Програма фахового випробування з математики (стр. 4 )

1. , Самарский математической физики. – М.: Наука, 1977. – 755 с.

2. , Маринец ія рівнянь математичної фізики. – Київ: Либідь, 1993. – 248 с.

3. , , Смирнов в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 712 с.

4. , Калиниченко задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1985.

5. , , Тихонов задач по математической физике. – М.: Наука, 1980. –

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Предмет механіки. Зміст розділів механіки. Теоретична механіка, як одна з фундаментальних фізико-математичних дисциплін.

Плоска система сил і умови їх рівноваги.

Просторова система сил і умови їх рівноваги.

Тертя. Основні типи тертя.

Основні вигляди руху твердого тіла. Поступовий рух.

Обертальний рух.

Плоский рух.

Рух навколо нерухомої точки.

Складний рух матеріальної точки.

Складний рух твердого тіла.

Основні закони динаміки.

Основні динамічні характеристики матеріальної точки і системи точок.

Теореми про змінювання основних динамічних характеристик механічних систем.

Елементарна теорія гіроскопів.

Основи аналітичної механіки.

Рівняння Лагранжа.

Малі коливання лінійних систем з однією та двома ступенями свободи.

ЛІТЕРАТУРА

1. Бухгольц курс теоретической механики. Ч.1, 2. Москва. (Все издания после 1972 г.).

2. Тарг курс теоретической механики. – М.: Изд-во “Наука”.

3. Мещерский задач по теоретической механике. – Москва. (Все издания после 1972 г.).

ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ

Предмет та основні поняття варіаційного числення.

Предмет варіаційного числення. Приклади задач, що розв’язуються методами варіаційного числення. Функціонал. Лінійні неперервні функціонали. Варіація функціонала та її властивості.

Метод варіацій у задачах на безумовний екстремум.

Необхідна умова екстремуму функціоналу. Рівняння Ейлера для функціоналів різних типів. Задачі з рухомими межами. Екстремалі з кутовим

Достатні умови екстремуму функціонала.

Поле екстремалей. Достатня умова Вейєрштрасса. Достатня умова Лежандра.

Варіаційні задачі на умовний екстремум.

Екстремум функціонала за наявності скінченних та диференційних зв’язків. Ізопериметричні задачі.

Прямі методи у варіаційних задачах.

Сутність прямих методів варіаційного числення. Метод Ейлера. Метод Рітца. Метод Канторовича. Метод скінченних елементів.

Чисельні методи розв’язування задач оптимізації.

Чисельні методи розв’язування задач одновимірної оптимізації. Методи градієнтного пошуку.

Задачі оптимального управління.

Постановка задач оптимального управління. Оптимальне управління лінійними системами з квадратичним функціоналом. Принцип максимуму Понтрягіна.

ЛІТЕРАТУРА

1. , Фомин исчисление. - М.: Наука, 1978.

2. , Люстерник вариационного исчисления. – М.: Высшая школа, 1981

3. Смирнов высшей математики, т.4, ч.1. – М.: Наука, 1979.

4. Буслаев исчисление. – Л.: Издательство ЛГУ, 1980.

5. Ахиезер по вариационному исчислению. М.: Физматгиз, 1965.

6. , Кириллова оптимизации. – Минск, Издательство БГУ, 1988.

7. Введение в методы оптимизации. – М.: Радио и связь, 1986.

8. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

9. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1974.

10. Болтянский методы оптимального управления. – М.: Наука, 1979.

IV. Список рекомендованої літератури

1. Погорелов геометрия. – М: Наука, 1968. – 176 с.

2. Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979. – 512 с.

3. Постников по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. – М: Наука, 1986. – 416 с.

4. , , Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1979. – 720 с.

5. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. – 624 с.

6. , Позняк алгебра. – М.: Наука, 1984.

7. , , Чубаров задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987.

8. Яблонский в дискретную математику: учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1986. – 784

9. Виноградов теории чисел. – М.: Наука, 1972.

10. Завало алгебры. – К.: Вища школа, 1985.

11. Шнеперман задач по алгебре и теории чисел. – Минск: Вышейшая школа, 1982.

12. Рашевский дифференциальной геометрии. – М.: ГИТТЛ, М. Л., 1956.

13. и др. Дифференциальная геометрия, топология, тензорний анализ. Сборник задач. – К.: Изд-во “Вища школа”, 1982.

14. IBM PC для пользователя. – М.: Финансы и статистика, 1998.

15. Информатика. Базовый курс / и др. – СПб: Издательство Питер, 2000. – 640 с.

16. Фаронов Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Нолидж, 1999. – 616 с.

17. Привалов в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.

18. , Л, Араманович задач по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1970.

19. Эльсгольц уравнения. – М., 1957.

20. Волков методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

21. , Гулин методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

22. Колемаев вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

23. , Овчаров вероятностей и ее инженерное приложение. – М.: Наука, 2002.

24. Капітонова Ю. В., , Печурін дискретної математики. Підручник. – К.: Наукова думка, 2002. – 580 с.

25. , , Є. Дискретна математика: Підручник. – К.: Вища шк., 2002. –

26. Яблонский в дискретную математику. – М.: Наука, 1986. – 284 с.

27. и др. Методы решения задач по функциональному анализу: Учеб. пособие / , , . – К.: Выща шк., 1990. – 479 с.

28. Треногин анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.

29. , Маринец ія рівнянь математичної фізики. – Київ: Либідь, 1993. – 248 с.

30. , , Тихонов задач по математической физике. – М.: Наука, 1980. –

31. Тарг курс теоретической механики. – М.: Изд-во “Наука”.

32. Мещерский задач по теоретической механике. – Москва. (Все издания после 1972 г.).

33. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

Голова фахової атестаційної комісії _____________ (______________)

(підпис) (прізвище та ініціали)

ЗАТВЕРДЖЕНО

Заступник голови Приймальної комісії

______________________

«____»________________2014 р.

Перелік питань до вступного фахового випробування з математики

для абітурієнтів освітньо-кваліфікаційного рівня «спеціаліст»

спеціальності 7. – Математика (за напрямами)

1. Множини, їх види, операції над множинами та їх властивостi. Числовi множини. Точна верхня i точна нижня межi множини.

2. Множина рацiональних чисел та її властивостi. Потужнiсть множини рацiональних чисел.

3. Множина дiйсних чисел та її властивостi. Арифметичнi операції над дiйсними числами. Упорядкування дійсних чисел.

4. Числовi послiдовностi, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границi послiдовностi та умови їх існування.

5. Поняття функції. Способи задання функцiй та їх класифiкацiя. Границя функції в точцi за Гейне i за Кошi та їх еквiвалентнiсть. Iстотнi границi.

6. Означення неперервності функції в точцi. Неперервнiсть елементарних функцiй. Локальнi властивостi неперервної функції. Точки розриву.

7. Властивостi неперервних на сегментi функцiй: обмеженiсть, досягнення точних граней, промiжнi значення, нулi, рiвномiрна неперервнiсть.

8. Означення похідної функції в точцi. Геометричний i фiзичний змiст похідної. Диференційовність та її зв'язок з неперервнiстю. Диференцiал функцii та його застосування.

9. Функції, диференційовні на вiдрiзку. Теореми про середнє для диференцiйов-них функцiй (Ферма, Ролля, Коші, Дарбу, Лагранжа) та їх застосування.

10. Теорема Кошi про вiдношення приростiв двох функцiй, диференцiйовних на вiдрiзку. Поняття неозначеностi в теорiї границь. Теореми Лопiталя та їх застосування до розкриття неозначенос-тей.

11. Формула Тейлора диференцiйовної функції та її залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцiй та її застосування.

12. Умови монотонностi функцiї. Означення екстремума фунції, необхiднi й достатнi умови iснування локального екстремума. Напрям опуклостi графіка функції та точки перегину.

13. Поняття первісної функції, невизначеного iнтегралу та їх влаcтивостi. Основнi методи iнтегрування (замiна змінної iнтегрування, iнтегрування частинами та iншi).

14. Означений iнтеграл та його властивостi. Необхiднi й достатнi умови інтегровності за Рiманом. Класи iнтегровних функцiй. Формула Ньютона-Лейбніца.

15. Квадрованi фiгури. Обчислення площi криволінійної трапеції. Спрямлювальнi лiнiї та обчислення їх довжини.

16. Об’єм i площа поверхнi тiл обертання.

17. Невласні інтеграли першого і другого роду: означення, достатні умови збіжності, обчислення. Головне значення за Коші невласних інтегралів.

18. Поняття функції багатьох змiнних, її границь та неперервнiстi. Частинні похiднi i диференцiал функції багатьох змiнних. Теорема про диференційовність складної функції.

19. Дослiдження на локальний i тотальний екстремум функції багатьох змiнних. Поняття про умовний екстремум.

20. Поняття числового ряду та його суми. Необхiднi й достатнi умови збiжностi числового ряду. Ряди з невід’ємними членами, достатнi ознаки їх збiжностi (порiвняння, Кошi, Даламбера та iншi).

21. Знакозмiннi та знакопочережнi ряди. Ознаки їх збiжностi. Абсолютно i умовно збiжнi ряди та їх властивостi.

22. Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збiжностi степеневого ряду. Формула Кошi - Адамара для визначення радiуса збiжностi. Рiвномiрна збiжнiсть, диференцiювання i iнтегрування степеневих рядiв.

23. Функцiональнi послiдовностi i ряди. Збiжнiсть функцiональних рядiв. Умови рівномірної збiжностi функцiонального ряду. Почленне диференцiювання i iнтегрування функцiонального ряду.

24. Тригонометричний ряд Фур’є. Влас-тивостi коефіцієнтів ряду Фур’є. Достатнi умови збiжностi ряду Фур’є для кусково-диференційовної функції.

25. Кратні інтеграли (подвійні, потрійні): означення, основні властивості, обчислення, застосування.

26. Скалярне та векторне поле та їх характеристики (градієнт скалярного поля, дивергенція і ротор векторного поля та ін.). Формули Грина, Остроградського-Гвуса та Стокса.

27. Поняття функції комплексної змінної. Границя, неперервнiсть, похiдна функції комплексної змінної. Умови Кошi-Рiмана диференцiйовностi функції.

28. Елементарнi функції комплексної змінної та їх властивостi: степенева, дробово-лiнiйна, показникова i тригонометричнi функції.

29. Класифікація ізольованих особливих точок функції комплексної змінної. Означення інтегрального лишку та його обчислення. Основна теорема про лишки та її застосування.

30. Iнтегрування функцій комплексної змінної. Iнтеграл по замкненому контуру вiд аналітичної функції. Iнтегральна формула Кошi та наслiдки з неї.

31. Метричні простори. Означення та приклади метричних просторів. Збіжність послідовностей елементів метричних просторів.

32. Принцип стискаючих відображень.

33. Міра Лебега в скінченновімірному евклідовому просторі.

34. Інтеграл Лебега та його властивості.

35. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів.

36. Пряма на площині. Рівняння прямої в прямокутній декартовій системі координат.

37. Пряма в просторі. Рівняння прямої на площині в прямокутній декартовой системі координат.

38. Площина в просторі. Рівняння площини в прямокутній декартовой системі координат.

39. Еліпс, парабола, гіпербола та їхні канонічні рівняння.

40. Приведення загального рівняння лінії 2-го порядку до канонічного виду.

41. Конічні і циліндричні поверхні 2-го порядку.

42. Поверхні обертання 2-го порядку.

43. Репер Френе кривої. Формули Френе. Кривизна і скрут кривої.

44. Перша квадратична форма поверхні. Її геометричний зміст і застосування.

45. Друга квадратична форма поверхні. Нормальна кривизна кривої на поверхні.

46. Асимптотичні напрямки на поверхні. Асимптотичні лінії поверхні. Класифіка-ція точок поверхні.

47. Матриці. Операції над матрицями. Ранг матриці.

48. Повна та середня кривина поверхні. Поняття внутрішньої геометрії поверхні.

49. СЛАР. Класифікація і методи розвязку.

50. Визначники і їх властивості.

51. Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Коордінати вектора.

52. Лінійні оператори у векторному просторі. Ядро, образ, ранг, дефект.

53. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови диагонализируемості матриці лінійного оператора.

54. Євклідів простір. Ортонормований базис.

55. Квадратичні форми. Матриця квадратич-ної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного виду.

56. Додатньо визначені квадратичні форми. Зведення пари квадратичних форм до канонічного виду одним перетворенням.

57. Спряжені оператори. Самоспряжені оператори.

58. Групи, кільця, поля

59. Гомоморфизм груп.

60. Висловлення й операції над ними. Таблиці істинності.

61. Порівняння за простим і складовим модулем. Розвязок порівнянь.

62. Мультиплікативні числові функції.

63. Многочлени від однієї змінної. Теоремі Безу. Теорема Штурма.

64. Симетричні многочлени.

65. Незвідні многочлени над Q,R i C.

66. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та методи їх розв’язування.

67. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку.

68. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіціентами. Спеціальна права частина.

69. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2-го порядку з сталими коефіціентами. Метод варіації довільних сталих.

70. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Узагальнення на випадок рівняння -го порядку.

71. Розв’язування систем диференціальних рівнянь методом виключення.

72. Рівняння, що зводяться до рівнянь у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

73. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.

74. Стійкість розв’язків диференціальних рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.

75. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.

76. Класичне означення ймовірності. Геометрична ймовірність. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

77. Повторення дослідів. Формула Бернуллі. Формула Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа.

78. Висловлення й операції над ними. Таблиці істинності.

79. Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації.

80. Розв’язок нелінійних алгебраїчних рівнянь методом Ньютона.

81. Чисельне інтегрування. Формула трапецій.

82. Інтерполяція функцій. Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

83. Розв’язок задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера.

84. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Узагальнення на випадок рівняння -го порядку.

85. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих.

86. Розв’язування систем диференціальних рівнянь методом виключення.

87. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та методи їх розв’язування.

88. Рівняння, що зводяться до рівнянь у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

89. Системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами та методи їх розв’язання.

90. Стійкість розв’язків диференціальних рівнянь за Ляпуновим. Визначення стійкості розв’язків за першим наближенням.

91. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь…

Голова фахової атестаційної комісії _____________ (______________)

(підпис) (прізвище та ініціали)