Програма фахового випробування з математики (стр. 1 )

ЗАТВЕРДЖЕНО

Приймальною комісією

Протокол № _____

«___» ___________ 2014 р.

Заступник голови Приймальної комісії

_____________ О. Г. Бондар

ПРОГРАМА

ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ З МАТЕМАТИКИ

Освітньо-кваліфікаційний рівень: спеціаліст

Спеціальність: 7. «Математика(за напрямами)»

Запоріжжя – 2014

І. Пояснювальна записка

Мета фахового випробування для вступу на здобуття освітньо-кваліфікаційного рівня «спеціаліст»: з’ясувати рівень теоретичних знань та практичних навичок вступників, яких вони набули під час навчання на освітньо-кваліфікаційному рівні «бакалавр», напряму підготовки 6.040201 «Математика» з метою формування рейтингового списку та конкурсного відбору абітурієнтів на навчання за освітньо-кваліфікаційним рівнем «спеціаліст» спеціальності 7. «Математика (за напрямами)» в межах ліцензованого обсягу спеціальності.

Форма фахового випробування.

Фахове випробування проводиться у два етапи:

– письмовий – абітурієнти дають письмову відповідь на питання екзаменаційного білету у письмовій формі. Тривалість письмового етапу –
60 хвилин.

– усний – співбесіда з абітурієнтами з питань екзаменаційного білету.

Структура білету

Кожний білет складається із двох теоеретичних питань та одного практичного завдання(задачі).

Приклад екзаменаційного білету

Екзаменаційний білет № 1. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел. 2. Пряма на площині. Рівняння прямої в прямокутній декартовій системі координат. 3. Задача: Дослідити на неперервність функцію та класифікувати точки розриву: .

Перелік дисциплін, що виносяться на фахове вступне випробування з математики

1. аналітична геометрія,

2. математичний аналiз-1,

3. лінійна алгебра,

4. дискретна математика,

5. теоретична механіка,

6. алгебра і теорія чисел,

7. диференціальна геометрія і топологія,

8. дифеpенцiальнi piвняння,

9. інформатика і програмування,

10. комплексний аналіз,

11. методи обчислень,

12. теорія ймовірностей,

13. теорія міри та інтеграла,

14. функцiональний аналiз,

15. рівняння математичної фізики,

16. математична логіка,

17. варіаційне числення та методи оптимізації,

18. математичний аналiз-2,

19. математична статистика з елементами теорії випадкових процесів

Вимоги до відповіді абітурієнта

Під час співбесіди абітурієнт повинен показати:

а) чітке знання означень, математичних понять, термінів, формулювань правил, ознак, теорем, передбачених програмою, вміння доводити їх;

б) вміння точно i стисло висловити математичну думку в усній i письмовій формі, використовувати вiдповiдну символіку;

в) наявність математичних вмінь і навичок, передбачених державними стандартами, вміння застосовувати математичні поняття, методи і факти при розв’язування практичних задач і вправ.

г) вміння створювати, аналізувати та досліджувати найпростіші математичні моделі

д) вміння розв’язувати математичні та прикладні задачі, в межах програми випробування.

ІІ. Критерії оцінювання

Кожний білет складається із двох теоеретичних питань та одного практичного завдання(задачі). Кожне із завдань білету оцінюється у 100 балів

Питання	Кількість балів	Вимоги до відповіді
Теоретичні	90 – 100	-повна, докладна відповідь
60 –89	-у відповіді допущені незначні помилки і неточності
35 – 59	-базове знання питання, знання основних положень
1 – 34	-відсутність знань основних положень
Практичні	90 – 100	-правильне виконання завдання, повна і докладна відповідь на контрольні питання
60 –89	-виконання завдання з несуттевими помилками, неточності у відповідях на контрольні питання
35 – 59	-виконання завдання з суттєвими помилками, помилки при відповіді на контрольні питання
1 – 34	-не виконання завдання, виконання завдання з грубими помилками та неуміння відповісти на контрольні питання

За підсумком співбесіди вступнику виставляється підсумкова оцінка, яка обчислюється за формулою (тут оцінки за кожне завдання білету).

Шкала оцінювання:

90 – 100 балів – «відмінно»;

60 – 89 балів – «добре»;

35 – 59 балів – «задовільно»;

1 – 34 балів – «незадовільно».

Рівні навчальних досягнень	Критерії оцінювання навчальних досягнень
1.Початковий (34-1 балів)	Вступник не володіє основними знаннями екзаменаційних дисциплін, не знає фактичного матеріалу.
Вступник виявляє дуже слабке володіння основними знаннями екзаменаційних дисциплін, не знає фактичного матеріалу. Не володіє поняттєво-термінологічним апаратом основних професійно-орієнтованих дисциплін
Вступник виявляє слабке володіння основними знаннями з екзаменаційних дисциплін, не володіє поняттєво-термінологічним апаратом основних професійно-орієнтованих дисциплін. Зміст дисципліни не засвоєний.
2. Середній (35-59 балів)	Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, слабко орієнтується в особливостях класифікації, термінології. Має нестійки знання та практичні навички роботи з задачами, теоремами, моделями.
Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, слабко орієнтується в особливостях класифікації, термінології. Має слабкі знання та практичні навички роботи із задачами практичного спрямування. Відповідь на запитання недостатньо обґрунтована.
Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, допускає неточності у виконанні практичних завдань, доведенні теорем. Має посередні професійні навички щодо розв’язання задач практичного змісту. Відповідь неповна. Відсутній, або слабкий логічний зв'язок між деякими положеннями.
3. Достатній (60-89 балів)	Вступник володіє практичними навичками, але допускає неточності в теоретичних положеннях та виконанні практичних завдань. Має професійні дані для виконання практичних завдань, теоретичних обґрунтувань, побудови математичних моделей. Застосовує раціональні прийоми.
Вступник володіє теоретичними та практичними навичками складання математичних моделей, але допускає неточності в теоретичних знаннях. Виявляє методичність, застосовує раціональні прийоми при реалізації поставлених завдань.
Вступник добре володіє практичними навичками, але допускає неточності в теоретичних знаннях. Відповідь повна, правильна, логічне обґрунтування непослідовне.
4. Високий (90-100 балів)	Вступник володіє основними теоретичними знаннями та практичними навичками розв’язання математичних задач, має достатні професійні дані для математичного моделювання реальних процесів. Виявляє методичність, достатньо вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем.
	Вступник володіє основними теоретичними знаннями та практичними, має достатні професійні дані для розв’язання поставлених проблем. Виявляє методичну досконалість, вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем..
	Вступник блискуче володіє теоретичними знаннями та практичними навичками розв’язання математичних задач, має достатні професійні дані для математичного моделювання реальних процесів. Виявляє методичну досконалість, вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем. Відповідь повна, логічно обґрунтована, правильно використані наукові терміни.

III. Структура програми

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Елементи векторної алгебри. Предмет аналітичної геометрії. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами та їх властивості. Лінійна залежність. Критерій лінійної залежності. Теореми про геометричний зміст лінійної залежності двох і трьох векторів та їх висновки. Розкладання вектора по базису. Координати вектора Вісь. Координата вектора на осі. Проекція вектора на вісь та її властивості.

Афіна, декартова, полярна системи координат. Афіна і декартова системи координат. Поділ відрізка у заданому відношенні. Полярна система координат.

Скалярний добуток двох векторів. Векторний та змішаний добутки. Подвійний векторний добуток. Скалярний добуток двох векторів та його властивості. Вираз скалярного добутку у декартовому базисі. Орієнтовані площини та простори. Векторний добуток та його властивості. Вираз векторного добутку у декартовому базисі. Мішаний добуток та його властивості. Подвійний векторний добуток. Ексцентриситет та директриси еліпса та гіперболи. Фокальна властивість параболи, еліпса та гіперболи. Фокальний параметр. Рівняння параболи., еліпса та гіперболи у полярній системі координат. Рівняння кривих другого порядку, віднесених до вершин.

Рівняння лінії. Пряма на площині. Рівняння лінії на площині. Векторно-параметричне та координатне рівняння прямої l=[A, B], яка проходить через дві точки. Канонічне, параметричне, векторно-параметричне рівняння прямої l = [М0,]. Напрямний вектор прямої. Загальне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих В’язка прямих. Нормальне рівняння прямої. Відстань точки від прямої.

Площина та пряма на просторі. Векторно-параметричне, детермінантае рівняння площини , яка проходить через три точки. Напрямний бівектор площини. Векторно-параметричне, детермінантне рівняння площини . Загальне рівняння площини. Кут між двома площинами. Відстань точки від площини. Векторно-параметричне, координатне рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Канонічне, параметричне, векторно-параметричне рівняння прямої l = [М0,]. Перехід від загальних рівнянь прямої к канонічним. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності. Умови належності прямої до площини. Умови належності двох прямих до площини. Кут між прямою та площиною. Теорема про відстань між двома прямими. Відстань точки від прямої.

Перетворення афіних та декартових координат точки. Перетворення афіних координат точки у просторі. Перетворення декартових координат на площині.

Парабола, еліпс, гіпербола. Канонічне рівняння параболи. Канонічні рівняння еліпса та гіперболи. Асимптота гіперболи. Дослідження рівняння гіперболи. Рівняння гіперболи, віднесеної до асимптот.

Циліндричні поверхні Циліндричні поверхні другого порядку. Поверхні обертання. Означення циліндричної поверхні. Рівняння циліндричної поверхні. Циліндричні поверхні другого порядку. Поверхні обертання.

Канонічні рівняння поверхонь другого порядку, їх прямолінійні твірні. Поверхні обертання другого порядку. Стиск поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку. Прямолінійні твірні.

Загальне рівняння лінії другого порядку. Означення лінії другого порядку, її рівняння. Зведення рівняння лінії другого порядку до найпростішого (канонічного) вигляду у декартовій системі координат. Характеристичне рівняння, інваріанти лінії другого порядку. Класифікація ліній другого порядку за типами. Зведені рівняння.

Загальне рівняння поверхні другого порядку. Означення поверхні другого порядку. Інваріанти поверхні другого порядку. Характеристичне рівняння поверхні другого порядку. Зведені рівняння.

ЛІТЕРАТУРА

1. , , Иваницкая . Ч.1. – М: Просвещение, 1974. – 351 с.

2. , , Чубаров задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

3. , Позняк алгебра. – М: Наука, 1984. – 294 с.

4. Курош высшей алгебры. – М: Наука, 1968.

5. Погорелов геометрия. – М: Наука, 1968. – 176 с.

6. Проскуряков задач по линейной алгебре. – М: Наука, 1974. – 384 с.

7. , Соминский задач по высшей алгебре. – М: Наука, 1977. – 288 с.

8. Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Наука, 1979. – 512 с.

9. Постников по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. – М: Наука, 1986. – 416 с.

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ-1, МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ-2

Елементи теорії множин. Поняття множини. Означення теоретико-множинних операцій. Відображення. Розбиття на класи. Принцип математичної індукції. Зчисленні множини та їх властивості. Числова пряма і нескінченний десятковий дріб. Несчисленність множини точок відрізку [0,1]. Потужність континуум. Властивості множин потужності контінуум. Порівняння потужностей. Теорема Шредера-Бернштейна. Теорема про існування вищих потужностей.

Теорія дійсних чисел. Множини натуральних чисел, цілих чисел, раціональних чисел. Властивості раціональних чисел. Нескінчені десяткові дроби та їх упорядкованість. Числові множини, обмежені зверху, знизу. Теорема про існування точних граней. Наближення дійсних чисел раціональними. Операції над дійсними числами. Незчисленність множини дійсних чисел. Означення множини дійсних чисел.

Теорія границь. Поняття функції та способи завдання її. Послідовності та їх види. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, зв’язок між ними. Властивості границі послідовності. Монотонні послідовності. Число Ейлера. Принцип стягувальних сегментів. Граничні точки множини та послідовності. Підпослідовності. Верхня та нижня границі. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Критерій Коші збіжності послідовності. Границя функції за Гейне та за Коші. Односторонні границі і границі на нескінченності. Критерій Коші існування границі функції. Арифметичні операції над функціями, які мають границю. Перша істотна границя. Друга істотна границя.

Неперервні функції. Неперервність за Гейне та за Коші. Арифметичні операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Монотонні функції. Критерій існування оберненої функції. Класифікація точок розриву функції. Локальні властивості неперервних функцій. Глобальні властивості неперервних функцій. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.

Диференціальне числення. Означення похідної. Односторонні похідні. Диференційованість функцій. Диференціал. Геометричний зміст похідної та диференціалу. Дотична, нормаль. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу. Арифметичні операції з диференційованими функціями. Табличні похідні та диференціали. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.

Основні теореми про диференційовані функції. Монотонність функції в точці. Локальний екстремум. Теореми Ролля, Лагранжа. Застосування формули скінчених приростів. Теореми Коші, Дарбу. Правила Лопіталя. Формула Тейлора. Оцінки залишкового члена формули Маклорена.

Дослідження функцій та побудова графіків. Стаціонарні точки. Необхідні та достатні умови екстремуму. Опуклість графіку функції. Точки перегину. Асимптоти графіку функції. Глобальний та крайовий екстремуми.

Первісна функція та невизначений інтеграл. Означення та властивості первісної функції. Таблиця невизначених інтегралів. Методи інтегрування: заміна змінної та інтегрування частинами. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій.

Визначений інтеграл Рімана. Означення інтеграла. Необхідна умова інтегрованості. Верхні та нижні суми Дарбу, їх властивості. Критерій інтегрованості функцій. Класи інтегрованих функцій. Основні властивості визначеного інтеграла. Інтеграл Рімана зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Теореми про середнє значення. Методи обчислення визначеного інтеграла.

Застосування визначеного інтеграла в геометрії. Спрямлені криві. Обчислення довжини дуги. Квадровані фігури на площині. Критерій квадрованості. Площа плоскої фігури. Об’єм тіла обертання. Площа поверхні тіл обертання.

Застосування визначеного інтегралу в фізиці. Загальна схема застосування визначеного інтегралу. Статичні моменти та центр тяжіння плоских кривих, криволінійної трапеції. Теореми Гульдена. Механічна робота.

Наближене обчислення визначених інтегралів. Формула прямокутників і її точність. Формула трапецій та її точність. Формула Сімпсона.

Невласні інтеграли. Невласні інтеграли першого роду. Критерій Коші їх збіжності. Невласні інтеграли другого роду. Критерій Коші їх збіжності. Достатні ознаки збіжності невласних інтегралів та методи їх обчислення. Головне значення невласних інтегралів у розумінні Коші.

Числові ряди. Поняття числового ряду. Необхідна умова збіжності. Критерій Коші. Ознаки збіжності знакопостійних рядів. Ознаки збіжності знакозмінних рядів. Абсолютно збіжні ряди та їх властивості. Умовно збіжні ряди. Теорема Рімана.

Нескінчені добутки.

Функціональні ряди. Функціональні послідовності і ряди. Область їх збіжності. Рівномірна збіжність функціональних рядів. Критерій Коші. Достатні ознаки рівномірної збіжності. Інтегрування рівномірно збіжних рядів. Диференціювання функціональних рядів.

Степеневі ряди. Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Радіус збіжності. Формула Коші-Адамара. Властивості степеневого ряду. Розвинення функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів. Формула Стірлінга. Аналітичне означення тригонометричних функцій. Формула Ейлера.

Інтеграл і міра Лебега. Ряди Фур’є. Структура лінійних множин. Міра Лебега. Інтеграл Лебега. Ортогональні системи. Середнє квадратичне відхилення. Збіжність в середньому. Ряд Фур’є, умови розкладу функцій в ряд Фур’є. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур’є.

Метричні простори. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів. Повні метричні простори.