Теория автоматического управления (стр. 6 )

Система неустойчива, поскольку кривая Михайлова, начинаясь на положительной действительной оси, не проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n=4 – порядок системы.

Графики четной и нечетной функций

Система неустойчива, поскольку графики четной U(ω) и нечетной V(ω) функций, начинаясь с V(ω) = 0, не пересекают при возрастании частоты ось частот поочередно.

3.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, главную передаточную функцию системы в общем виде и после подстановки численных значений, характеристическое уравнение системы, полученные на ЭВМ таблицу частот и кривую Михайлова, построенный самостоятельно график четной и нечетной функций с заключением об устойчивости системы. На всех графиках должны быть указаны значения параметров в точках пересечения кривых с осями координат, порядок системы, обозначены оси и каждая кривая при количестве характеристик более одной.

К защите знать физический и математический признаки устойчивости систем, названия основных критериев устойчивости, формулировку критерия Михайлова и его следствия, методику построения кривой Михайлова вручную.

4 Выбор параметров регулятора методом D-разбиения

4.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем с достижением заданных параметров устойчивости, в частности, метода D-разбиения по двум параметрам.

4.2 Общие сведения

Метод используется при синтезе систем для определения допус­тимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых па­раметров системы – обычно коэффициента усиления k или постоян­ной времени T регулятора.

Процесс построения в пространстве параметров системы об­ластей с разным числом правых корней характеристического урав­нения называется D-разбиением.

Областью устойчивости D(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные D-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно D(1) – область с одним правым полю­сом, D(2) – с двумя и т. д.

Граница любой D-области является отображением мнимой оси плоскости корней, она соответствует совокупности значений парамет­ров, при которых хотя бы один корень характеристического уравне­ния системы находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она является структурно неустойчивой. На практике используют D-разбиение по одному параметру (результатом является отрезок на условной плоскости) и по двум параметрам (ре­зультатом является плоскость).

В случае D-разбиения по одному параметру все построения производят, изменяя значения одного параметра при постоянстве остальных. Чтобы получить плоскость, вещественный параметр искусственно делают двумерным, заменяя s = jw с образованием мнимой оси, однако окончательным результатом является отрезок на действительной оси.

Подставив s = jw в характеристическое уравнение системы, раз­решают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) U(w) и нечетную (мнимую) V(w) функции. Изменяя частоту w от 0 до плюс бесконечности, строят кривую D-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двига­ясь по кривой от точки w = -¥ до точки w = +¥ , наносят штриховку слева от кривой. (Напомним, что кривая D-разбиения является ото­бражением мнимой оси, а при движении по этой оси от -j¥ к +j¥ об­ласть устойчивости на плоскости корней располагается слева).

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении – левым. Выбранную область-пре­тендент D(0) проверяют на устойчивость с помощью любого крите­рия, подставив значение параметра из этой области в характеристиче­ское уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действи­тельной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке дейст­вительной оси, заключенном внутри области устойчивости D(0).

Критическим называется значение параметра системы или коэффициента характеристического уравнения, при котором система находится на границе устойчивости.

Для проверки области-претендента на устойчивость системы четвертого порядка удобен критерий Гурвица, у которого должны выполняться два условия: необходимое – все коэффициенты характеристического уравнения положительны, и достаточное – определитель третьего порядка D3 = a3D2 – a12a4 = a3·(a1×a2 - a0×a3) – a12a4 > 0.

4.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента усиления k1 регулятора, вошедшего в коэффициент характеристического уравнения an, по условию устойчивости системы при номинальных значениях остальных коэффициентов.

Предварительно следует выразить аналитически зависимость коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента k1.

Используя программу DRAZBTWO "D-разбиение по двум параметрам" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить на плоскости параметров область устойчивости при изменении в заданном диапазоне коэффициента an и одного из коэффициентов a1 - an-1, оставив номинальными значения остальных коэффициентов. Какой из коэффициентов a1 - an-1 лучше выбрать для изменения, подбирают экспериментально по наиболее характерному проявлению областей устойчивости, при этом его значение рекомендуется задавать в пределах 0.9-1.1 номинального.

На линии, соответствующей номинальному значению неосновного коэффициента a1 - an-1, определить критическое значение an, кр, соответствующее пересечению границы области устойчивости, а в самой области устойчивости выбирается желаемое значение an приблизительно равноудаленным от границ области (рисунок 6).

Рисунок 6

Самостоятельно оценить устойчивость системы по критерию Гурвица после подстановки выбранного значения an в характеристическое уравнение. Если устойчивость системы обеспечивается, по выбранной величине an найти значение k1, которое должно использоваться во всех последующих работах взамен первоначально заданного. При нулевом значении k1 следует немного изменить выбранное значение an.

4.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы

D(s) = a0 s4 + a1s3 + a2 s2 + a3 s + a4= s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 2 = 0

Области устойчивости в пространстве коэффициентов 2 < a2 < 4 и 0 < a4 < 5

При номинальной величине a2 = 3 критическое значение a4, кр1 = 0 в сторону уменьшения и a4, кр2 = 2 в сторону увеличения, оптимальное значение по устойчивости выбираем равным a4 = 1.1.

Для проверки области-претендента на устойчивость по критерию Гурвица подставляем выбранное значение в характеристическое уравнение:

- характеристическое уравнение D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1.1 = 0;

- условие D3 = a3·(a1×a2 - a0×a3) – a12a4 = 8 – 4.4 =∙3.6 > 0 выполняется.

Принимая значение a4 = 1.1, находим необходимое значение коэффициента k1 = (a4 – 1)/k2k3 = (1.1 – 1)/(0.1∙10) = 0.1.

Рассчитанная с новым значением k1 передаточная функция САР

.

4.3 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать цель работы, характеристическое уравнение системы D(s) = 0, полученный на ЭВМ график областей D-разбиения с обозначением величин и масштаба по обеим осям, обозначением областей D( ) и штриховкой в сторону области устойчивости, визир с координатами выбранной точки, критическое значение an, кр, выбранное значение an, проверку устойчивости системы при этом значении по критерию Гурвица, зависимость an от коэффициента k1, рассчитанное значение k1 и вид передаточной функции системы после подстановки k1.

К защите знать основные определения метода D-разбиения по одному параметру, порядок построения кривых, штриховки, выбора параметра, формулировки и порядок применения критериев Гурвица и Рауса, определение для критического параметра.

5 Коррекция системы методом корневого годографа

5.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем по корням характеристического уравнения при заданных показателях качества регулирования.

5.2 Общие сведения

Корневые оценки учитывают влияние на вид переходного про­цесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско­сти. Качество регулирования оценивают лишь для устойчивых систем.

Корни, ближайшие к мнимой оси, назы­вают доминирующими, если влиянием осталь­ных корней можно пренебречь (остальные кор­ни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Расстояние от мнимой оси до ближайше­го к ней корня характеристического уравнения (пары комплексных сопряженных корней) называется степенью устойчивости αmin или η, оно характеризует быстродействие системы. Максимальное по модулю отношение мнимой части корня к действительной из имеющихся полюсов называется степенью колебательности системы.

К основным показателям качества регулирования относятся время регулирования (длительность процесса) и перерегулирование (размах качаний при переходном процессе). Для оценки времени регулирования tрег находят сначала степень устойчивости системы αmin или η, откуда при ошибке ∆=5 %

.

Для оценки перерегулирования s определяют степень колеба­тельности μ системы, а затем значение перерегулирования . При нескольких парах комплексных корней максимальное значение μ у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос­кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ∞, называется корне­вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк­нутой системы. Если , то . Ча­ще всего изменяют k – коэффициент усиления регулятора, вычисляют для каждого значения корни и наносят их на комплексную плоскость.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:

- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче­ского уравнения;

- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно­сительно действительной оси;

- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным корням характеристического уравнения;

- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю­сах передаточной функции разомкнутой системы;

- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи­вается в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос­тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена­теля передаточной функции системы.

5.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента обратной связи kос в звене 6, ранее принимаемого равным единице, по условию получения минимального времени регулирования.

Поскольку этот коэффициент попадает в свободный член характеристического уравнения an, предварительно следует выразить аналитически зависимость этого коэффициента от коэффициента kос, учитывая новое значение k1, полученное в предыдущей работе.

Используя программу ROOTLOCS "Корневой годограф" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить корневой годограф системы (рисунок 7) при изменении коэффициента an в задаваемом диапазоне (от нуля до значения, при котором корни перемещаются вправо от мнимой оси). Перемещая маркер по годографу, найти значение коэффициента, при котором все корни максимально удалены от мнимой оси. При этом и будет обеспечиваться наименьшее возможное время регулирования (наибольшее значение степени устойчивости).

Рисунок 7

Перенести корневой годограф в отчет с обозначением осей и масштаба, показать стрелками на ветвях направления движения корней при увеличении an, провести линию степени устойчивости и луч выбора корней для оценки степени колебательности. Возле точек, соответствующих наименьшему, наибольшему и выбранному значениям коэффициента an подписать значения этого коэффициента. Допускается полюс, далеко отстоящий от мнимой оси, не показывать, если это не нарушает наглядности выбора показателей качества.

Для выбранного значения an записать соответствующие ему величины времени регулирования tрег, перерегулирования s и полученное значение коэффициента обратной связи kос.

5.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы

D(s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + (k1k2k3koc + 1) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1.1 = 0

Принимаем диапазон изменения коэффициента a4, включающего коэффициент обратной связи, в пределах граничных значений 0-2, найденных в предыдущей работе.

Таблица значений корней знаменателя ПФ

	Значение коэффициента а4
а4, min = 0.000	а4, max = 2.000	а4, опт = 0.523
полюса системы	0.000	-1.000	-0.145
-0.174 + j1.547	-1.000	-0.140 + j1.506
-0.174 - j1.547	0.000 + j1.414	-0.140 - j1.506
-1.650	0.000 - j1.414	-1.574

Корневой годограф

Показатели качества для выбранного значения а4 = 0.523: время регулирования tрег = 21.36 с, перерегулирование σ = 0.746 или 74.6 %.

Вычисленное значение коэффициента обратной связи

kос = (a4 – 1)/k1k2k3 = (0.523 – 1)/(0.1∙0.1∙10) = -0.477/0.1 = -4.77.

5.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, характеристическое уравнение системы, корневой годограф с осями, нанесенными ветвями и таблицей, содержащей значения всех полюсов не менее, чем для трех значений an, включая наименьшее, наибольшее и окончательно выбранное, значения выбранных времени регулирования и перерегулирования, вид зависимости коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента kос, полученное значение kос.