Програма фахового випробування з математики (стр. 2 )

Елементи алгебри матриць.

Поняття n-вимірного арифметичного векторного простору. Поняття n-вимірного арифметичного векторного простору. Лінійна залежність та незалежність системи арифметичних векторів. Властивості лінійно залежних та незалежних арифметичних векторів. Теорема про лінійну залежність s векторів n-вимірного векторного арифметичного простору () та висновки з неї. Еквівалентні системи векторів, теореми про еквівалентні системи. Максимальна лінійно незалежна система векторів. Ранг системи векторів.

Ранг матриці. Стовпчиковий та рядковий ранг матриці. Теорема про ранг матриці та висновки з неї. Метод обведення мінорів для визначення рангу матриці. Незмінність рангу матриці при елементарних перетвореннях. Метод елементарних перетворень визначення рангу матриці.

Дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків. Теорема Кронекера-Капеллі. Дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь із застосуванням поняття рангу. Властивості множини розв’язків однорідної СЛАР. Фундаментальна система розв’язків. Зв’язок розв’язків однорідної та асоційованої неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Алгебраїчні операції над матрицями. Обернена матриця та методи її обчислення. Дії над матрицями. Обернена матриця. Критерій невиродженості матриці. Методи визначення оберненої матриці.

Декартова система координат. Пряма на площині. Площина та пряма у просторі.

Декартова система координат. Перетворення координат. Типи рівнянь поверхонь та кривих. Загальна та прямокутна декартови системи координат. Деякі основні задачі аналітичної геометрії у декартовій системі координат. Перетворення координат вектора. Перетворення координат точки після переходу до нової системи координат. Типи рівнянь поверхонь та кривих.

Рівняння площини у просторі. Типи рівнянь площини у просторі. Взаємне розташування двох площин у просторі, кут між площинами. Відстань від точки до площини.

Пряма у просторі та на площині. Типи рівнянь прямої на площини та у просторі. Взаємне розташування двох прямих. Відстань від точки до прямої. Кут між прямими.

Поліноми від однієї змінної.

Комплексні числа. Поняття комплексного числа та форми його представлення. Алгебраїчні дії над комплексними числами.

Поліноми з комплексними коефіцієнтами. Поняття полінома з комплексними коефіцієнтами. Дії над поліномами та їх властивості.

Дільники поліномів. Найбільший спільний дільник. Дільники поліномів. Властивості подільності. НСД. Алгоритм Евкліда.

Корні многочленів. Теорема Безу. Схема Горнера. Корні многочленів. Теорема Безу. Кратні корні. Схема Горнера та її застосування.

Основна теорема алгебри та висновки з неї. Основна теорема алгебри та висновки з неї. Формули Вієта. Звідні та незвідні поліноми над полем раціональних, дійсних та комплексних чисел. Визначення меж дійсних коренів поліномів.

Визначення меж дійсних корнів поліномів. Визначення кількості дійсних корнів полінома на заданому інтервалі. Визначення меж дійсних корнів поліномів. Визначення кількості дійсних корнів полінома на заданому інтервалі. Система Штурма. Теорема Штурма. Побудова системи Штурма. Випадок кратних корнів. Теорема Бюдана-Фур’є, теорема Декарта.

Рівняння кривих та поверхонь другого порядку.

Еліпс, гіпербола та парабола, канонічні рівняння та властивості. Означення еліпса, гіперболи та параболи, канонічна система координат та канонічні рівняння. Властивості цих кривих.

Загальне рівняння кривої другого порядку. Загальне рівняння кривої другого порядку. Приведення до канонічного вигляду за допомогою перетворень повороту та переносу. Детермінант старших членів та детермінант кривої. Класифікація видів кривих другого порядку.

Поверхні другого порядку, їх канонічні рівняння та зображення. Типи поверхонь другого порядку, їх канонічні рівняння та зображення. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

Основні поняття теорії груп, кілець і полів.

Поняття алгебраїчної операції. Групоїд. Ізоморфізм та гомоморфізм групоїдів. Поняття алгебраїчної операції. Групоїд. Таблиця Келі. Ізоморфізм та гомоморфізм групоїдів. Приклади.

Поняття групи. Види груп та деякі властивості. Поняття групи, деякі властивості. Абелеві групи. Мультиплікативні та адитивні групи. Скінчені групи, порядок групи та порядок елемента. Приклади.

Поняття кільця та поля. Поняття кільця. Комутативні кільця, кільця з одиницею. Дільники нуля. Приклади. Поняття поля та підполя. Деякі властивості кілець та полів.

Лінійні простори.

Поняття лінійного простору. Скінченовимірні лінійні простори. Означення лінійного простору. Ізоморфізм лінійних просторів. Базис та вимірність. Скінченовимірні лінійні простори.

Перетворення координат вектору простору при переході до іншого базису. Матриця переходу. Існування оберненої матриці до матриці переходу. Перетворення координат вектору простору при переході до іншого базису.

Поняття підпростору та оболонки. Поняття підпростору. Приклади. Лінійна оболонка системи векторів та доказ того, що вона є підпростором. Теорема про вимірність лінійної оболонки.

Сума та перетин підпросторів. Сума та перетин підпросторів. Теорема про зв’язок між вимірностями підпросторів та їх суми і перетину, висновки з неї. Пряма сума підпросторів. Пряме доповнення до підпростору.

Евклідові простори. Дійсний евклідів простір. Нормований простір. Означення дійсного евклідового простору. Деякі властивості. Приклади. Нерівність Коши-Буняковського. Нормований простір. Кут між векторами евклідового простору. Теорема Піфагора. Нерівності трикутника та Коши-Буняковського у евклідовому арифметичному просторі.

Ортогональні та ортонормовані бази у евклідовому просторі. Означення ортогональної та ортонормованої системи векторів. Процес ортогоналізації та процес побудови ортонормованої бази. Обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами у ортонормованій базі.

Ортогональне доповнення. Ізоморфізм евклідових просторів. Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів. Теорема про ізоморфність евклідових просторів однієї вимірності.

Унітарний простір. Означення унітарного простору та деякі властивості. Нерівність Коши-Буняковського в унітарному просторі. Ортогональні та ортонормовані бази. Обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами у ортонормованій базі унітарного простору.

Лінійні оператори. Поняття лінійного оператору. Алгебраїчні операції над операторами. Поняття лінійного оператору. Алгебраїчні операції над операторами та їх властивості.

Лінійні перетворення з простору V у простір V. Поняття лінійного перетворення з простору V у простір V. Тотожній оператор. Добуток операторів. Обернений та взаємно-однозначний оператори. Образ, ядро, ранг та дефект оператора.

Матриця лінійного оператора та її перетворення при зміні бази. Матриця лінійного оператора. Теореми про ранг добутку матриць. Перетворення матриці оператора при зміні бази.

Власні значення та власні вектори оператора. Власні значення та власні вектори оператора. Приведення матриці оператора до діагонального вигляду. Жорданова форма матриці.

Лінійні оператори у евклідовому просторі Поняття спряженого оператора та його матриця. Поняття спряженого оператора та його матриця. Властивості спряжених операторів.

Самоспряжені оператори та їх властивості. Самоспряжені оператори та їх властивості. Поняття проектора. Спектральний розклад самоспряженого оператора. Теорема Гамільтона-Келі.

Додатні, унітарні та нормальні оператори. Додатні, унітарні та нормальні оператори та їх властивості.

Лінійні оператори у дійсному евклідовому просторі. Лінійні оператори у дійсному евклідовому просторі, матриця та властивості.

Квадратичні форми.

Основні поняття. Матриця квадратичної форми. Означення квадратичної форми. Матриця та ранг квадратичної форми. Перетворення матриці кв. форми при лінійній заміні змінних. Канонічний вид. Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного виду.

Закон інерції квадратичних форм. Нормальний вид кв. форми. Сигнатура, додатний та від’ємний індекси інерції. Закон інерції квадратичних форм. Умови переходу від однієї до іншої кв. форми за допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних для комплексних та дійсних кв. форм.

Додатноозначені квадратичні форми. Критерій Сільвестра. Поняття додатноозначеної квадратичні форми. від’ємноозначені та напіввизначені кв. форми. Критерій Сільвестра.

Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду за допомогою ортогонального перетворення змінних. Ортогональне перетворення. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду за допомогою ортогонального перетворення змінних. Зведення пари кв. форм до канонічного виду за допомогою одного лінійного перетворення змінних.

ЛІТЕРАТУРА

1. , Позняк алгебра. – М.: Наука, 1984.

2. Кострикин в алгебру. – М.: Наука, 1977.

3. , Манин алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.

4. Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука. 1979.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Математичне моделювання та прогнозування економічних, екологічних та соціальних процесів.

Моделі та моделювання. Поняття моделювання, місце моделювання у наукових дослідженнях. Моделі та їх класифікація. Логіко-математичне моделювання. Проблеми побудови математичних моделей.

Математичне моделювання. Математичний опис об’єкту дослідження, математичні моделі та їх види. Поняття адекватності математичного моделювання. Ідентифікація процесів по натурним даним спостереження. Алгоритм наукового дослідження на основі математичного моделювання.

Поняття о статистичних методах зрівняння (для задач оцінки адекватності математичних моделей) та обробки даних обчислювальних експериментів.

Теоретико-множений підхід до опису складних систем. Поняття системи, проблеми, розвитку, оптимізації, прогнозування. Види опису системи: функціональний, морфологічний, інформаційний. Проблема опису системи.

Загальна теорія організації системи. Структура. Декомпозиція системи. Співвідношення між підсистемами. Зовнішні та внутрішні підсистеми.

Класи структур: ієрархічні, неієрархічні та мішані. Зв’язки системи: прямі та обертанні. Проблема організації. Взаємозв’язок ентропії і організації: метод автоматів по М. Цетпіну.

Цілеспрямовані системи. Кібернетичні системи, біологічні системи. Ентропія біологічної системи. Соціально-економічні системи. Проблема класифікація систем. Модель “хижак-жертва”. Приклад багатовидової екологічної моделі.

Оптимізація, управління та прийняття рішень в еколого-економічних системах. Методи однокритеріальної оптимізації. Метод дослідження простору параметрів. Програмне управління, адаптивне управління, рефлексивне управління. Проблема управління складними системами.

Зростання складності та ефективності системи. Розвиток системи. Стійкість екологічної системи. Модель самоорганізації системи. Система MYCIN – медична діагностика.

Приклади моделювання фізичних, технічних, кібернетичних, біологічних, суспільних інтелектуальних систем. Система PROSPECTOR – пошук корисних копалин. Систематизація та інтеграція наук.

Дослідження, проектування, керування, реконструювання та прогнозування поведінки складних систем.

Основні поняття: загальна система, ієрархічний підхід, епістемологічні рівні, декомпозиція, складні та великі системи. Проблема Дослідження складних систем на підставі даних моніторингу із застосуванням ЕОМ та систем. Експертна система.

Побудова початкової системи. Виділення систем на об’єкті дослідження. Проблема формування важливіших властивостей. Математичні властивості множин змінних. Типи початкових систем. Канали спостереження. Зведення конкретної системи до визначеного типу системної задачі. Приклади.

Методи побудови системи даних для екологічної, економічної та соціальної системи. Стандартні засоби представлення даних. Приклади.

Методи обробки даних. Методи визначення параметрично інваріантних обмежень на змінні. Методи обробки детерміністичних моделей.

Методи обробки недетерміністичних систем. Міри нечіткості. Методи прогнозування поведінки складної спрямованої системи.

Оцінка ступеня недетерміністичності даних, що породжуються для системи нейтральних та спрямованих. Приклади.

Оптимізація процесу прогнозування поведінки складної системи по складності та нечіткості. Приклади.

Проблеми цілого та частинних. Методи організації структурованої системи.

ЛІТЕРАТУРА

1. Статистические методы в биологии. – М.: ИЛ, 1962.

2. Социально-экономическая статистика: Учебник / , , и др.: Под ред. . – К.: Вища шк., 1991. – 398 с.

3. Оптимизация. Теория и алгоритм: Пер. с фр. – М.: Мир, 1973.

4. Качественная теория информации: Пер. с польск. – М.: Мир, 1974.

5. Введение в теорию систем. – М.: Мир, 1974.

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА

Предмет та методи дискретної математики. Елементи теорії множин та відношення. Дії над множинами. Властивості дій над множинами. Відношення. Основні види відношень. Метод математичної індукції. Формула включень та виключень.

Елементи комбінаторного аналізу. Правила суми та добутку. Комбінації з повтореннями та без повторень. Твірні функції (генератриси). Рекурентні послідовності та рівняння.

Теорія графів. Означення графу за Харарі, Зиковим та Бержем. Класифікація графів, їх частин та маршрутів. Ізоморфізм графів; інваріанти графів відносно ізоморфізму. Групи автоморфізмів графу. Дерева; задача про мінімальне остовне дерево. Зв’язність графів та покриття; задача про максимальне паросполучення. Планарність графів, алгоритм укладки графа на площині. Ейлерови графи; задача китайського листоноші. Гамільтонови графи; задача комівояжера.

Теорія кодування. Основні означення та проблеми. Кріптологія.. Однозначне декодування. Коди з мінімальною надлишковістю. Коди, що самокоректуються.

1. , Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 329 с.

2. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. – М.: Изд-во ин. лит. – 1963. – 289 с.

3. Яблонский в дискретную математику: учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1986. – 784 с.

4. Зыков теории графов. – М.: Наука, 1987. – 592 с.

5. , и др. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990. – 276 с.

6. Лапа основы кибернетики. – К.: Вища школа, 1971.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Випадкові події. Основні поняття теорії ймовірностей. Простір елементарних подій. Прості і складені випадкові події. Операції над поліями. Ймовірність на дискретному просторі елементарних подій. Класичне визначення ймовірності. Аксіоматика Колмогорова. Геометрична ймовірність. Статистична ймовірність.

Залежні та незалежні випадкові події. Незалежність. Умовна ймовірність та її властивості. Ймовірність появи випадкової величини принаймні один раз. Використання формул теорії ймовірності для оцінювання надійності роботи простих систем. Формула повної ймовірності та формула Байєса.

Повторювані незалежні експерименти. Схема випробувань Бернуллі. Найімовірніше число появи випадкової події. Ймовірність першого успіху. Поліноміальна схема випробувань. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа. Формула Пуасона для маловірогідних подій. Найпростіший потік подій.

Одновимірні випадкові величини. Дискретні та неперервні випадкові величини. Закони розподілу їх ймовірностей. Функція розподілу ймовірностей та її властивості. Щільність ймовірностей та її властивості.

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості. Математичне сподівання, його властивості. Мода та медіана випадкової величини. Дисперсія, її властивості та середнє квадратичне відхилення. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.

Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин. Система двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики. Коваріація. Коефіцієнт кореляції та його властивості. Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики. Функція розподілу системи двох випадкових величин та її властивості. Щільність ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин та її властивості. Умовні закони розподілу системи двох неперервних випадкових величин. Стохастична залежність. Система довільного числа випадкових величин, її функція розподілу, щільність ймовірностей та числові характеристики.

Функції випадкових аргументів. Функції одного випадкового аргументу. Числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу. Функції неперервного випадкового аргументу та їх числові характеристики. Функції двох неперервних аргументів та їх числові характеристики. Числові характеристики функції n випадкових аргументів.

Основні закони цілочислових випадкових величин. Імовірнісні твірні функції та їх властивості. Біноміальний закон розподілу ймовірностей. Пуассонівський закон розподілу ймовірностей. Геометричний закон розподілу ймовірностей. Рівномірний закон розподілу ймовірностей. Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей.

Основні закони неперервних випадкових величин. Нормальний закон. Двовимірний нормальний закон. Логарифмічний нормальний закон розподілу. Гамма-розподіл. Розподіл Ерланга k-го порядку. Експоненціальний закон розподілу. Бета-розподіл. Розподіл Вейбулла. Розподіл . Розподіл Стьюдента. Розподіл Фішера-Снедекора. Рівномірний закон розподілу.

Закон великих чисел. Граничні теореми теорії ймовірностей. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі. Центральна гранична теорема теорії ймовірностей.

Моделювання випадкових величин. Моделювання дискретної випадкової величини. Моделювання повної групи подій. Моделювання неперервної випадкової величини. Наближене моделювання нормальної випадкової величини. Оцінка надійності методом Монте-Карло. Розрахунок систем масового обслуговування з відмовами методом Монте-Карло.

Випадкові процеси. Кореляційна теорія випадкових процесів. Характеристики суми випадкових процесів. Характеристики похідної та інтеграла від випадкового процесу. Стаціонарні випадкові процеси. Спектральна щільність стаціонарного випадкового процесу. Перетворення стаціонарного випадкового процесу стаціонарної лінійної динамічної системи.

Основні поняття й елементи вибіркової теорії. Імовірнісно-статистична модель і задачі математичної статистики. Основні поняття і визначення вибіркового методу в статистиці. Варіаційний і інтервальний статистичні ряди. Емпірична функція розподілу. Графічне представлення статистичних рядів. Вибіркові характеристики.

Оцінювання невідомих параметрів розподілу. Поняття статистичної оцінки. Класифікація точкових оцінок (незсунуті, заможні, ефективні й оптимальні оцінки). Поняття функції правдоподібності, внеску вибірки. Достатні статистики. Оцінки максимальної правдоподібності (МП). Метод моментів. Точкові оцінки невідомих параметрів розподілу. Поняття довірчого інтервалу (Неймана і Пірсона). Довірча ймовірність, рівень значимості. Довірче оцінювання параметрів розподілу.

Перевірка статистичних гіпотез. Поняття статистичної гіпотези і статистичного критерію. Основні типи статистичних гіпотез. Критична область. Помилки першого і другого роду. Потужність критерію. Загальна схема перевірки статистичної гіпотези. Гіпотеза про вид розподілу. Критерії згоди Колмогорова і Пірсона. Гіпотеза однорідності. Критерій однорідності Смирнова. Критерій однорідності . Рангові критерії однорідності. Гіпотеза незалежності. Критерій незалежності . Міри зв’язку. Гіпотеза випадковості. Критерій, заснований на числі інверсій у вибірці. Критерій серій.

Перевірка параметричних статистичних гіпотез. Перевірка статистичних гіпотез про параметри нормального і біноміального розподілів. Перевірка гіпотез про рівність математичних чекань і дисперсій двох випадкових величин. Перевірка гіпотез про дисперсії декількох нормально розподілених випадкових величин за допомогою критеріїв Кохрена і Бартлетта.

Статистичний аналіз залежності. Основні поняття кореляційного аналізу. Точкове й інтервальне оцінювання парного коефіцієнта кореляції. Перевірка гіпотез про величину коефіцієнта кореляції. Модель лінійної регресії. Метод найменших квадратів оцінки невідомих коефіцієнтів регресії (МНК). МНК для рівняння лінійного і нелінійного по параметрах. МНК у матричному вигляді. Статистичний аналіз рівняння регресії: оцінка відтворюваності, оцінка значимості коефіцієнтів, оцінка адекватності моделі дослідним даним.

ЛІТЕРАТУРА

1. Колемаев вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

2. Толбатов статистика та задачі оптимізації в алгоритмах і програмах. – Київ, 2000.

3. , Овчаров вероятностей и ее инженерное приложение. – М.: Наука, 2002.

4. Розанов вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. – М.: Наука, 1985.

5. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. – М.:

6. , Макаров данных на компьютере. – М.: Финансы, 2003.

ПРОГРАМУВАННЯ (ІНФОРМАТИКА)

Введення в алгоритмiзацію i програмування на ЕОМ. Основнi поняття i практичнi навички роботи c ПЕОМ. Iнформацiя i iнформатика. Алгоритми i питання алгоритмiзацiї. Засоби запису алгоритмiв. Проведення в мови програмування. Алгоритмiчнi конструкцiї в мовах програмування. Органiзацiя запровадження/висновку на зовнiшнi пристрої ПЕОМ. Засоби тестування i налагодження програм.

Технологiя опрацювання програм на мовах програмування Фортран, С, Pascal. Введення в технологiю програмування. Одержання програми, що виконується на ЕОМ, засобом трансляцiї. Введення в алгоритмiчну мову програмування Фортран. Синтаксис i семантика операторiв мови Фортран. Оператори, що виконуються i невиконувані оператори мови. Оператори органiзацiї робочої програми. Програмування запровадження/висновку. Функцiї i підпрограми. Принципи реалiзацiї програм машинної графiки. Засоби налагодження програм. Введення в мову програмування С та Pascal.

Операцiйнi системи. Взаємодiя ЕОМ з користувачем. Введення в ОС i апаратні засоби ЕОМ. Основнi функцiї операцiйних систем. Засоби органiзацiї записiв на зовнiшнiх носiях. Iнтерфейс ОС – користувач. Приклад операцiйної систем МS DOS i Windows ПЕОМ. Математичне забезпечення ЕОМ. Пакети прикладних програм.

ЛІТЕРАТУРА

1. IBM PC для пользователя. – М.: Финансы и статистика, 1998.

2. Рыбаков персонального компьютера. – М.: Интермеханика, 1990.

3. , Волобуева пользователя персональных компьютеров. – Донецк, 1994. – 256 с.

4. Ван Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ. – М.: Мир, 1981. – 320 с.

5. Трофимова обработки и хранения информации. – М.: Высшая школа, 1989. – 191 с.

6. и др. Основы информатики и вычислительной техники: учебное пособие. – М.: УДН, 1991. –

7. и др. Информатика. Базовый курс. – СПб: Издательство Питер, 2000. – 640 с.

8. Фаронов Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Нолидж, 1999. – 616 с.

9. , , Патланжоглу информатики / Под ред. – К.: Феникс, 1998. – 368 с.

ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗ

Елементи теорії множин. Поняття множини. Операції над множинами. Закони подвійності. Відображення. Розбивки на класи. Потужність множин. Рахункові множини. Множини потужності континуум. Порівняння потужностей.

Метричні простори. Визначення метричних просторів. Простори . Класичні нерівності (Юнга, Гельдера, Мінковського). Простори . Безупинні відображення метричних просторів. Кулі, околиці, точки дотику, граничні точки, ізольовані точки в метричному просторі. Замикання множини в метричному просторі. Властивості операції замикання. Збіжність у метричних просторах. Щільні підмножини метричних просторів. Сепарабельність. Зовнішні, внутрішні, граничні точки множини в метричному просторі. Відкриті і замкнуті множини в метричному просторі, їхні властивості. Канторова множина. Визначення і приклади повних метричних просторів. Принцип вкладених куль. Множини першої і другої категорій у метричному просторі. Теорема Бера. Поняття поповнення метричного простору. Принцип стискаючих відображень. Узагальнення принципу стискаючих відображень і наслідок з нього. Застосування принципу стискаючих відображень до вирішення рівнянь . Застосування принципу стискаючих відображень до доказу теореми Пікара. Застосування принципу стискаючих відображень до вирішення інтегральних рівнянь.

Топологічні простори. Визначення і приклади топологічних просторів. Порівняння топологій. Топологічні підпростори. База топології. Ознака і критерій бази топології. Топологічні простори з другою аксіомою зчисленності. Приклади. Зв’язок між сепарабельністю топологічного простору і наявністю в ньому рахункової бази. Визначальні (фундаментальні) системи околиць. Топологічні простори з першою аксіомою счетности. Приклади. Зв’язок між виконуємістю в топологічному просторі аксіом счетности. Збіжність послідовностей у топологічних просторах. Безупинні відображення в топологічних просторах. Критерій безперервності. Гомеоморфізм. Аксіоми віддільності. Колмогоровські простори, простори Фреше, хаусдорфови, регулярні, цілком регулярні (тіхоновські), нормальні простори. Критерій Т1-простору. Одиничність межі в хаусдорфовому просторі. Зв’язок між регулярністю і хаусдорфовістю топологічних просторів. Нормальність метричних просторів. Завдання топології за допомогою околиць. Завдання топології за допомогою операції замикання. Різні способи завдання топології в просторі. Метризуемість. Теорема Урисона.

Компактність у топологічних і метричних просторах. Покриття, підпокриття множин у топологічних просторах. Поняття компактності. Лема Гейне-Бореля-Лебега. Центровані системи підмножин топологічного простору. Критерій компактності топологічного простору. Основні властивості компактних топологічних просторів. Зчисленно-компактні топологічні простори. Критерій рахункової компактності. Цілком обмежені множини. Компактність у метричних просторах і її зв’язок з цілком обмеженістю. Предкомпактні множини. Критерій предкомпактності в повному метричному просторі. Критерій компактності в . Компактність у .