Програма фахового випробування з математики (стр. 1 )

ЗАТВЕРДЖЕНО

Приймальною комісією

Протокол № _____

«___» ___________ 2014 р.

Заступник голови Приймальної комісії

_____________ О. Г. Бондар

ПРОГРАМА

ФАХОВОГО ВИПРОБУВАННЯ З МАТЕМАТИКИ

Освітньо-кваліфікаційний рівень: магістр

Спеціальність: 8. «Інформатика»

Запоріжжя – 2014

І. Пояснювальна записка

Мета фахового випробування для вступу на здобуття освітньо-кваліфікаційного рівня «магістр»: з’ясувати рівень теоретичних знань та практичних навичок вступників, яких вони набули під час навчання на освітньо-кваліфікаційному рівні «бакалавр», напряму підготовки 6.040302 «Інформатика» з метою формування рейтингового списку та конкурсного відбору абітурієнтів на навчання за освітньо-кваліфікаційним рівнем «магістр» спеціальності 8. «Інформатика» в межах ліцензованого обсягу спеціальності.

Форма фахового випробування.

Фахове випробування проводиться у два етапи:

– письмовий – абітурієнти дають письмову відповідь на питання екзаменаційного білету у письмовій формі. Тривалість письмового етапу –
60 хвилин.

– усний – співбесіда з абітурієнтами з питань екзаменаційного білету.

Структура білету

Кожний білет складається із двох теоеретичних питань та одного практичного завдання(задачі).

Приклад екзаменаційного білету

Екзаменаційний білет № 1. Чисельне інтегрування. Формула трапецій. 2. Пряма на площині. Рівняння прямої в прямокутній декартовій системі координат. 3. Розробити блок-схему та програму на мові високого рівня: Переписати із заданого одновимірного масиву А всі додатні елементи в масив В.

Екзаменаційний білет № 1. Ранг матриці, способи його визначення. Теорема Кронекера-Капеллі. 2. Розв’язок задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь методом Ейлера. 3. Визначити тип та розв’язати диференціальне рівняння: .

Перелік дисциплін, що виносяться на фахове вступне випробування з математики

1. Математичний аналiз

2. Алгебра та геометрія

3. Дискpетна математика

4. Теоpiя ймовipностей та математична статистика

5. Пpогpамування (iнфоpматика)

6. Функцiональний аналiз

7. Дифеpенцiальнi piвняння

8. Методи оптимiзацiї

9. Чисельнi методи

10. Програмне забезпечення ЕОМ. Структури даних і алгоритми

11. Бази даних та iнфоpмацiйнi системи

12. Математичне моделювання

13. Системний аналiз

14. Системне програмування

15. Рiвняння математичної фiзики

16. Теорiя керування

17. Архiтектура ЕОМ

18. Комп`ютерні мережі

Вимоги до відповіді абітурієнта

Під час співбесіди абітурієнт повинен показати:

а) чітке знання означень, математичних понять, термінів, формулювань правил, ознак, теорем, передбачених програмою, вміння доводити їх;

б) вміння точно i стисло висловити математичну думку в усній i письмовій формі, використовувати вiдповiдну символіку;

в) наявність математичних вмінь і навичок, передбачених державними стандартами, вміння застосовувати математичні поняття, методи і факти при розв’язування практичних задач і вправ.

г) вміння створювати, аналізувати та досліджувати найпростіші математичні моделі

д) вміння розв’язувати математичні та прикладні задачі, в межах програми випробування.

ІІ. Критерії оцінювання

Кожний білет складається із двох теоеретичних питань та одного практичного завдання(задачі). Кожне із завдань білету оцінюється у 100 балів

Питання	Кількість балів	Вимоги до відповіді
Теоретичні	90 – 100	-повна, докладна відповідь
60 –89	-у відповіді допущені незначні помилки і неточності
35 – 59	-базове знання питання, знання основних положень
1 – 34	-відсутність знань основних положень
Практичні	90 – 100	-правильне виконання завдання, повна і докладна відповідь на контрольні питання
60 –89	-виконання завдання з несуттевими помилками, неточності у відповідях на контрольні питання
35 – 59	-виконання завдання з суттєвими помилками, помилки при відповіді на контрольні питання
1 – 34	-не виконання завдання, виконання завдання з грубими помилками та неуміння відповісти на контрольні питання

За підсумком співбесіди вступнику виставляється підсумкова оцінка, яка обчислюється за формулою (тут оцінки за кожне завдання білету).

Шкала оцінювання:

90 – 100 балів – «відмінно»;

60 – 89 балів – «добре»;

35 – 59 балів – «задовільно»;

1 – 34 балів – «незадовільно».

Рівні навчальних досягнень	Критерії оцінювання навчальних досягнень
1.Початковий (34-1 балів)	Вступник не володіє основними знаннями екзаменаційних дисциплін, не знає фактичного матеріалу.
Вступник виявляє дуже слабке володіння основними знаннями екзаменаційних дисциплін, не знає фактичного матеріалу. Не володіє поняттєво-термінологічним апаратом основних професійно-орієнтованих дисциплін
Вступник виявляє слабке володіння основними знаннями з екзаменаційних дисциплін, не володіє поняттєво-термінологічним апаратом основних професійно-орієнтованих дисциплін. Зміст дисципліни не засвоєний.
2. Середній (35-59 балів)	Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, слабко орієнтується в особливостях класифікації, термінології. Має нестійки знання та практичні навички роботи з задачами, теоремами, моделями.
Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, слабко орієнтується в особливостях класифікації, термінології. Має слабкі знання та практичні навички роботи із задачами практичного спрямування. Відповідь на запитання недостатньо обґрунтована.
Вступник виявляє недостатні знання з теоретичного та практичного матеріалу, допускає неточності у виконанні практичних завдань, доведенні теорем. Має посередні професійні навички щодо розв’язання задач практичного змісту. Відповідь неповна. Відсутній, або слабкий логічний зв'язок між деякими положеннями.
3. Достатній (60-89 балів)	Вступник володіє практичними навичками, але допускає неточності в теоретичних положеннях та виконанні практичних завдань. Має професійні дані для виконання практичних завдань, теоретичних обґрунтувань, побудови математичних моделей. Застосовує раціональні прийоми.
Вступник володіє теоретичними та практичними навичками складання математичних моделей, але допускає неточності в теоретичних знаннях. Виявляє методичність, застосовує раціональні прийоми при реалізації поставлених завдань.
Вступник добре володіє практичними навичками, але допускає неточності в теоретичних знаннях. Відповідь повна, правильна, логічне обґрунтування непослідовне.
4. Високий (90-100 балів)	Вступник володіє основними теоретичними знаннями та практичними навичками розв’язання математичних задач, має достатні професійні дані для математичного моделювання реальних процесів. Виявляє методичність, достатньо вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем.
	Вступник володіє основними теоретичними знаннями та практичними, має достатні професійні дані для розв’язання поставлених проблем. Виявляє методичну досконалість, вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем..
	Вступник блискуче володіє теоретичними знаннями та практичними навичками розв’язання математичних задач, має достатні професійні дані для математичного моделювання реальних процесів. Виявляє методичну досконалість, вміло застосовує раціональні прийоми при розв’язанні задач, доведенні теорем. Відповідь повна, логічно обґрунтована, правильно використані наукові терміни.

III. Структура програми

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Елементи теорії множин. Теорія дійсних чисел. Поняття множини. Означення теоретико-множинних операцій. Принцип математичної індукції. Елементи комбінаторики. Зчисленні множини та їх властивості. Теорема про існування вищих потужностей. Властивості раціональних чисел. Нескінченні десяткові дроби та їх упорядкованість. Числові множини, обмежені зверху, знизу. Теорема про існування точних граней. Наближення дійсних чисел раціональними.

Теорія границь. Поняття функції та способи її завдання. Послідовності та їх види. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, зв’язок між ними. Властивості границі послідовності. Монотонні послідовності. Число Ейлера. Принцип стягувальних сегментів. Граничні точки множини та послідовності. Підпослідовності. Верхня та нижня границі. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Критерій Коші збіжності послідовності. Границя функції по Гейне та по Коші. Односторонні границі. Критерій Коші існування границі функції. Арифметичні операції над функціями, які мають границю.

Неперервні функції. Неперервність по Гейне та по Коші. Арифметичні операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Монотонні функції. Критерій існування оберненої функції. Дві істотні границі та наслідки з них. Класифікація точок розриву функції. Локальні властивості неперервних функцій. Глобальні властивості неперервних функцій. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора.

Диференціальне числення. Означення похідної. Односторонні похідні. Диференційованість функцій. Диференціал. Геометричний зміст похідної та диференціалу. Дотична. Нормаль. Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціалу. Арифметичні операції з диференційованими функціями. Табличні похідні та диференціали. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.

Основні теореми про диференційовані функції. Монотонність функції в точці. Локальний екстремум. Теореми Ролля, Лагранжа. Застосування формули скінченних приростів. Теореми Коші, Дарбу. Правила Лопіталя. Формула Тейлора. Оцінки залишкового члена формули Маклорена.

Дослідження функцій та побудова графіків. Стаціонарні точки. Необхідні та достатні умови екстремуму. Опуклість графіку функції. Точки перегину. Асимптоти графіку функції. Глобальний та крайовий екстремуми.

Первісна та неозначений інтеграл. Означення та властивості первісної функції. Таблиця неозначених інтегралів. Методи інтегрування: заміна змінної, інтегрування частинами. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій.

Означений інтеграл Рімана. Означення інтеграла. Необхідна умова інтегрованості. Верхні та нижні суми Дарбу, їх властивості. Критерій інтегрованості функцій. Класи інтегрованих функцій. Основні властивості означеного інтеграла. Інтеграл Рімана зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца. Теореми про середнє значення. Методи обчислення означених інтегралів.

Застосування означеного інтегралу. Спрямляємі криві. Обчислення довжини дуги. Квадровані фігури на площині. Критерій квадрованості. Площа плоскої фігури. Об’єм тіл обертання. Площа поверхні тіл обертання.

Невласні інтеграли. Невласні інтеграли 1 роду. Критерій Коші їх збіжності. Невласні інтеграли 2 роду. Критерій Коші їх збіжності. Достатні ознаки збіжності інтегралів та методи їх обчислення.

Метричні простори.

Функції багатьох змінних. Означення функції багатьох змінних. Поверхні рівня. Границі функції багатьох змінних в точці. Неперервність функції багатьох змінних в точці та замкненій області. Частинні похідні та диференціал першого порядку. Умови диференційованості. Диференціювання складних функцій. Частинні похідні вищих порядків та незалежність їх від порядку диференціювання. Диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца. Формула Тейлора, її застосування. Дослідження функції багатьох змінних на локальний екстремум. Необхідні і достатні умови екстремуму.

Неявні функції. Теорема про існування неявної функції. Функціональні визначники та їх властивості. Функціональна залежність функцій. Умови незалежності. Умовний екстремум. Застосування функцій багатьох змінних в геометрії.

Числові ряди. Поняття числового ряду. Необхідна умова збіжності. Критерій Коші. Ознаки збіжності знакопостійних рядів. Ознаки збіжності знакозмінних рядів. Абсолютно збіжні ряди. Умовно збіжні ряди. Теорема Рімана.

Функціональні ряди. Функціональні послідовності і ряди. Область їх збіжності. Рівномірна збіжність функціональних рядів. Критерій Коші. Достатні ознаки рівномірної збіжності. Інтегрування рівномірно збіжних рядів. Диференціювання функціональних рядів.

Степеневі ряди. Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Радіус збіжності. Формула Коші-Адамара. Властивості степеневого ряду. Розклад функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів. Формула Стірлінга. Аналітичне означення тригонометричних функцій. Формула Ейлера.

Нескінченні добутки.

Інтеграли як функції параметрів. Інтеграли зі скінченними межами інтегрування та їх властивості. Невласні інтеграли. Рівномірна збіжність. Інтегрування та диференціювання по параметру. Інтеграли Ейлера 1 і 2 порядків, їх властивості. Застосування інтегралів як функцій параметрів.

Ряди Фур’є. Ортогональні системи функцій. Середнє квадратичне відхилення. Збіжність в середньому. Ряд Фур’є. Умови розкладу функцій в ряд Фур’є. Рівномірна збіжність ряду Фур’є.

Кратні інтеграли. Означення подвійного інтеграла та його властивості. Зв’язок подвійного інтеграла з повторним. Обчислення подвійного інтеграла по довільній області. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Обчислення площі плоскої фігури. Об’єм циліндричних тіл. Обчислення площ поверхонь. Застосування подвійного інтегралу в механіці. Означення потрійного інтегралу, властивості, методи обчислень. Заміна змінних в потрійному інтегралі. Застосування потрійних інтегралів. Невласні кратні інтеграли.

Криволінійні та поверхневі інтеграли. Криволінійні інтеграли 1 типу, властивості, обчислення. Застосування криволінійних інтегралів 1 типу. Криволінійні інтеграли 2 типу, властивості, обчислення. Застосування криволінійних інтегралів 2 типу. Поверхневі інтеграли 1 типу, властивості, обчислення, застосування. Поверхневі інтеграли 2 типу, властивості, обчислення, застосування. Зв’язок криволінійного і кратного інтеграла. Зв’язок поверхневого і кратного інтеграла.

Елементи теорії поля. Скалярне і векторне поле, їх характеристики. Вираження диференціальних операцій в криволінійних координатах.

ЛІТЕРАТУРА

1. , , Сендов Бл. Х. Математический анализ. Т.1-3. – М.: Наука, любое издание.

2. Зорич анализ. Т.1, 2. – М.: Наука, любое издание.

3. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-3. М.: Наука, любое

4. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. – 624 с.

АЛГЕБРА ТА ГЕОМЕТРІЯ

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Поняття матриці. Еквівалентні матриці. Поняття n-вимірного рядка. Лінійні операції над рядками та їх властивості. Означення матриці, їх види. Елементарні перетворення строк матриці. Ступінчаста матриця. Зведення матриці до ступінчастого виду за допомогою елементарних перетворень строк.

Лінійне алгебраїчне рівняння. Системи рівнянь. Метод Гауса. Лінійне алгебраїчне рівняння. Системи рівнянь. Розв’язок системи. Сумісні, несумісні, означені, неозначені системи. Еквівалентні системи. Теореми про еквівалентні системи. Метод Гауса.

Однорідні системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однорідні системи. Нетривіальні розв’язки. Достатня умова існування нетривіального розв’язку.

Підстановки та перестановки. Поняття визначника n-го порядку. Види відображень множин. Підстановки та перестановки. Теорема про кількість підстановок. Парні та непарні підстановки. Визначник n-го порядку.

Властивості визначника n-го порядку. Мінори та їх алгебраїчні доповнення. Поняття та властивості визначника n-го порядку. Мінори та їх алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад визначника за елементами рядку або стовпчика. Теорема Лапласа.

Правило Крамера. Правило Крамера розв’язку квадратних СЛАР. Правило Крамера та однорідні системи.

Елементи векторної алгебри.

Означення вектора. Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність векторів. Означення вектора. Лінійні операції над векторами та їх властивості. Лінійна залежність та незалежність векторів.

Поняття векторного простору, базис та координати вектора. Поняття векторного простору. Базис та вимірність простору. Координати вектора у заданій базі, теореми о єдиних координатах вектора, о координатах суми векторів та добутку вектора на число.

Проекція вектора на вісь. Скалярний добуток векторів. Векторна та скалярна проекція вектора на вісь та її властивості. Скалярний добуток векторів, його властивості. Орієнтовані трійки. Ортонормована база. Розв’язок деяких базових задач у ортонормованій базі.

Векторний та подвійний векторний добуток векторів. Векторний добуток векторів та його властивості. Геометричний зміст векторного добутку. Обчислення векторного добутку у ортонормованій базі. Подвійний векторний добуток.

Мішаний добуток векторів. Мішаний добуток векторів та його властивості. Обчислення мішаного добутку у ортонормованій базі.