Програма фахового випробування з математики (стр. 3 )

Теорія міри, вимірних функцій і інтеграла Лебега. Необхідність розширення поняття інтеграла Римана. Визначення і приклади півкільця, кільця, алгебри, s-кільця і s-алгебри підмножин. Структура мінімального кільця, що містить дане півкільце. Визначення міри, зчисленно-адитивної міри. Приклади. Властивості адитивної невід’ємної функції множини. Продовження зчисленно-адитивної міри з півкільця на породжене їм мінімальне кільце. Безперервність зчисленно-адитивної міри. Рахункова монотонність зчисленно-адитивної міри. Верхня(зовнішня) і нижня(внутрішня) міри. Повнота міри. Лебегово продовження міри, визначеної на півкільці з одиницею, його повнота. Основна теорема теорії міри. s-кінцева міра. Приклад s-адитивної, але не s-кінцевої міри. Класи вимірних множин в . Борелевські множини. Приклад невимірної множини. Визначення і властивості вимірних функцій. Три типи збіжності послідовностей вимірних функцій і зв’язок між ними. Прості функції. Лема про апроксимацію простими функціями. Визначення інтеграла Лебега й інтегруючих по Лебегу функцій. Основні властивості інтеграла Лебега. Теорема Чебишева і наслідок з неї. Властивість абсолютної безперервності інтеграла Лебега. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега: теорема про монотонну збіжність і наслідку з її, теорема Фату, теорема Лебега про обмежену (мажорировану) збіжності. Зв’язок інтеграла Лебега з інтегралом Римана. Прямі добутки систем множин і мір. Вираз плоскої міри через інтеграл лінійної міри перетинів і геометричне визначення інтеграла Лебега. Теорема Фубіні. Інтеграл Лебега як функція множини. Заряди, їхні основні типи. Розкладання Хана і розкладання Жордана. Варіації зарядів і їхні властивості. Теорема Радона-Никодима. Визначення й основні властивості функцій з обмеженою зміною. Міри Стилтьеса і Лебега-Стилтьеса на прямій. Інтеграл Лебега-Стилтьеса.

Нормовані простори. Визначення і приклади лінійних просторів. Лінійна залежність. Базис Гамеля. Лінійні різноманіття. Ізоморфізм лінійних просторів. Фактор-простори. Корозмірність лінійного різноманіття в лінійному просторі. Прямі суми. Поняття функціонала, лінійного функціонала. Приклади. Ядро функціонала. Гіперплощина, рівнобіжна лінійному різноманіттю. Геометричний зміст лінійного функціонала. Опуклі множини й опуклі тіла в лінійних просторах: визначення, приклади, властивості. Структура n-мірного симплекса. Однорідно-опуклі функціонали. Теорема Хана-Банаха. Визначення і приклади нормованих просторів. Простір і його банаховість. Підпростори нормованого простору. Поняття повноти системи елементів нормованого простору. Банаховість фактор-простору банахова простору по будь-якому його підпросторі. Визначення і приклади евклідових просторів. Нерівність Коши-Буняковського в евклідовому просторі. Безперервність скалярного добутку. Ортогональні й ортонормовані системи в евклідових просторах. Потужність довільної ортогональної системи в сепарабельному евклідовому просторі. Приклад несепарабельного евклідова простору. Теорема про ортогоналізації і наслідок з неї. Процес ортогоналізації Грама-Шмідта. Ряди Фур’є по ортонормованих системах. Нерівність Бесселя. Замкнуті ортонормовані системи. Зв’язок між повнотою і замкнутістю ортонормованих систем у сепарабельному евклідовому просторі. Повні евклідові простори. Теорема Рисса-Фишера. Критерій повноти ортонормованої системи в повному сепарабельному евклідовому просторі. Характеристична властивість евклідових просторів у класі нормованих просторів. Приклади нормованих просторів, у яких норму не можна задати за допомогою якого б те ні було скалярного добутку. Визначення гільбертова простору. Ізометричність сепарабельних гільбертових просторів. Розкладання гільбертова простору в ортогональну суму підпросторів. Поняття про пряму суму гільбертових просторів. Критерій усюди щільності лінійного різноманіття в гільбертовому просторі.

Елементи теорії операторів. Визначення і приклади операторів. Лінійність, безперервність оператора. Ядро лінійного оператора. Безперервність і обмеженість лінійних операторів, зв’язок між ними. Визначення норми оператора. Обчислювальні формули для норми оператора. Визначення простору L Банаховість L у випадку, коли Е1 – нормоване, а Е2 – банахово, простори. Рівномірна і поточечна збіжність у просторі L. Принцип рівномірної обмеженості (теорема Банаха-Штейнгауза). Повнота в змісті поточечної збіжності простору L у випадку, коли Е1, Е2 – банахови простори. Критерій поточечної збіжності послідовності в L у випадку, коли Е1 – банахово, а Е2 – нормоване, простори. Добуток операторів. Нормована алгебра операторів. Алгебраїчний зворотний оператор і його лінійність. Оборотність і безупинна оборотність лінійних операторів. Критерій безупинної оборотності лінійного оператора, що діє з нормованого простору в нормоване. Теорема Банаха про зворотного оператора. Продовження оператора по безперервності. Теорема Хана-Банаха в нормованому просторі і її геометричний зміст. Наслідки з теореми Хана-Банаха. Сполучений простір, його повнота. Базис Шаудера. Простір, сполучений до Простори, сполучені к і к Лінійні безупинні функціонали в гільбертовому просторі. Другий сполучений простір. Рефлексивні простори. Критерій рефлексивності. Слабка збіжність у нормованому просторі, її зв’язок із сильною збіжністю. Одиничність слабкої межі. Необхідна умова і критерій слабкої збіжності в нормованому просторі. Слабка збіжність у Слабка і *-слабка збіжності в просторах L(Х, Y) і Х*, де Х, Y – нормовані простори. Сполучений оператор і його властивості. Сполучений оператор у гільбертовому просторі. Самосполучені оператори і їхні властивості. Поняття резольвенти і спектра лінійного обмеженого оператора. Властивості резольвенти. Замкнутість спектра лінійного обмеженого оператора. Спектральний радіус оператора. Класифікація точок спектра лінійного обмеженого оператора.

ЛІТЕРАТУРА

1. , Фомин теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. –

2. Садовничий операторов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 368 с.

3. и др. Методы решения задач по функциональному анализу: Учеб. пособие / , , . – К.: Выща шк., 1990. – 479 с.

4. и др. Функциональный анализ. Курс лекций: Учеб. Пособие / , Г. Ф. Ус, . – К.: Выща шк., 1990. – 600 с.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Загальні поняття і визначення диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Закони складання диференціальних рівнянь.

Геометрична ілюстрація диференціальних рівнянь першого порядку розв’язаних щодо похiдної.

Диференціальні рівняння із розділеними і що поділяються змінними. Приклади.

Рівняння першого порядку, зведені до рівнянь із змінними що поділяються.

Лiнійне диференціальні рівняння першого порядку. Загальне рішення. Методи iнтегрування. Рівняння Бернуллi.

Диференціальні рівняння першого порядку в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Особливі точки, їх класифікація. Геометрична ілюстрація.

Диференціальні рівняння першого порядку не розв’язанні щодо похідної. Рівняння Лагранжа, Клеро, Рікаттi.

Теореми про існування і одиничність рішення диференціального рівняння першого порядку.

Принцип стислих відображень.

Лiнійні диференціальні рівняння другого порядку. Загальне і частинне рішення однорідного рівняння другого порядку. Частинні рішення неоднорідного рівняння. Метод варіацій довільних сталих.

Знаходження частинних рішень неоднорідного диференціального рівняння по виду правої частини. Задача Коші.

Диференціальні рівняння n-го порядку. Нагода зниження порядку диференціального рівняння. ЛДР з постійними коефіцієнтами.

Рівняння Ейлера. Лiнійні неоднорідні диференціальні рівняння. Засоби знаходження загального рішення однорідного рівняння і частинного рішення неоднорідного диференціального рівняння.

Інтегрування лiнійних диференціальних рівнянь при допомозі рядів. Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.

Інтегрування диференціальних рівнянь при допомозі рядів Фур’є.

Метод малого параметру і його застосування при рішенні квазiлiнійних диференціальних рівнянь.

Системи диференціальних рівнянь. Загальні поняття iнтегрування ЛДР з постійними коефіцієнтами шляхом приведення до одного рівняння вищого порядку. Матричне подання із ЛДР.

Рішення систем ЛДР методом Ейлера.

Теорія стійкості. Визначення стійкості рішень по Ляпунову. Найпростіші типи точок покою.

Признаки від’ємності дійсних частин всіх коренів багаточлена.

Випадки малого коефіцієнту при похідній вищого порядку. Приклади.

Операційне числення. Основні поняття. Види інтегральних перетворень. Перетворення Лапласа.

Одержання зображень для всіх основних функцій. Таблиця. Оригінал – Зображення. Зображення похідних.

Зображення спеціальних функцій східчастої, пiлообразної, прямокутного імпульсу.

Розподіл зображень правильних раціональних дробів на найпростіші дробі. Метод Ващенка-Захарченко-Хевiсайда. Теореми розподілу.

Теорема запізнення, зміщення множення.

Рішення диференціальних рівнянь операційним методом.

Інтегрування диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами. Рівняння Мат’є.

Інтегрування лiнійних диференціальних рівнянь з перемінними полiномними коефіцієнтами.

Дельта-функція Дiрака. Похідні дельта-функції. Розподіл дельта-функції в ряд Фур’є. Зображення дельта-функції.

Випадкові процеси. Гармонійні, полiгармонійні, перехідні процеси. Моментні функції.

Стаціонарні процеси. Розподіл Гауса. Щільність розподілу. Спектральна щільність.

Стохастичні диференціальні рівняння. Засіб диференціальних рівнянь. Замикання систем.

Марковськi процеси. Рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова.

Визначення щільностi розподілу ймовірності для диференціальних рівнянь другого порядку.

ЛІТЕРАТУРА

1. Эльсгольц уравнения. – М., 1957.

2. Степанов дифференциальных уравнений. – М., 1953.

3. Пугачев случайных функций. – М., 1962.

4. Математические основы теории автоматического регулирования // Под редакцией академика . – М., 1971.

5. Мартыненко исчисление. – К.: КГУ, 1965.

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ

Чисельні методи як важливий розділ сучасної математики. Роль чисельних методів у виникненні обчислювальної математики.

Чисельні методи лінійної алгебри. Метод Гауса. Зв’язок методу Гауса з розвиненням матриці на множники. Теорема про LU-розвинення. Метод Гауса з вибором головного елемента. Обчислення визначників та оберненої матриці. Метод Холецького. Метод квадратного кореня. Метод прогонки. Норми та обумовленість матриць. Метод простих ітерацій. Метод Зейделя. Збіжність і швидкість збіжності ітераційних методів. Метод релаксації. Рішення нелінійних рівнянь. Метод простої ітерації. Метод січних. Метод Ньютона. Метод градієнтного спуску. Збіжність методу простих ітерацій і методу Ньютона. Чисельні методи рішення систем нелінійних рівнянь.

Чисельні методи вирішення проблеми власних значень. Постановка задачі. Методи визначення власних значень і власних векторів матриць. Метод ітерацій. Метод Якобі.

Інтерполяція і наближення функцій. Постановка задачі інтерполяції. Алгебраїчна і лінійна Інтерполяція. Числення кінцевих різниць. Інтерполяційний поліном у формулі Лагранжа і Ньютона і зв’язок між ними. Помилки інтерполяції. Середньоквадратичне і рівнополярне наближення. Метод найменших квадратів. Сплайни. Алгоритм побудови кубічних сплайнів.

Чисельне інтегрування. Постановка задачі. Формула прямокутників, трапецій, Симпсона. Квадратурні формули інтерполяційного типу. Квадратурні формули Гауса. Апостеорна оцінка похибки методом Рунге. Метод підвищеної точності Річардсона. Чисельне диференціювання. Постановка задачі. Найпростіша формула чисельного диференціювання. Чисельне диференціювання для равностоячих точок, на основі інтерполяційної формули Лагранжа і Ньютона.

Чисельні методи розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь. Ейлера, “предикатор-коректор”, модифікований метод Ейлера, метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності, Адамса.

Методи розв’язання крайової задачі для лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку. Методи мінімізації нев’язки та метод Гальоркіна. Різницевий метод. Основні поняття теорії різницевих схем.

Різницеві схеми для рівняння з частинними похідними. Лінійні рівняння з частковими похідними першого порядку. Змішана задача для рівняння теплопровідності. Хвильове рівняння. Рівняння теплопровідності із двома просторовими змінними. Задача Діріхле для рівняння Пуассона.

ЛІТЕРАТУРА

1. Волков методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

2. , , Кобельков методы. – М.: Наука, 1987. – 600 с.

3. , Гулин методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

4. Турчак численных методов. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

5. , , Шувалова методы анализа. – М., 1962. – 367 с.

6. Калиткин методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЕОМ

Базові алгоритми і структури даних у програмному забезпеченні ЕОМ.

Алгоритми: Поняття алгоритму. Форми представлення алгоритмів. Приклад алгоритму – алгоритм Евкліда

Особливості алгоритмів. Властивості алгоритмів: фінітність, визначеність, уведення, вивід, ефективність. Способи формального визначення алгоритмів.

Поняття про аналіз алгоритмів і способах аналізу алгоритмів. Аналіз алгоритму перебування максимуму.

Введення в інформаційні структури: Приклад інформаційної структури, що описує колоду гральних карт для розкладу пасьянсу. Операції над машинним представленням колоди гральних карт. Алгоритми додавання карти в колоду і підрахунку кількості карт у колоді.

Поняття про лінійні списки. Визначення і властивості лінійного списку. Операції над лінійними списками. Різновиди лінійних списків: стеки, черги і деки.

Організація лінійних списків при послідовному розподілі пам’яті. Операції над списками при їхній реалізації на послідовному розподілі пам’яті: базові операції, обробка станів недостачі і переповнення. Стратегія зустрічного росту двох лінійних списків на послідовному розподілі.

Методи й алгоритми перепакування пам’яті. Необхідність виконання перепакування пам’яті на послідовному розподілі. Перепакування пам’яті для випадку одночасного збереження n стеков. Алгоритм перерозподілу послідовних таблиць. Алгоритм переміщення послідовних таблиць.

Організація лінійних списків при зв’язному розподілі пам’яті. Структури для представлення зв’язкових даних. Операції над зв’язними списками: базові операції, обробка станів недостачі і переповнення. Стік вільних елементів і пул вільних елементів. Зборка сміття.

Операції над стеками при зв’язному розподілі пам’яті. Операції над чергами при зв’язному розподілі пам’яті. Специфіка обробки ситуацій переповнення і недостачі.

Приклади застосування лінійних структур. Математична постановка задачі топологічного сортування. Структури даних для алгоритмізації вирішення задачі топологічного сортування. Алгоритм топологічного сортування.

Поняття про циклічні списки. Відмінності циклічних списків від лінійних списків. Операції над циклічними списками. Приклади застосування циклічних списків. Алгоритм додавання багаточленів. Алгоритм множення багаточленів.

Поняття про двозв’язні списки. Відмінності двозв’язні списків від однозв’язних списків. Структури даних для представлення двозв’язних списків. Операції над двозв’язними списками. Приклади застосування двозв’язних списків. Задача моделювання руху ліфта.

Методи й алгоритми сортування в програмному забезпеченні ЕОМ.

Введення в предмет сортування. Застосування сортування. Формальна постановка задачі сортування. Базова термінологія. Внутрішнє і зовнішнє сортування. Приклад ефективного вирішення задачі упорядкування інформації про виборчі дільниці за допомогою сортування.

Введення в методи внутрішнього сортування. Сімейства методів внутрішнього сортування: сортування вставками, обмінне сортування, сортування за допомогою вибору, сортування злиттям, що розподіляє сортування. Сортування таблиці адрес. Сортування списку.

Сортування підрахунком і підрахунком, що розподіляє. Алгоритм порівняння і підрахунку. Аналіз обчислювальної складності алгоритму. Алгоритм підрахунку, що розподіляє. Обмеження алгоритму підрахунку, що розподіляє.

Сімейство методів сортування за допомогою вставок. Алгоритм сортування простими вставками. Аналіз обчислювальної складності. Бінарні і двохпутеві вставки. Метод Шелла. Алгоритм сортування з убутним кроком.

Сімейство методів сортування за допомогою вставок. Вставки в список. Сортування з обчисленням адреси.

Сімейство методів обмінного сортування. Алгоритм пузирькове сортування. Обчислювальна складність алгоритму сортування методом пухирця. Удосконалення методу пухирця – шейкер сортування.

Сімейство методів обмінного сортування. Рівнобіжне сортування Бетчера. Алгоритм обмінної сортування зі злиттям. Геометрична інтерпретація методу Бетчера.

Сімейство методів обмінного сортування. Швидке сортування Хоара. Алгоритм обмінного сортування з поділом. Аналіз обчислювальної складності методу швидкого сортування.

Сімейство методів обмінного сортування. Обмінне порозрядне сортування. Алгоритм обмінного порозрядного сортування. Аналіз обчислювальної складності методу обмінного порозрядного сортування.

Сімейство методів сортування на базі багаторазового вибору. Сортування за допомогою простого вибору. Аналіз обчислювальної складності методу сортування за допомогою простого вибору. Удосконалення простого вибору. Квадратичний вибір. Вибір ступеня n.

Сімейство методів сортування на базі вибору. Сортування за допомогою вибору з дерева. Модель турніру з вибуванням. Модифікація Айверсона.

Сімейство методів сортування на базі вибору. Пірамідальне сортування. Визначення піраміди. Алгоритм побудови піраміди. Алгоритм пірамідального сортування. Аналіз обчислювальної складності пірамідального сортування.

Моделювання пріоритетних черг за допомогою пірамідального сортування. Представлення пріоритетних черг у виді зв’язних бінарних дерев. Порівняння методів роботи з пріоритетними чергами.

Сімейство методів сортування злиттям. Двохпутєве злиття. Аналіз ефективності алгоритму двохпутєве злиття. Природне двохпутєве злиття.

Сімейство методів сортування злиттям. Алгоритм природного двохпутєвого злиття. Аналіз ефективності алгоритму природного двохпутєвого злиття.

Сімейство методів сортування злиттям. Алгоритм простого двохпутєвого злиття. Порівняння ефективності алгоритмів природного і простого двохпутєвого злиття. Алгоритм сортування за допомогою злиття списків.

Сімейство методів сортування, що розподіляє. Сортування колоди гральних карт. Метод табулювання для обчислення сум добутків чисел. Схема методу порозрядного сортування. Приклад порозрядного сортування.

Сімейство методів сортування, що розподіляє. Алгоритм порозрядного сортування на списках. Алгоритм зчеплення черг. Аналіз обчислювальної складності алгоритму порозрядного сортування. СЦ і МЦ порозрядне сортування. Удосконалення Макларена.

Введення в методи зовнішнього сортування. Відмінності зовнішнього сортування від внутрішнього сортування. Зовнішнє сортування злиттям на магнітних стрічках. Двохпутєве, трьохпутєве і n-путєве злиття. Зовнішнє сортування поділом – порозрядне сортування.

Методи зовнішнього сортування. Многопутєве злиття і вибір із заміщенням. Одержання початкових відрізків для многопутєвого злиття за допомогою вибору з заміщенням.

ЛІТЕРАТУРА

1. Искусство программирования. Т. 1. Основные алгоритмы. 3-е изд.: Пер. с англ.: Уч. пос. – М.: Вильямс, 2000. – 720 с.

2. Ермолаев обеспечение ЭВМ. Часть 1. Базовые структуры данных и алгоритмы. Электронный конспект лекций. – Запорожье: ЗГУ, 2002. http://www. zsu. /lab/MathDep/ApMath/SWPCI/kurs. html.

3. , Информатика. Задачи и решения. – М.: Мир, 1978.

БАЗИ ДАНИХ ТА ІНФОРМАЦІЙНІ СИСТЕМИ

Поняття Бази Даних. Поняття системи баз даних, інформаційної системи. Поняття про систему управління базами даних (СУБД). Типи інформаційних систем.

Трьохрівнева архітектура систем баз даних ANSI/SPARC. Етапи проектування баз даних. Концептуальний, логічний, фізичний етапи проектування.

Етап концептуального проектування. Основні поняття концептуального проектування: об’єкти, властивості, зв’язки. Типи об’єктів. Типи властивостей. Типи зв’язків.

Графічне подання предметної області задачі. Семантичне моделювання даних. Діаграми Чена (модель “Сутність-зв’язок”). Інструменти візуалізації схеми бази даних.

Розробка концептуальної моделі даних на навчальному прикладі.

Етап логічного проектування. Моделі даних: мережева, ієрархічна, реляційна, об’єктно-орієнтовна. Їхня відмінність, переваги.

Етап фізичного проектування. Проектування реляційних баз даних.

Реляційна модель даних. Основні поняття реляційної моделі даних: n-арне відношення, атрибути, схеми відношень, кортежі, домени, ключі.

Недоліки реляційної моделі даних: надмірність даних, аномалії поновлення. Нормалізація схеми бази даних. Функціональні залежності між даними. Часткова і транзитивна функціональні залежності.

1-3 нормальні форми бази даних. Нормалізація схеми бази даних через декомпозицію в оптимальну схему. Синтез бази даних на основі деякого вхідного набору функціональних залежностей.

Маніпулювання даними. Теоретико-множинні операції – об`єднання, перетинання, різність, декартів продукт, доповнення.

Спеціальні реляційні операції: селекція, проекція, сполучення, ділення.

Узагальнення спеціальних реляційних операцій при доданні операцій порівняння на доменах: узагальнена проекція, узагальнена селекція, еквісполучення, тета-сполучення. Реляційна алгебра. Інші операції над відношеннями.

Нормальна форма Бойса-Кодда. Багатозначні залежності. 4-нормальна форма. Залежності сполучення як узагальнення функціональних і багатозначних залежності. 5-нормальна форма.

Поняття запиту. Мова запитів. Засіб з’ясування виразної сили мови запитів. Мови запитів до реляційних даних: SQL (оснований на численні кортежів), QBE (оснований на численні доменів). Оптимізація запитів.

Захист даних. Загальні відомості про безпеку даних в РСКБД. (Відбудова даних, керування транзакціями, цілісність даних.)

Основні напрямки розвитку в проектуванні баз даних.

ЛІТЕРАТУРА

1. Введение в системы баз данных. 6-е изд., перераб. и доп. – К.: Диалектика, 1998. – 784 с.

2. Ульман Дж. Основы систем баз данных. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 334 с.

3. Ульман Дж., Видом Дж. Введение в системы баз данных. – М.: Лори, 1999.

4. Гарсия- Ульман Дж., Видом Дж. Системы баз данных (полный курс). – М.: Вильямс, 2003.

5. Руководство по реляционной СУБД DB2. – М.: Финансы и статистика, 1988. – 320 с.

6. Теория реляционных баз данных. – М.: Финансы и статистика, 1987.

7. Введение в SQL. – М.: Лори, 1996. – 379 с.

СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ

Математичне моделювання і системний аналіз керованих процесів.

Предмет, історія і перспективи розвитку системного аналізу. Основні області застосування системного аналізу. Системи та закономірності їх функціонування і розвитку. Визначення системи. Визначення, що характеризують побудову та функціонування системи. Класифікація систем.

Основні визначення системного аналізу. Визначення задачі, проблеми, ситуації, проблемні ситуації, середовище, об’єкт, дослідження, індивід, невизначеність, структури, зв’язок, ціль та розвиток системи, декомпозиція системи, стратифікація, рівні складності прийняття рішень, ієрархічні системи.

Класифікація методів моделювання складних систем. Визначення складної системи, функціональної системи. Формальні та неформальні методи системного аналізу. Метод експертних оцінок, метод “дерева цілей”, аналітичні, статистичні методи, графічні методи, теоретико-множені.

Математичне моделювання і системний аналіз систем керування. Етапи керування складними системами.

Формулювання цілей керування. Парадокс цілі, модель суб’єкту, простір ситуації та цілей.

Визначення об’єкту керування, аналіз проблеми, метод експертних оцінок, керованість об’єктом.

Структурний синтез моделі об’єкту. Визначення входів та виходів об’єкту, експертне ранжування входів та виходів, декомпозиція моделі, структура моделі, імітаційні моделі.

Ідентифікація параметрів моделі, постановка задачі ідентифікації, ідентифікація статистичних та динамічних об’єктів.

Планування експериментів. Основні визначення, критерії планування, D-оптимальне планування, послідовне планування експериментів.

Синтез керування (прийняття рішення). Постановка задачі. Класифікація задач математичного програмування.

Реалізація керування. Постановка задачі урахування впливу середовища та активності об’єкту.

Корекція системи керування. Корекція параметрів моделі, структури моделей, об’єкту керування, цілей керування.

Методи оптимізації. Постановка задачі. Алгоритми пошуку. Багатокритеріальна оптимізація.

Математичні моделі конфліктно-керованих процесів і систем.

Особливості і математичних моделей конфліктно-керованих процесів і ієрархічно-керованих систем. Моделі конфліктно-керованих процесів у техніці. Математичні моделі ієрархічно-керованих процесів та систем. Кібернетичні системи. Особливості ієрархічно-керованих систем. Моделі ієрархічно-керованих систем. Причини введення ієрархії. Системи вєєрного та ромбовидного типів. Теорема Гермейера-Вателя. Приклади ієрархічних систем. О раціональності та ефективності децентралізованих структур. Динамічні задачі теорії прийняття рішень. Системи рефлективного та нерефлективного типів. Моделювання ризику в процесах керування при неповних даних. Використання математичних моделей ієрархічно-керованих систем для підвищення ефективності керування реальними процесами в умовах ризику і неповних даних. Приклади. Проблема планування та ієрархія моделей. Імітація та машинний експеримент. Імітаційна система. Приклади побудови математичних моделей для складних процесів (моделювання економічних та еколого-економічних процесів, фінансових процесів).

ЛІТЕРАТУРА

1. , Тарасенко анализ. – 1990.

2. , Конторов системологии. – 1976.

3. Кемени Дж, Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. – 1972.

4. Заде нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. – 1974.

5. Налимов экспериментов. – 1978.

6. Системное управление организацией. – 1972.

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Предмет і задачі теорії рівнянь математичної фізики. Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних (ДРЧП) другого порядку від двох незалежних змінних.

Постановка задач математичної фізики.