствует о том, что вектор индукции является силовой характеристикой магнитного поля. Согласно (14) размерность индукции равна 1 Тл = Н/А×м.

Рассмотрим два параллельных проводника, по которым текут токи J1 и J2, расположенные на расстоянии R друг от друга. Ток J1 создает в пространстве магнитное поле B1. Направление вектора B1 определяется законом Био-Савара-Лапласа (3). Согласно соотношению (4) величина индукции этого поля в точке расположения второго проводника равна B1 = m0J1/2pR. Это поле согласно соотношению (14) приводит к возникновению силы Ампера dF2, которая будет действовать на элемент dL2 второго проводника с током J2.

Рис.8

dF2 = m0J1J2dL2/2pR (15)

Сила, которая действует на единицу длины проводника, равна

dF1/dL1 = dF2/dL2 = m0J1J2/2pR (16)

Если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются друг к другу (см. рис.8). Если токи текут в разных направлениях, то проводники отталкиваются.

Соотношение (16) называется законом Ампера. Это соотношение использовано для определения единицы размерности силы тока (А) в системе СИ.

Согласно этому определению: два прямолинейных проводника с токами силой в один Ампер на расстоянии один метр притягиваются с силой 2×10-7 Н.

Экспериментальное соотношение (14) можно взять за основу для получения выражения для магнитной силы Лоренца. Для вывода используем определение силы тока J = dQ/dt и определение скорости движения электрических зарядов . Согласно (14) сила Ампера равна . Это соотношение позволяет силу Ампера рассматривать как силу, которая действует на заряд dQ, движущийся со скоростью V, в магнитном поле индукции B. Если в магнитном поле движется точечный электрический заряд q, то на него будет действовать сила равная

(17)

Соотношение (17) называют магнитной силой Лоренца.

В задаче 4 раздела 3 данного методического пособия более подробно рассмотрено влияние силы Лоренца на движение заряженной частицы.

2.1.6 Рамка с электрическим током в магнитном поле.

Дипольный магнитный момент рамки с током

Рассмотрим прямоугольную рамку, помещенную в однородное магнитное поле индукции B, по которой течет ток J. Предположим, что рамка длиной L и шириной 2R закреплена на горизонтальной оси и может свободно вращаться относительно этой оси.

На горизонтальные участки рамки будут действовать силы Ампера F1 и F2 . Эти силы равны по величине F1 = F2 = J×B×L и направлены в противоположные стороны. Каждая из этих сил создает момент вращения равный F1×R×sin(a). Суммарный момент сил, действующих на рамку с током, равен N = L×2R×J×B×sin(a). Величина 2RL представляет собой площадь S рамки. Суммарный момент сил, вращающий рамку, равен

(18)

Рис.9

Вектор называется дипольным магнитным моментом рамки с током. Вектор нормали имеет модуль равный единице. Для того, чтобы вектор m обладал свойствами дипольного момента его направление должно определяться правилом правого винта. Если головка винта вращается по направлению движения тока, то движение винта указывает направление вектора магнитного момента.

Рассмотрим работу, совершаемую силами F1 и F2 при повороте рамки на угол da.

Рис. 10

По определению работы dA = 2FtdL. Тангенциальная составляющая действующих сил рана Ft = F1sin(a). Элемент перемещения dL равен dL = R×dj. В результате dA = m×B×sin(a)×da. Если проинтегрировать это дифференциальное уравнение, то получим работу, совершаемую при повороте рамки с током. Эта работа совершается за счет изменения потенциальной энергии. Величина работы равна изменению потенциальной энергии рамки с током в магнитном поле. Эта потенциальная энергия равна

(19)

Следует отметить, что соотношения (18) и (19) получены для рамки прямоугольной формы, но они справедливы для контуров любой формы.

Согласно соотношению (19) потенциальная энергия рамки с током в магнитном поле минимальна, если магнитный момент рамки параллелен вектору индукции магнитного поля. По этой причине в магнитном поле рамка всегда будет поворачиваться так, чтобы направление ее магнитного момента совпадало с направлением вектора индукции магнитного поля.

2.1.7 Намагничивание вещества

В каждом атоме вещества электроны двигаются по круговым орбитам. Движение этих электронов можно рассматривать как микроскопический электрический ток. Орбиты электронов замкнуты и имеют магнитный момент аналогично моменту рамки с током. Каждый такой магнитный момент создает магнитное поле. Если внешнее магнитное поле отсутствует, то магнитные моменты всех атомов вещества ориентированы хаотически, как это схематично показано на рис.11. При этом суммарное магнитное поле всех микро токов равно нулю.

Если на вещество подействовать внешним магнитным полем, то плоскости орбит электронов в атомах поворачиваются аналогично тому, как поворачивается рамка с электрическим током в магнитном поле (см. Раздел 2.1.6). Магнитный момент каждой орбиты каждого атома создает свое магнитное поле. Под действием внешнего магнитного поля дипольные моменты атомов ориентируются вдоль поля. Этот процесс называется намагничиванием вещества. Степень намагничивания определяется величиной, которая называется намагниченностью и обозначается .

Рис.11

По определению намагниченность вещества равна суммарному магнитному моменту единицы объема вещества. Чем больше величина напряженности Н внешнего магнитного поля, тем в большей степени магнитные моменты атомов ориентируются вдоль магнитного поля. В результате намагниченность пропорциональна напряженности внешнего поля

(20)