Физика (стр. 4 )

(34)

В результате интегрирования получим энергию магнитного поля катушки

W = LJ2/2 (35)

Предположим, что соленоид с индуктивностью L = m0×m×N2×S/L0 и индукцией B = m0m×NJ/L0 представляет собой цилиндрическую катушку длиной L0. Выражаем силу тока J через индукцию магнитного поля B, значение тока J и индуктивности L подставляем в (35). В результате получаем энергию магнитного поля в катушке индуктивности, выраженную через объем катушки (поля) V = S×L0 и параметры магнитного поля напряженность Н и индукцию В

W = HBV/2 (36)

Если поделить соотношение (36) на объем магнитного поля, то получим плотность энергии магнитного поля

W/V = H×B/2 (37)

2.3 Электромагнитные колебания

Колебанием называется процесс, который периодически повторяется во времени. В случае электромагнитных колебаний изменяется во времени напряженность магнитного и электрического поля.

Процесс колебания может иметь различную форму. Простейшей формой колебания является гармоническое колебание. Например, гармоническое колебание напряженности магнитного поля описывается соотношением

H(t) = H0×cos(w×t + j) (38)

где H(t) - текущее или мгновенное значение напряженности поля, H0 - амплитудное значение поля, w - циклическая частота, j - начальная фаза колебания. Выражение (w×t + j) называется фазой колебания. Циклическая частота w связана с (обычной) частотой n соотношением w = 2pn. Период колебания связан с частотой колебаний соотношением Т = 1/n.

2.3.1 Свободные электромагнитные колебания

Рассмотрим электромагнитные процессы, протекающие в электрической цепи, приведенной на рис.18.

Если повернуть переключатель в положение 1, то емкость будет подключена к источнику постоянной ЭДС. Емкость будет заряжаться до тех пор, пока напряжение на емкости Uc не будет равно ЭДС источника E0. По определению емкости заряд, накопленный на емкости равен q = C×Uc.

Рис.18.

Переведем переключатель в положение 2. При этом источник ЭДС отключается, а заряженная емкость подключается к идеальной индуктивности. Заряженная емкость создает электрическое поле в проводнике. Под действием этого поля электрические заряды, расположенные на одной обкладке конденсатора, будут переходить на другую обкладку конденсатора. Через катушку индуктивности потечет электрический ток. По определению силы тока J = dq/dt. Если подставить значение заряда, расположенного на обкладках емкости, то можно получить выражение J = C×dUc/dt. В результате явления самоиндукции увеличение тока приводит к возникновению ЭДС индукции EL = - L×dJ/dt в катушке индуктивности. Для замкнутого контура электрической цепи уравнение Кирхгофа дает соотношение EL = Uc. Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение - L×C×d2Uc/dt2 = Uc. Решением этого линейного уравнения второго порядка является гармоническая функция Uc(t) = U0×cos(w0t), которая описывает процесс колебания напряжения на емкости. График этой функции приведен на рис.19.

Рис.19

Амплитуда колебания определяется из начального условия U0 = E0. Амплитуда колебаний не изменяется во времени и, поэтому такие колебания называются не затухающие. Если выражение Uc(t) подставить в дифференциальное уравнение, то получаемое характеристическое уравнение дает значение циклической частоты

(39)

Частота колебаний определяется параметрами элементов, входящих в электрическую цепь. По этой причине эти колебания называются собственными колебаниями или электромагнитными колебаниями колебательного контура. Электрическая цепь представляет собой контур, поэтому частота обычно называется собственной частотой контура.

В точке 1 графика, приведенного на рис.19, напряжение емкости максимально, а ток в цепи равен нулю. Энергия колебательного контура сосредоточена в емкости и равна энергии электрического поля внутри конденсатора W = C×U02/2. В точке 2 емкость полностью разряжена. Энергия электрического поля емкости превратилась в энергию магнитного поля внутри катушки индуктивности W = L×J02/2. Согласно закону сохранения энергии при электромагнитном колебании в электрической цепи суммарная величина энергии магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля емкости остается постоянной. По этой причине амплитуды колебаний напряжения Uc и тока J0 остаются постоянными. Такие колебания называются не затухающими.

2.3.2 Затухающие электромагнитные колебания

Рассмотрим электромагнитные процессы в электрической цепи, приведенной на рис.20. Эта цепь отличается от цепи на рис.18 наличием активного сопротивления R0.

Рис.20

Предварительно зарядим емкость до максимального значения Uc = E0, переведя переключатель в положение 1. Это состояние цепи будем рассматривать как начальное. Переведем переключатель в положение 2. Как и в случае цепи, приведенной на рис.18, емкость начнет разряжаться. Появится переменный ток и ЭДС индукции. Электрическая цепь (рис.20) содержит активное сопротивление и поэтому в уравнении Кирхгофа необходимо добавить слагаемое равное падению напряжения на этом сопротивлении. Уравнение Кирхгофа будет описываться соотношением EL = Uc + J×R0. Как и в разделе 2.3.1 ток J и ЭДС индукции EL можно выразить через напряжение на емкости Uc, при этом уравнение Кирхгофа представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка - L×C×d2Uc/dt = Uc + R0×C×dUc/dt. Решение этого уравнения можно представить в виде

Uc = U0×exp(-d×t)×cos(w×t - j) (40)

Начальное условие Uc = E0 и J(0) = 0 дает два соотношения для определения начального значения амплитуды U0 и начальной фазы j. J(t) = C×dUc/dt = - C×U0×exp(-d×t)×(d×cos(w×t - j) + w×sin(w×t - j). Соотношение J(0) = 0 позволяет определить выражение для начальной фазы tg(j) = d/w. Параметры d и w определяются значениями элементов электрической цепи L, C и R0.

; d = R0/2L (41)

Следует отметить, что электромагнитные колебания в электрической цепи, представленной на рис.20, могут возникать только при условии w0 > d. Параметр w0 определяется соотношением (39).

График зависимости напряжения Uc от времени приведен на рис.21.

Рис.21

На этом рисунке видно, что амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону. Такие колебания называются затухающими.

Согласно соотношению (40) скорость уменьшения амплитуды колебания определяется параметром d, который пропорционален активному сопротивлению цепи R0. Для характеристики процесса затухания часто используется понятие декремента затухания. По определению декрементом затухания D называется отношение напряжений, взятых для значений времени, отличающихся на период колебаний Т.

D = Uc(t)/Uc(t + T) = exp(d×T) (42)

Кроме декремента затухания часто используют понятие логарифмического декремента затухания, который равен ln(D) = d×T.

Для характеристики контура используется величина, называемая добротностью колебательного контура. По определению добротность колебательного контура равна Q = p/d×T = .

Причина, по которой амплитуда колебаний уменьшается, связана с потерей энергии при протекании тока по активному сопротивлению. Согласно закону Джоуля-Ленца при протекании электрического тока по проводнику сопротивлением R на этом проводнике выделяется мощность пропорциональная сопротивлению и квадрату тока. Выделяемая энергия расходуется на нагревание воздуха, окружающего это сопротивление.

2.3.3 Вынужденные электромагнитные колебания

Рассмотрим процесс колебаний, происходящий в электрической цепи, приведенной на рис.22. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных емкости С, идеальной индуктивности L и активного сопротивления R. Эта электрическая цепь подсоединена к внешнему источнику переменной ЭДС E(t).

Рис.22

Предположим, что переменная ЭДС изменяется во времени по гармоническому закону E(t) = E0×sin(W×t + j). В этом соотношении E0 - амплитудное значение ЭДС, W - частота, а j - начальная фаза ЭДС.

В данной электрической цепи действует две электродвижущие силы: ЭДС индукции катушки индуктивности EL и переменная ЭДС внешнего источника E(t). Уравнение Кирхгофа для этой цепи имеет вид E(t) + EL = Uc + J×R. Как и в параграфе 2.3.2 ток J и ЭДС индукции EL можно выразить через напряжение на емкости J = C×dUc/dt, EL = - L×C×d2Uc/dt2. Это преобразование позволяет уравнение Кирхгофа представить в форме дифференциального уравнения.

d2Uc/dt2 + 2d× Uc/dt + w02×Uc = w02×E(t) (43)

Если внешний источник энергии включается в начальный момент времени t = 0, то решение этого диффреренциального уравнения представляет собой сумму Uc(t) = U1c(t) + U2c(t). Первое слагаемое представляет собой собственное колебание данной цепи, которое является затухающим и поэтому исчезает в течении некоторого времени. Это колебание описывается соотношением (40).

Второе слагаемое описывает вынужденное колебание в электрической цепи. Вынуждающей электродвижущей силой является ЭДС внешнего источника. По этой причине частота колебаний U2c(t) совпадает с частотой вынуждающей ЭДС.

Согласно решению дифференциального уравнения (43) напряжение на емкости U2c(t) сдвинуто по фазе относительно ЭДС источника E(t).

U2c(t) = - Uc0×cos(W×t) (44)

Будем далее рассматривать электромагнитные колебания в цепи после прохождения времени, необходимого для затухания собственных колебаний электрической цепи. В этом случае Uc(t) = U2c(t), а ток в цепи и напряжения на всех элементах электрической цепи равны.

J(t) = C×dUc/dt = J0×sin(W×t);  

UR = R×J(t) = J0×R×sin(W×t);  

UL = - EL = L×dUc/dt = J0×RL×sin(W×t + p/2); (45)

Uc = J0×Rc×sin(W×t - p/2);  

Из соотношения (45) видно, что ток и напряжения на различных элементах цепи описываются гармоническими функциями и характеризуются тремя различными параметрами: амплитудным значением тока или напряжения, частотой колебания W и начальной фазой колебания. Ток и напряжения на различных элементах цепи описываются одной и той же частотой W, равной частоте внешнего источника. Для амплитудных значений этих напряжений выполняется соотношение аналогичное закону Ома для цепи постоянного тока.

UR0 = J0×R; Uc0 = J0×Rc; UL0 = J0×RL;

RL = L×W; Rc = 1/(C×W); (46)

2.3.4 Расчет цепей переменного тока

Процесс вынужденных электромагнитных колебаний в электрической цепи в электротехнике обычно называют процессом протекания переменного электрического тока в электрической цепи.

При расчете цепей переменного тока могут быть применены следующие значения переменных напряжений и токов: текущее или мгновенное значение, амплитудное значение, среднее значение, действующее значение. Определение мгновенного и амплитудного значения приведено на стр.27. Под средним значением обычно понимают среднее по времени значение за период колебания. Так например, по определению среднее значение тока равно

(47)

Из соотношений (45) и (47) можно получить, что средние значения тока и всех напряжений раны нулю. Если вычислить среднее значение мощности, рассеиваемой на каждом элементе электрической цепи, то получим, что средняя мощность на индуктивности и средняя мощность на емкости равны нулю, а мощность, рассеиваемая на сопротивлении, отлична от нуля и равна

(48)

Индуктивность и емкость создают сопротивление электрическому току, но мощность на них не рассеивается. По этой причине эти элементы называют реактивными, а их сопротивления RL и Rc реактивными сопротивлениями. Обычное сопротивление R называют активным сопротивлением.

В соотношении (48) среднее значение мощности отличается от мощности при постоянном токе только наличием двойки в знаменателе. Для удобства расчетов электрических цепей переменного тока применяют понятие действующего значения. По определению действующее значение тока JD это такое значение постоянного тока, которое при прохождении по активному сопротивлению, приводит к выделению такой же мощности, как и данный переменный ток. Согласно соотношению (48) = R×J02/2 = R×JD2. Это соотношение определяет взаимосвязь амплитудного и действующего значения переменного тока JD = J0/.

Принципиально важной особенностью электромагнитных колебаний или процесса протекания переменного электрического тока является то, что начальные фазы колебаний напряжений на различных элементах электрической цепи различны.