Физика (стр. 6 )

Подставляем численные значения в системе СИ, получим

N = 4×p×10-7 5×0.025×500×1000/2 = 3.93×10-2 H×м,

m = 5×0.025×500 = 62.5 А×м2.

Пример 4. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом a = 600 к направлению силовых линий поля и далее двигался по спирали, радиус которой R = 2.5 см. Индукция магнитного поля В = 0.05 Тл. Найти кинетическую энергию протона.

Дано:

a = 600 ;

R = 2.5 см = 0.025 м ;

m = 1.672×10-27 кг ;

e = 1.60×10-19 Кл;

В = 0.05 Тл.

Решение:

Для описания траектории движения выберем систему координат. Предположим, что магнитное поле направлено вдоль оси Z, а вектор начальной скорости движения V0 расположен в плоскости (YZ). Разложим вектор начальной скорости движения на две составляющие V0y = V0sin(a) и V0z.= V0cos(a).

Рис.27

Далее необходимо провести анализ сил, действующих на протон. В начальный момент времени на протон внешние силы не действуют и протон движется равномерно и прямолинейно с начальной скоростью V0. После того как протон влетел в область пространства с магнитным полем, на него начинает действовать магнитная сила Лоренца (17).

Сила Лоренца пропорциональна векторному произведению вектора скорости на вектор индукции магнитного поля. По этой причине составляющая Vz не дает вклада в силу Лоренца. Результирующая спиральная траектория движения протона определяется двумя независимыми процессами: прямолинейного и равномерного движения вдоль оси Z со скоростью равной V0z и движения по окружности в плоскости (XY) под действием силы Лоренца.

Сила Лоренца направлена к центру окружности и уравновешивает действие инерционной центробежной силы. Равенство этих двух сил дает соотношение для расчета радиуса R.

e×V0y×B = m×V0y2/R

Это соотношение позволяет определить одну из компонент начальной скорости протона V0y = V0sin(a) = e×B×R/m. В результате получим модуль начальной скорости V0 = e×B×R/(m×sin(a)) и кинетическую энергию протона в начальный момент времени

E = m×V02/2 =(e×B×R/sin(a))2/(2×m)

Подставим численные значения в системе СИ, получим

E = (1.60×10-19×0.05×0.025/0.866)2/(2×1.672×10-27) = 1.6×10-17 Дж.

Пример 5. Квадратный контур со стороной a = 10 см, в котором течет ток силой J = 6 А, находится в магнитном поле с индукцией B = 0.8 Тл под углом a = 500 к силовым линиям поля. Какую работу нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность.

Дано:

a = 10 см = 0.1 м;

J = 6 А ;

B = 0.8 Тл ;

a = 500.

Решение:

Согласно соотношению (19) потенциальная энергия U рамки (или контура) с током в магнитном поле равна скалярному произведению вектора дипольного магнитного момента рамки m и вектора индукции магнитного поля B, взятого с противоположным знаком.

= - m×B×cos(j)

Следует отметить, что угол j это угол между нормалью к плоскости контура и вектором индукции магнитного поля. j + a =p/2. По определению дипольный магнитный момент (m = J×S) рамки с током пропорционален силе тока J и площади рамки S и не зависит от ее формы. При изменении формы контура сохраняется его периметр (4a = 2pR), а площадь изменяется. Площадь изменится на величину DS = S1 - S2 = a2 - pR2 = -(4/p-1)×a2.

Изменение площади приводит к изменению потенциальной энергии контура в магнитном поле. Согласно закону сохранения энергии работа по изменению формы контура равна разности потенциальных энергий этого контура до и после изменения.

A = U1 - U2 = - J×B×(S1 - S2)×cos(j) = J×B×(4/p-1)×a2 sin(a)

Подставим численные значения в системе СИ, получим

A = 6×0.8×(4/3×0.12×sin(500) = 0.01 Дж.

Пример 6. Рамка площадью S = 100 см2 равномерно вращается с частотой n = 5 Гц относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией B = 0.5 Тл. Определить среднее значение ЭДС индукции за время, в течении которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения.

Дано:

S = 100 см2 = 0.01 м2;

n = 5 Гц ;

B = 0.5 Тл .

Решение:

Поток вектора магнитной индукции, пронизывающий площадь рамки, по определению (5) равен F = B×S×cos(j). Угол j равен углу между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции магнитного поля. Этот угол по условию задачи зависит от времени t по закону j = w×t. Величина w называется циклической частотой и по определению равна w = 2p×n.

При вращении рамки в магнитном поле поток, пронизывающий рамку, будет меняться во времени. Согласно закону электромагнитной индукции (25) изменение потока приведет к возникновению ЭДС индукции, величина которой равна E(t) = -dF/dt = B×S×w×sin(w×t). Из этого соотношения видно, что ЭДС является переменной величиной и изменяется по гармоническому закону.

По определению среднего по времени <E> за время Dt = t2 - t1

(54)

Для интегрирования необходимо определить интервал времени Dt = t2 - t1, в течении которого усредняется ЭДС. Магнитный поток F = B×S×cos(w×t) равен нулю при t = T/4, а максимальное значение при t = T. Период вращения рамки равен T = 1/n. В результате вычисления получим

<E> = - 4×S×B×n/3