Задача 1.1 (стр. 1 )

Задача 1.1.

Доверенное лицо сообщило оперативному сотруднику, что стало свидетелем того, как владелец ругался с назначенным им директором. Владелец упрекал директора в том, что тот втайне от владельца организовал на производственных площадях выпуск дополнительной продукции, неучтенной в официальных документах и необлагаемой налогами. Как поняло из их разговора доверенное лицо, чтобы скрыть свои действия, директор в течение нескольких лет постепенно увеличивал выпуск дополнительной продукции. Также доверенное лицо сообщило оперативнику ряд подробностей: директор, назначенный на должность в 2000 году, начал реализовывать эту схему со следующего года и в очень небольшом объеме. Владелец возмущался, что в 2003 году, когда он выплатил директору премию в сумме 500 тысяч рублей, тот произвел на его предприятии дополнительной продукции на 2 млн. 315 тысяч рублей. В прошлом – 2009 году – дополнительной продукции было произведено на 4 млн. 855 тысяч рублей.

Доверенное лицо ожидало, что директор будет уволен, но этого не произошло. Наоборот, через несколько дней после разговора отношения директора с владельцем резко улучшились. Из этого доверенное лицо сделало вывод о том, что они договорились и дальше реализовывать придуманную директором схему ухода от налогов, но уже делить полученный от этой деятельности доход.

Оперативный сотрудник решил рассчитать, на какую сумму было произведено неучтенной продукции в 2008 году и приблизительно будет произведено по итогам 2010 года.

Для этого, оперативный сотрудник решил смоделировать сумму средств, полученных от реализации неучтенной продукции плавно изменяющейся параболой:

Y = А + В*Х + С*Х2

Чтобы найти уравнение параболы, необходимо знать три точки, через которые она проходит. Оперативный сотрудник записал эти три точки исходя из информации, полученной от доверенного лица:

1). В 2000 г. – 0 млн. рублей.

2). В 2003 г. – 2.315 млн. рублей.

3). В 2009 г. – 4,855 млн. рублей.

Внимательно прочитайте сообщение доверенного лица и запишите сумму средств, полученную от реализации неучтенной продукции в 2000 и 2009 годах, составьте систему линейных уравнений.

Решите ее, используя уже изученный Вами Практикум по линейной алгебре и получите значения коэффициентов «А», «В» и «С». Рассчитайте сумму средств, полученную от реализации неучтенной продукции в 2008 году и ту, которая предположительно будет получена 2010 году. В каком из двух этих случаев выполняется операция интерполяции, а в каком – экстраполяции? Постройте график найденной функции Y(Х) на отрезке от 2000 до 2010 года. Рассчитайте сумму средств, которая была получена от реализации неучтенной продукции за три года, с 2007 по 2009 год?

Решение:

Система линейных уравнений будет иметь вид:

{	А + В*2000 + С*20002 = 0
А + В*2003 + С*20032 = 2.315
А + В*2009 + С*20092 = 4.855

Решим ее методом Гаусса:

1	2000	4000000	0
1	2003	4012009	2,315
1	2009	4036081	4,855

1	2000	4000000	0
0	3	12009	2,315
0	9	36081	4,855

1	2000	4000000	0
0	3	12009	2,315
0	0	-2,09	-2,09

1	2000	4000000	0
0	1	4003	0,771667
0	0	54	-2,09

1	2000	4000000	0
0	1	4003	0,771667
0	0	54	-2,09

1	0	0	-37037
0	1	0	155,70259
0	0	1	-0,03870

Очевидно, что коэффициенты в уравнении параболы будут иметь следующие значения:

А = -3704

В = 155,

С = -0,

Y = -3704 + 155,*Х -0,*Х2

Y(2008)=-3704+155,*2008-

-0,*20082=4, млн. рублей

Y(2010)=-3704+155,*2010-

-0,*20102=5, млн. рублей

Объем выпущенной продукции, по отчетам, в реальности и укрытой от налогообложения

Год	Объем выпущенной продукции (тонн)	Объем продукции, укрытый от налогообложения (тонн)
по отчетам
1997	6 374	-3,
1998	6 002	-1,
1999	5 784	-0,
2000	5 620	0,
2001	5 533	0,
2002	5 304	1,
2003	5 102	2,
2004	4 936	2,
2005	4 721	3,
2006	4 532	3,
2007	4 398	4,
2008	4 219	4,
2009	4 217	4,

Сумма средств, которая была получена от реализации неучтенной продукции за три года (с 2007 по 2009 год) будет составлять:

Y = 4,32+4,63+4,86=13,798 млн. рублей.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1

1. В шестом году (2006 год) перечислило в бюджетную систему 31 млн. рублей, в седьмом году – 35 в восьмом – 39. Рассчитайте сколько должно поступить в бюджетную систему в 9-м и 10-м годах.

Решение:

Y = А + В*Х + С*Х2

Система линейных уравнений будет иметь вид:

{	А + В*2006 + С*20062 = 31
А + В*2007 + С*20072 = 35
А + В*2008 + С*20082 = 39

Решим ее методом Гаусса:

1	2006	4024036	0
1	2007	4028049	2,315
1	2008	4032064	4,855

1	2006	4024036	0
0	1	4013	2,315
0	2	8028	4,855

1	2006	4024036	0
0	1	4013	2,315
0	0	2	0,225

1	0	0	84
0	1	0	-449,1475
0	0	1	0,1125

Очевидно, что коэффициенты в уравнении параболы будут иметь следующие значения: