знать об основных направлениях развития современной физики и об их оценке со стороны научной общественности и уметь использовать эти знания для повышения привлекательности для школьников предметов естественнонаучного цикла;
· владеть
· - основными методами, которыми пользуется история физики (изучение первоисточников, изучение документов, интервью и др.);
- суммой знаний о жизненном пути, научном творчестве и роли в развитии физики выдающихся представителей физической науки;
- физическим научным языком, физической научной терминологией;
- иметь представление об ответственности, которую несут ученые за развитие цивилизации в моральном, военном и экологическом аспектах.
Краткое содержание дисциплины.
Характер науки античности. Натурфилософские представления древнегреческих ученых. Физика Аристотеля, исследования Архимеда.
Социальные и экономические предпосылки научной революции XVII в. Значение работы Н. Коперника “Об обращениях небесных сфер” для развития естествознания. Философия и естествознание (Дж. Бруно, Ф. Бэкон, Р. Декарт). Характеристика научной революции XVII в. Особенности исследований в области физики в XVIII-XIX вв. и становление естествознания в России. Изменение социального положения науки в XIX в. Усиление связи физики с техникой. Становление научных школ, образование физических лабораторий. Механика. Открытия в области механики до Ньютона (Г. Галилей, Р. Декарт, Х. Гюйгенс). Экспериментальные основы и постулаты механики Ньютона, изложенные в “Математических началах натуральной философии”. Развитие классической механики учеными XVIII-XIX вв.
Термодинамика и представления о строении вещества. Развитие термометрии в XVII-XVIII вв. Исследование закономерностей тепловых явлений в XVIII в. (Г. Рихман, Дж. Блэк), борьба теории теплорода и кинетической теории тепла в XVIII - начале XIX в. Установление закона сохранения энергии (Р. Майер, Дж. Джоуль, Г. Гельмгольц,). Формирование классической термодинамики.
Работы Дж. Дальтона, Ж. Гей-Люссака и А. Авогадро, обоснование aтoмно-молeкуляpнoй гипотезы. Становление статистической физики (Дж. К. Максвелл, Л. Больцман, Дж. Гиббс.). Теория броуновского движения А. Эйнштейна и М. Смолуховского.
Оптика. Возникновение физической оптики в XVII в. Корпускулярные и волновые представления о свете. Т. Юнг и О. Френель и победа волновой теории света, трудности волновой оптики упругого эфира.
Электродинамика и кризис механицизма. Открытие основных законов электромагнетизма (Ш. Кулон, Л. Гальвани, А. Вольта, X. Эрстед, Г. Ом, А. Ампера). Проблема дальнодействия и близкодействия. Создание теории электромагнитного поля Дж. К. Максвеллом и ее экспериментальное обоснование (Г. Герц, ). Кризис механицизма и переход к электромагнитной картине мира. Состояние физики в конце XIX - начале XX в. Экспериментальные открытия конца XIX в.: рентгеновские лучи, радиоактивность, электрон. Проблема эфира и создание теории относительности. Проблема увлечения эфира. Принцип относительности и электродинамика Максвелла, Г. Лоренц и А. Пуанкаре. Опыты Майкельсона-Морли. Эйнштейном специальной теории относительности. Общая теория относительности и ее экспериментальное обоснование.
Развитие квантовых представлений и становление квантовой теории. Проблема теплового излучения. Взаимодействие излучения и вещества (исследование спектров, обнаружение фотоэффекта, изучение закономерностей люминесценции). Планка. Эйнштейна по квантовой теории излучения.
Теория атома Н. Бора, ее развитие и трудности. Принцип соответствия. Творцы квантовой механики (В. Гейзенберг. Л. Де Шредингер, М. Борн и В. Паули. Принцип неопределенности. Принцип дополнительности. П. Дирак и создание релятивистской квантовой механики. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Исследования школы Э. Резерфорда. Модели атомного ядра. Открытие нейтрона. Изучение радиоактивных превращений. Обнаружение спонтанного деления атомного ядра. Создание атомного оружия и атомной энергетики. Физика плазмы и проблема управляемого термоядерного синтеза. Сверхтяжелые элементы.
Достижения отечественной физики. Научные школы , , .
История радиофизических исследований в Советском Союзе.
Общая трудоемкость дисциплины: 40 часов.
Составитель: , к. т.н., доцент
СД. В3 Дисциплины по выбору
Физика полупроводников и диэлектриков
Целью дисциплины является развитие навыков ведения самостоятельной научно-исследовательской работы студентов, изучение основных физических свойств полупроводниковых и диэлектрических материалов для производства радиоэлектронной аппаратуры и знакомство с современными аспектами технологии их производства, формирование личности будущего учителя, подготовка специалистов к преподаванию физики в современной школе.
Студент, изучивший дисциплину «Физика полупроводников и диэлектриков», должен владеть знаниями фундаментальных явлений и эффектов в области физики полупроводниковых и диэлектрических материалов, знать и уметь использовать знания по исследованию основных свойств данных структур, технологии их производства, владеть экспериментальными, теоретическими и компьютерными методами моделирования, знать современное состояние, теоретические работы, результаты исследований в области физики радиоэлектронных компонентов.
Предполагается умение самостоятельно работать с учебной и научной литературой по указанному кругу вопросов, выполнять качественные и количественные оценки параметров, характеризующих изученные в рамках данной дисциплины свойства твёрдых тел, включая, в первую очередь, оптические свойства.
Краткое содержание дисциплины.
Полупроводниковые и диэлектрические материалы для микроэлектроники. Ранние исследования и основные физические свойства. Применение полупроводников и диэлектриков в науке и технике, их классификация. Методы выращивания полупроводниковых кристаллов. Физические основы технологий получения толстых и тонких пленок. Криотермотехнология и управление составом порошковых композиционных материалов. Физические основы методов модификации поверхностных и объемных структур. Методов контроля и метрологии в микро - и нанотехнологии. Просвечивающая электронная микроскопия.
Общая трудоемкость дисциплины: 30 часов.
Составитель: , кандидат технических наук, доцент
Современные нанотехнологии
Цель дисциплины – подготовка специалистов, владеющих современными теоретическими знаниями, экспериментальными методами научно-исследовательской работы и прикладной деятельности в области физики и оптики твёрдого тела и наноструктур. Цель курса – дать современные представления о физических свойствах наноструктур.
Студент, изучивший курс "Современные нанотехнологии" должен знать:
понятийный аппарат (терминологию) дисциплины,
физические свойства наноматериалов,
теоретические модели оптических процессов в наноструктурах и квантово-размерных системах,
оптические и электрооптические свойства твёрдых тел, твердотельных нанострукур и наноматериалов в широком спектральном диапазоне от инфракрасного до ультрафиолетового,
теорию и физические принципы взаимодействия нанокомпозитных материалов с оптическим излучением.
Краткое содержание дисциплины
Элементы наномира (графен, фуллерены, нанотрубки, дендримеры, нанопроволоки).
Методы описания оптических процессов в квантово-размерных структурах и наноструктурах. Применение численных методов и методов математической физики для решения фундаментальных задач нанофизики. Компьютерное моделирование наноструктур и наносистем. Методы получения наноматериалов с наночастицами. Использование наноструктурированных материалов в современных технологиях. Классификация наночастиц, морфологическое разнообразие, гетероструктуры, супрамолекулярные материалы. Представления об основных функциональных свойствах материалов. Физические и химические методики получения наночастиц и наноматериалов. Их использование в науке, технике и диагностике. Монослой. Метод решёточных сумм. Система монослоёв из атомов. Система монослоёв из наночастиц. Нанообъекты в поле лазерного излучения. Проявление эффекта оптического ограничения лазерного излучения в материалах с нанообъектами.
Общая трудоемкость дисциплины: 30 часов.
Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент
ДС
ДС. Ф.1 Математический анализ
Целью преподавания учебной дисциплины «Математический анализ» является усвоение студентами базовых результатов математического анализа, типичных методов их получения, алгоритмов решения основных задач математического анализа, особенностей применения методов математического анализа для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Математический анализ» обучающийся должен:
· знать основные понятия математического анализа (функция, свойства числовых функций, последовательность, предел последовательности, предел функции, непрерывные функции, дифференцируемые функции, производная и частные производные, дифференциал, интеграл Римана, кратные интегралы, криволинейные интегралы, числовой ряд, функциональные ряды, поточечная и равномерная сходимость); основные способы их определения; формулировки фундаментальных теорем математического анализа;
· уметь понимать и воспроизводить доказательства важнейших результатов математического анализа, иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи математического анализа (находить пределы последовательностей и функций, производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных, неопределенные и определенные интегралы в случаях, когда первые выражаются через элементарные функции, вычислять двойные, тройные и криволинейные интегралы, в том числе с помощью замен переменных; строить разложения функций в степенные и тригонометрические ряды, исследовать сходимость разложений); применять средства дифференциального исчисления к исследованию функций одной и нескольких переменных, к решению задач на экстремумы геометрического и практического содержания, к решению некоторых алгебраических задач; применять средства интегрального исчисления к вычислению геометрических и физических величин; использовать идеи и методы математического анализа для решения некоторых задач элементарной математики; строить модели некоторых геометрических, физических, … объектов на языке математического анализа;
· владеть языком, символикой и формальным аппаратом математического анализа;
· иметь представление о специфике математического анализа по сравнению с другими математическими дисциплинами, его связях с этими дисциплинами, об истории развития математического анализа, его месте в современной математике и ее приложениях, о некоторых философских аспектах развития математического знания.
Краткое содержание дисциплины
Действительные числа: аксиоматическое построение множества действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби, расстояние во множестве действительных чисел. Предел числовой последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, теоремы о пределах, подпоследовательности и частичные пределы, полнота пространства действительных чисел. Предел числовой функции, теоремы о пределах, сравнение бесконечно малых функций, бесконечно больших функций.[1] Дифференцируемые функции одной переменной, производная и дифференциал, правила дифференцирования, производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций на монотонность, выпуклость, экстремумы, точки перегиба. Экстремальные задачи для функций одной переменной. Неопределенный интеграл: свойства, интегрирование основных классов функций. Интеграл Римана как предел интегральных сумм, как разделяющее число сумм Дарбу, основные свойства Дарбу, основные свойства. Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла. Числовые ряды: основные понятия, признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные числовые ряды: абсолютная и условная сходимость. Действия над числовыми рядами. Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами. Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами. Введение в анализ функций нескольких переменных: пространство Rn, сходимость последовательностей, пределы и непрерывность функций. Дифференцируемые функции нескольких переменных: частные производные и полный дифференциал, матрица Якоби, частные производные дифференциал, матрица Якоби, частные производные и дифференциалы высших порядков, неявные функции. Экстремумы функций нескольких переменных: необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума, условные экстремумы. Двойные и тройные интегралы, их свойства, сведение к повторным интегралам. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Полные дифференциалы и их интегрирование Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса. Элементы векторной теории поля. Геометрические и физические приложения кратных и криволинейных интегралов.
Общая трудоемкость дисциплины: 482 часа.
Составитель: , кандидат физико-математических наук
ДС. Ф.2 Теория функций действительного переменного
Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций действительного переменного» является введение студентов в систему базовых понятий, структур, методов математического анализа в широком смысле в его современной форме, формирование умения работать с математическими объектами высокого уровня абстракции, развитие соответствующего типа мышления.
В результате освоения дисциплины «Теория функций действительной переменной» обучающийся должен:
· знать основные понятия и теоремы теории множеств (мощность множества, счетные множества, множества мощности континуум, теорема Кантора, Теорема Кантора-Бернштейна); определения и базовые свойства важнейших топологических структур (метрика, норма, скалярное произведение); определения основных понятий математического анализа (предел последовательности, фундаментальные последовательности, предел функции, непрерывность функции и др.) в абстрактном варианте, применительно к произвольным метрическим пространствам и их отображениям; основные результаты функционального анализа (теорема Банаха о сжимающих отображениях и др.); понятия меры Лебега, измеримой функции, интеграла Лебега; конструкции основных пространств функционального анализа, в том числе пространств суммируемых функций;
· уметь проводить доказательства некоторых результатов теории множеств, функционального анализа, теории меры и интеграла Лебега, получать и объяснять результаты классического анализа как частные случаи теорем функционального анализа; проверять выполнение аксиом метрического, нормированного, евклидова пространства; вычислять меру Лебега числовых множеств, интеграл Лебега числовых функций в простейших случаях;
Краткое содержание дисциплины
Множество как неопределяемое понятие в теории Кантора. Равномощные множества. Мощность множества. Конечные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел, множества алгебраических чисел. Несчетность отрезка [0;1]. Множества мощности континуум. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна. Булеан множества. Теорема Кантора о сравнении мощности множества и мощности его булеана. Множества мощности гиперконтинуум. Бесконечность шкалы мощностей. Парадоксы теории множеств Кантора. Понятие о проблеме континуума. Представление об аксиоматической теории множеств.
Метрическое пространство, примеры метрических пространств. Предел последовательности точек метрического пространства. Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространства, компактные метрические пространства, связные метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Сохранение компактности и связности при непрерывных отображениях. Сжимающие отображения метрических пространств. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).
Общая трудоемкость дисциплины: 86 часов.
Составитель: , кандидат физико-математических наук
ДС. Ф.3 Теория функций комплексного переменного
Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций комплексного переменного» является усвоение студентами базовых результатов комплексного анализа, типичных методов их получения, специфики объектов комплексного анализа по сравнению с вещественным анализом, завершение формирования таких фундаментальных понятий, как функция, ряд, производная, интеграл, осознание обучающимися единства математики.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обучающийся должен:
знать основные понятия, относящиеся к функциям комплексной переменной (различные определения аналитической функции; производная функции комплексной переменной, геометрический смысл ее модуля и аргумента; интеграл функции комплексной переменной вдоль кривой в комплексной плоскости; ряды Тейлора и Лорана, особые точки аналитической функции и вычеты в них; основные элементарные функции в комплексной плоскости и их свойства; многозначные функции и их однозначные ветви, римановы поверхности многозначных функций), а также фундаментальные результаты комплексного анализа (условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной; интегральная теорема Коши, формула Коши; равносильность различных определений аналитической функции, бесконечная дифференцируемость аналитической функции комплексной переменной; теорема о вычетах);
уметь применять методы теории функций комплексной переменной при решении типовых задач комплексного и действительного анализа (разложение функций в ряды; восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части; выделение особых точек однозначного характера аналитической функции, определение их типов, вычисление вычетов в особых точках; вычисление интегралов комплекснозначных функций и интегралов от функций действительной переменной с использованием интегралов по комплексному контуру; нахождение образов и прообразов точек и простых областей и др.);
владеть навыками оперирования с комплексными числами и функциями комплексной переменной, языком комплексного анализа.
Краткое содержание дисциплины
Поле комплексных чисел
Комплексные числа и действия над ними. Модуль комплексного числа, метрика во множестве комплексных чисел. Окрестности. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Стереографическая проекция. Линии и области в комплексной плоскости: параметрическое задание кривых; прямые и окружности; полуплоскость, круг, внешность круга.
Функции комплексного переменного
Комплекснозначные функции действительной переменной. Комплекснозначные функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части функции комплексной переменной. Изображение преобразования комплексной плоскости, задаваемого функцией комплексной переменной.
Последовательности и ряды комплексных чисел, функциональные последовательности и ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Примеры разложения функций комплексной переменной в степенные ряды (геометрическая прогрессия).
Дифференциальное исчисление функций комплексной переменной
Дифференцируемость и производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции как функции, дифференцируемой в области. Гармонические функции и их связь с аналитическими.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение. Области однолистности аналитической функции. Примеры.
Элементарные функции в комплексной области
Линейная и дробно-линейная функции. Круговое свойство дробно-линейной функции. Задание дробно-линейной функции тремя парами соответствующих точек расширенной комплексной плоскости.
Степенная функция и радикал. Многозначность радикала. Понятие римановой поверхности. Риманова поверхность радикала.
Показательная функция в комплексной плоскости как сумма степенного ряда. Сохранение свойств экспоненты при аналитическом продолжении с вещественной прямой на комплексную плоскость. Периодичность экспоненты в комплексной плоскости. Логарифмическая функция как обратная к показательной, ее многозначность. Риманова поверхность логарифмической функции. Степень с произвольным комплексным показателем.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Выражение обратных тригонометрических функций через логарифм. Гиперболические и обратные гиперболические функции. Выражение обратных гиперболических функций через логарифм. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Функция Жуковского и ее свойства.
Интегральное исчисление функций комплексной переменной
Интегрирование комплекснозначных функций действительной переменной. Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой: определение в терминах предела интегральных сумм, сведение к криволинейному интегралу. Теорема Коши. Теорема Коши для случая составного контура.
Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифмической функции в комплексной области.
Интегральная формула Коши и ее следствия (дифференцируемость производной аналитической функции, интегральные формулы для коэффициентов степенного ряда, неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда).
Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Лорана
Существование разложения в степенной ряд для функции, дифференцируемой в области. Второе определение аналитической функции (как функции, допускающей представление в виде суммы ряда). Вычисление коэффициентов ряда Тейлора. Целые функции. Теорема Лиувилля. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Ряд Лорана и его область сходимости. Существование разложения в ряд Лорана для функции, аналитической в кольце.
Особые точки однозначного характера и их классификация. Лорановское разложение функции в проколотой окрестности особой точки. Характеристика правильных точек, полюсов, существенно особых точек в терминах лорановского разложения. Кратность полюса.
Бесконечность как особая точка аналитической функции. Целые функции с полюсом в бесконечно удаленной точке, с существенно особой точкой на бесконечности.
Вычеты аналитической функции
Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке однозначного характера. Вычисление вычетов. Теорема о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Применение теории вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов от функций действительной переменной.
Общая трудоемкость дисциплины: 84 часа.
Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент
ДС. Ф.4 Дифференциальные уравнения и уравнения уравнения с частными производными
Целью преподавания учебной дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»является усвоение студентами базовых результатов теории дифференциальных уравнений, типичных методов их получения, особенностей применения математических методов для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов, осознание обучающимися единства «чистой» и прикладной математики.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»обучающийся должен:
· знать основные понятия, относящиеся к ОДУ и ДУЧП (порядок уравнения, решение уравнения, начальные условия, краевые условия, интегральные кривые и фазовые кривые системы ОДУ, характеристики ДУЧП, положения равновесия системы ОДУ, понятия, связанные с устойчивостью положений равновесия); основания классификации ОДУ и ДУЧП, фундаментальные результаты, касающиеся существования и единственности решений в линейном и нелинейном случае, а также их устойчивости;
· уметьнаходить общие и частные решения изученных классов ОДУ первого порядка, некоторых ОДУ высших порядков, допускающих понижение порядка; решать линейные ОДУ высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами; исследовать устойчивость тривиального решения автономных нормальных систем ОДУ; находить характеристики линейных ДУЧП первого порядка и их решения с учетом начального условия;
· владетьнавыками решения ОДУ и ДУЧП и построения интегральных и фазовых кривых с помощью пакетов компьютерной математики.
Краткое содержание дисциплины
Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Задача о радиоактивном распаде, задача о росте популяции при неограниченных ресурсах. Задача о колебаниях физического маятника, задача об электромагнитных колебаниях в контуре. Задача о колебаниях упругой струны. Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение семейства кривых.
Дифференциальные уравнения у Ньютона, у Лейбница, логика развития теории дифференциальных уравнений.
Понятие дифференциального уравнения и некоторые его обобщения. Понятие решения дифференциального уравнения. ОДУ и ДУЧП. Порядок дифференциального уравнения и размерность многообразия его решений. Понятие общего решения ОДУ. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Постановка начальных и краевых задач.
ОДУ в нормальной форме; ОДУ в общей форме; ОДУ первого порядка в симметричной форме. Примеры решения дифференциальных уравнений.
Возможности изучения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной форме
Геометрическая интерпретация ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: поле направлений, изоклины, интегральные кривые. Задача Коши дляОДУ первого порядка в нормальной форме: теорема существования и единственности решения (без доказательства)[2].
Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные ОДУ первого порядка, линейные ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах). Понятие об интегрирующем множителе. Глобальное существование и единственность решения задачи Коши в случае линейного ОДУ первого порядка. Структура множества решений однородного и неоднородного линейного ОДУ первого порядка.
Существование ОДУ первого порядка, не разрешимых в квадратурах. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка с помощью метода ломаных (замены дифференциального уравнения разностным).
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Особенности постановки задачи Коши дляОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной. Теорема существования и единственности решения, особые точки и особые решения.
Случаи дифференциального уравнения первого порядка в общей форме, допускающего параметризацию. Уравнения Клеро и Лагранжа.
Задача об огибающей семейства кривых.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков в нормальной форме
Задача Коши для ОДУn-го порядка в нормальной форме. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Основные классы уравнений, допускающих понижение порядка. Приближенное интегрирование ОДУ высших порядков с помощью разностных схем.
Нормальные системы ОДУ, сведение уравнений высших порядков к нормальным системам. Сведение нормальной системы n ОДУ к уравнению n-го порядка (исключение неизвестных функций, рассмотрение на примерах). Двумерные системы ОДУ и их фазовые кривые.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ
Линейные ОДУ высших порядков и их сведение к нормальным системам линейных ОДУ. Глобальный характер теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных ОДУ; геометрическая интерпретация решения в случае двумерной системы. Множество решений однородной системы линейных ОДУ как векторное пространство. Фундаментальная матрица системы, определитель Вронского системы решений, теорема о свойствах вронскиана, размерность пространства решений. Построение фундаментальной матрицы длясистемы с постоянными коэффициентами матричным методам: характеристическое уравнение, случай простых корней, случай кратных корней, случай комплексно сопряженных (простых или кратных) корней.
Метод вариации произвольных постоянных в решении неоднородных систем линейных ОДУ. Метод подбора частного решения в случае правой части специального вида.
Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений однородного уравнения. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Решение неоднородного уравнения: метод вариации произвольных постоянных, метод подбора частного решения в случае правой части специального вида. Свободные и вынужденные колебания, явление резонанса.
Введение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений. Получение свойств синуса и косинуса на основе анализа уравнения и начальных условий.
Понятие о краевой задаче для ОДУ. Собственные значения и собственные функции краевой задачи. Понятие о линейных дифференциальных операторах. Примеры решения простейших краевых задач.
Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений
Понятия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решения ОДУ. Случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами или системы уравнений: анализ условий устойчивости тривиального решения. Фазовые портреты двумерных автономных систем. Нелинейные ОДУ: стационарные решения (положения равновесия), линеаризация системы в окрестности положения равновесия, теорема Ляпунова.
Линейные и квазилинейные ДУЧП первого порядка
Понятие квазилинейного, линейного ДУЧП первого порядка, характеристической системы, характеристики квазилинейного ДУЧП первого порядка. Теоремы о связи между характеристиками квазилинейного ДУЧП первого порядка и его интегральными поверхностями. Постановка начальной задачи, примеры ее решения.
Линейные и квазилинейные ДУЧП второго порядка
Классификация ДУЧП второго порядка (эллиптические, гиперболические, параболические в данной области уравнения), приведение их к каноническому виду.
Волновое уравнение: начальная задача, формула Даламбера, краевая задача, понятие о методе Фурье
Общая трудоемкость дисциплины: 86 часов.
Составитель: , кандидат физико-математических наук
ДС. Ф.5 Теория чисел
Целью преподавания учебной дисциплины «Теория чисел» является сообщить студентам основные сведения из элементарной теории чисел и содействовать формированию у будущего учителя глубоких арифметических представлений, без наличия которых невозможно правильное понимание развития многих других разделов математики и построение математики в целом.
Требования к уровню усвоения содержания дисциплины
В результате изучения дисциплины «Теория чисел» студент должен:
· иметь представление об основных понятиях и методах теории чисел, ее классических задачах;
· знать теорию сравнений и ее арифметические приложения, арифметические функции как аппарат теоретико-числовых исследований;
· знать о возможности представления и приближения действительных чисел цепными дробями;
· иметь навыки решения теоретико-числовых задач с использованием теории сравнений и цепных дробей;
· расширить представление об арифметической природе числа.
Краткое содержание дисциплины
№ | Тема или раздел | Содержание разделов и тем |
1. | Делимость в кольце целых чисел и простые числа. | предмет теории чисел, краткая история развития теории чисел. Теорема о делении с остатком. Отношение делимости в кольце целых чисел. НОД и НОК целых чисел, их свойства. Алгоритм Евклида и его приложения. Свойства взаимно простых чисел. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел в натуральном ряду. |
2. | Цепные дроби. | Цепная дробь, порядок цепной дроби, неполные частные цепной дроби, подходящие дроби, числители и знаменатели подходящих дробей, значение цепной дроби, полные частные цепной дроби. Свойства числителей и знаменателей подходящих дробей. Свойства подходящих дробей. |
3. | Арифметические функции. | Сумма делителей s(n) и число делителей t(n). Функция Эйлера j(n). Мультипликативность и явные формулы. Тождество Гаусса для функции Эйлера. |
4. | Теория сравнений. Арифметические приложения теории сравнений. | Отношение сравнимости в кольце целых чисел и его свойства. Классы целых чисел по данному модулю и их свойства. Кольцо классов вычетов.. Поле вычетов по простому модулю. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Полная и приведенная системы вычетов по данному модулю и их свойства. Теоремы о вычетах линейных форм. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнение и система сравнений с неизвестной величиной. Сравнения 1-ой степени. Теорема о числе решений сравнения 1-ой степени. Двучленные сравнения по простому модулю. Теорема о разрешимости двучленного сравнения. Квадратичные вычеты и невычеты. Число классов квадратичных вычетов и число классов квадратичных невычетов по простому модулю. Критерий квадратичного вычета и невычета по простому модулю. |
Общая трудоемкость дисциплины: 86 часов.
Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент
ДС. Ф.6 Числовые системы
Целью преподавания данной дисциплины является систематизация знаний студентов о различных числовых системах и их свойствах, начиная с натуральных чисел и заканчивая алгебрами кватернионов;
Требования к уровню усвоения содержания дисциплины
· иметь представление о формальных моделях числовых множеств, об аксиоматическом подходе к построению числовых систем и о требованиях к аксиоматическим теориям.
· знать аксиоматические определения и основные свойства систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.
· уметь доказывать простейшие свойства натуральных чисел методом математической индукции, применять данный метод к решению задач, доказывать рациональность или иррациональность чисел.
Краткое содержание дисциплины
№ п/п | Наименование темы (раздела) | СОДЕРЖАНИЕ |
1. 2. 3. 4. 5. 6. | Аксиоматическая теория натуральных чисел Аксиоматическая теория целых чисел Аксиоматическая теория рациональных чисел Аксиоматическая теория действительных чисел Аксиоматическая теория комплексных чисел Линейные алгебры над полями | Аксиоматическая теория натуральных чисел. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Формулировка аксиоматической теории натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Свойства. Неравенства на множестве натуральных чисел. Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел, независимость аксиомы индукции и её роль в арифметике. Упорядоченные множества и системы. Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории. Упорядоченные множества и системы. Теорема о порядке Аксиоматическая теория рациональных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории рациональных чисел. Последовательности в нормированных полях. Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительное число как предел последовательности Аксиоматическая теория комплексных чисел. Невозможность линейного упорядочения кольца комплексных чисел Кватернионы. Линейные алгебры над полями. Алгебры конечного ранга. Теорема Фробениуса |
Общая трудоемкость дисциплины: 82 часа.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
