Теория автоматического управления (стр. 2 )

В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания различают (рисунок 3):

а б в г

Рисунок 3

а) фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания от нуля до w2 и полосой задерживания от частоты wз2 > w2 до бесконечности;

б) фильтр верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты w1 до бесконечности и полосой задерживания от нуля до частоты wз1 < w1;

в) полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, заключенной между частотами w1 и w2 и полосой задерживания частот меньших, чем wз1, и больших, чем wз2;

г) заграждающий (режекторный) фильтр (РФ) с полосой задерживания, заключенной между частотами wз1 и wз2, и полосой пропускания частот меньших, чем w1, и больших, чем w2.

2.3 Указания к работе

Используя программу FREQCHAR "Частотные характеристики" из библиотеки LinCAD (рисунок 4) и рассчитанные в предыдущей работе передаточные функции фильтра по выходам a, b, c, d относительно входа e, получить на ЭВМ (для логарифмического масштаба изменения частоты) и зарисовать в отчет АЧХ и ФЧХ для каждой передаточной функции. Начальное и конечное значения частот подбирают экспериментально, так, чтобы значительное изменение АЧХ приходилось примерно на середину графика, а в левой и правой части графика АЧХ была горизонтальной (можно начать подбор с частот 0.01 и 100).

Рисунок 4

Найти для каждого типа фильтра полосы пропускания и задерживания, построив по реальным характеристикам асимптотические (прямолинейные) и определив по точкам пересечения отрезков частоты сопряжения (граничные частоты полос), обозначить, какому типу фильтра соответствует каждая передаточная функция и график. Касательные к горизонтальным и наклонным участкам АЧХ (асимптоты) можно строить прямо на экране монитора, совмещая с получаемыми графиками линейку. Значения характеристик для конкретной точки получают в окне просмотра, перемещая стрелками курсора указатель по рабочему полю к месту сопряжения отрезков (касательных).

2.4 Методический пример

Передаточная функция фильтра по выходу a относительно входа e

.

Полученные амплитудная и фазовая частотные характеристики соответствуют заграждающему фильтру (РФ) с полосой задерживания на частоте ωз = 0.697 рад/с, полосой пропускания менее частоты ω1 = 0.032 рад/с и более частоты ω2 = 1.462 рад/с. Начальное значение АЧХ равно bm/an = 1.6/1 = 1.6, конечное b0/a0 = 3.2/2 = 1.6.

2.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, для каждого из четырех фильтров рассчитанную передаточную функцию и полученную характеристику в масштабе с измеренными значениями амплитуды в характерных точках, частотами пропускания, задерживания и другими необходимыми обозначениями.

К защите знать все виды частотных характеристик, их смысл, методы вычисления и построения, формулировки, типы фильтров и вид их характеристик. Уяснить связь вида передаточной функции и соответствующей амплитудной частотной характеристики, т. е. уметь по виду передаточной функции построить АЧХ фильтра в соответствующем масштабе. Уметь определить с помощью АЧХ выходной сигнал по входному для заданной частоты и типа фильтра. Объяснить названия полос пропускания и задерживания.

3 Исследование устойчивости по критерию Михайлова

3.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов оценки устойчивости САР, исследование устойчивости системы с помощью частотного критерия Михайлова.

3.2 Общие сведения

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Признаки (условия) устойчивости линейной системы:

а) физический – система устойчива, если свободная составляющая yсв(t) переходного процесса с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива – если она стремится к бесконечности, и нейтральна, если она стремится к некоторой постоянной величине;

б) математический – для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть(все полюса системы были левыми). Система находится на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых корнях имеет один нулевой корень, и на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых корнях характеристического уравнения имеет пару чисто мнимых корней. Характеристическое уравнение образуется из знаменателя передаточной функции системы D(s) = 0.

При невозможности вычислить корни используют косвенные признаки – критерии устойчивости. Алгебраические критерии (Гурвица, Рауса) оценивают устойчивость системы по значениям коэффициентов характеристического уравнения, частотные критерии (Михайлова, Найквиста) – по виду частотных характеристик системы.

Критерий Михайлова основан на исследовании характеристической функции D(jω) = U(ω) + jV(ω), полученной из характеристического многочлена подстановкой s = jω.

Основная формулировка: система n-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начинаясь при w=0 на действительной положительной полуоси, проходит при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости.

Дополнительная формулировка (следствие или форма 2): система устойчива, если четная U(w) и нечетная V(w) функции при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности обращаются в нуль поочередно, начиная с нечетной функции, т. е. их корни перемежаются. Для построения графика используется та же таблица частот, что и в основной форме.

3.3 Указания к работе

Предварительно следует найти главную передаточную функцию системы (рисунок 1) Wyr(s) по выходу y относительно входа r с учетом параметров блоков 5 и 6 – сначала в общем виде, затем с численными значениями данных по своему варианту (значение коэффициента обратной связи k ос принять равным единице).

Используя программу MICHCHAR "Критерий Михайлова" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы (знаменатель передаточной функции), необходимо получить кривую Михайлова на комплексной плоскости (рисунок 5) с таблицей частот, соответствующих пересечениям кривой с осями координат и крайним точкам кривой по каждой оси. Кривая Михайлова представляет собой раскручивающуюся спираль, уходящую в бесконечность. Поэтому диапазон частот следует подобрать экспериментально, от нуля до значения частоты, при котором кривая последний раз пересекает какую-либо ось, для более точного определения координат пересечения действительной и мнимой осей и желаемого вида кривой Михайлова.

Рисунок 5

Таблица особых частот включает только минимум точек, поэтому, пользуясь перемещающимся маркером, желательно определить координаты точек, соответствующих наибольшим отклонениям по действительной или мнимой оси, и добавить их в таблицу. По расширенной таблице нужно построить кривую Михайлова в произвольном масштабе, по ее виду дать заключение об устойчивости системы. Если какой-либо оси не оказалось на графике, ее следует дорисовать приближенно, а на кривой поставить стрелку в сторону увеличения частоты.

Самостоятельно, используя полученную таблицу частот, построить графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций в соответ­ствии со второй формой (следствием) критерия Михайлова, проверить сделанный ранее вывод об устойчивости системы. На всех графиках обязательно указывать порядок системы (полинома) n.

3.4 Методический пример

Характеристическое уравнение САР

D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0.

Расширенная таблица частот

ω, рад/с	U(ω)	V(ω)
0.000	5.000	0.000
0.800	3.490	2.176
1.230	2.750	1.198
1.427	3.037	-0.101
1.700	4.177	-2.280

Годограф характеристической функции D(jω)

Система неустойчива, поскольку кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси, не проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n=4 – порядок системы.

Графики четной и нечетной функций

Система неустойчива, поскольку графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций, начинаясь с V(ω) = 0, не пересекают при возрастании частоты ось частот поочередно.

3.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, главную передаточную функцию системы в общем виде и после подстановки численных значений, характеристическое уравнение системы, полученные на ЭВМ таблицу частот и кривую Михайлова, построенный самостоятельно график четной и нечетной функций с заключением об устойчивости системы. На всех графиках должны быть указаны значения параметров в точках пересечения кривых с осями координат, порядок системы, обозначены оси и каждая кривая при количестве характеристик более одной.

К защите знать физический и математический признаки устойчивости систем, названия основных критериев устойчивости, формулировку критерия Михайлова и его следствия, методику построения кривой Михайлова вручную.

4 Выбор параметров регулятора методом D-разбиения

4.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем с достижением заданных параметров устойчивости, в частности, метода D-разбиения по двум параметрам.

4.2 Общие сведения

Метод используется при синтезе систем для определения допус­тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па­раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян­ной времени T регулятора.

Процесс построения в пространстве параметров системы об­ластей с разным числом правых корней характеристического урав­нения называется D-разбиением.

Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю­сом, D(2) – с двумя и т. д.

Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет­ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне­ния системы находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре­зультатом является плоскость).

В случае D-разбиения по одному параметру все построения производят, изменяя значения одного параметра при постоянстве остальных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искусственно делают двумерным, заменяя s = jw с образованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действительной оси.

Подставив s = jw в характеристическое уравнение системы, раз­решают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U(w) и нечетную (мнимую) V(w) функции. Изменяя частоту w от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига­ясь по кривой от точки w = -¥ до точки w = +¥ , наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото­бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j¥ к +j¥ об­ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-пре­тендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого крите­рия, подставив значение параметра из этой области в характеристиче­ское уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи­тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст­вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).

Критическим называется значение параметра системы или коэффициента характеристического уравнения, при котором система находится на границе устойчивости.

Для проверки области-претендента на устойчивость системы четвертого порядка удобен критерий Гурвица, у которого должны выполняться два условия: необходимое – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, и достаточное – определитель третьего порядка D3 = a3D2 – a12a4 = a3·(a1×a2 - a0×a3) – a12a4 > 0.

4.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента усиления k1 регулятора, вошедшего в коэффициент характеристического уравнения an, по условию устойчивости системы при номинальных значениях остальных коэффициентов.

Предварительно следует выразить аналитически зависимость коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента k1.

Используя программу DRAZBTWO "D-разбиение по двум параметрам" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить на плоскости параметров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффициента an и одного из коэффициентов a1 - an-1, оставив номинальными значения остальных коэффициентов. Какой из коэффициентов a1 - an-1 лучше выбрать для изменения, подбирают экспериментально по наиболее характерному проявлению областей устойчивости, при этом его значение рекомендуется задавать в пределах 0.9-1.1 номинального.

На линии, соответствующей номинальному значению неосновного коэффициента a1 - an-1, определить критическое значение an, кр, соответствующее пересечению границы области устойчивости, а в самой области устойчивости выбирается желаемое значение an приблизительно равноудаленным от границ области (рисунок 6).

Рисунок 6

Самостоятельно оценить устойчивость системы по критерию Гурвица после подстановки выбранного значения an в характеристическое уравнение. Если устойчивость системы обеспечивается, по выбранной величине an найти значение k1, которое должно использоваться во всех последующих работах взамен первоначально заданного. При нулевом значении k1 следует немного изменить выбранное значение an.

4.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы

D(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3 s + a4= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 2 = 0