Элементы математической статистики ( проверка гипотез ) (стр. 2 )

3. Распределение Пирсона Х2. Пусть Хi, i = 1,2, ... ,n – нормальные независимые случайные величины, причем их математическое ожидание равно нулю, а s = 1. Тогда есть распределение по закону Х2 с числом степеней свободы n.

Плотность этого распределения:

где – гамма функция;

K – число степеней свободы.

Распределение Х2 определяется числом степеней свободы K, с увеличением которого распределение медленно приближается к нормальному (рисунок 2).

Рис. 2. График плотности распределения Пирсона Х2

4. Распределение Стьюдента. Пусть Z – нормальная случайная величина, причем М(Z) = 0, s(z) = 1, а V – независимая от Z случайная величин, распределенная по закону Х2 с К степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое называют t распределением Стьюдента с К степенями свободы. С возрастанием К распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

5. Распределение Фишера-Снедекора. Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону Х2 со степенями свободы К1 и К2, то величина

имеет распределение, которое называют распределением Фишера-Снедекора со степенями свободы К1 и К2. Таким образом, F - распределение определяется двумя параметрами – числами степеней свободы.

2. ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

2.1 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих координат Xi и соответствующих им частот ni. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости a, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, необходимо сделать следующее.

1. Вычислить выборочную среднюю

2. Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение

3. Вычислить теоретические частоты

,

где n – объем выборки, т. е. сумма всех частот;

h – шаг (разность между двумя соседними координатами);

Значения функции Y(U) приведены в приложении.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) рассчитывают наблюдаемое значение критерия

б) по таблице критических точек распределения Х2 по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы К = S – 3 (S – число групп выборки) находят критическую точку Х2кр(a, к) правосторонней критической области.

Если Х2набл < Х2кр – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Если Х2набл > Х2кр – гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Замечание. Малочисленные частоты (ni<5) следует объединить, в этом случае соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Тогда при определении числа степеней свободы по формуле К = S – 3, следует в качестве S принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Пример. Пусть имеем вектор эмпирических частот n и вычисленный вектор теоретических частот np.

Объединяем малочисленные частоты, как показано на рисунке ниже:

В результате получим следующие вектора частот:

2.2 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

По независимым выборкам, объемы которых n1 и n2, извлеченным из нормальных совокупностей, найдены исправленные выборочное дисперсии Sx2 и Sy2. Требуется сравнить эти дисперсии.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости Х проверить нулевую гипотезу Н0: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе Н1: D(X) > D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия F (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора по заданному уровню значимости a и числам степеней свободы К1 = n1 - 1, К2 = nК1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии), найти критическую точку Fкр(a, К1,К2).

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1: D(X)¹ D(Y) критическую точку Fкр(a/2,К1,К2) ищут по уровню значимости, вдвое меньше заданного, и числам степеней свободы К1 и К2 (К1 – число степеней свободы большей дисперсии).

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.

2.3 Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы

Обозначим через n и m объемы малых независимых выборок (n, m < 30), по которым найдены соответствуюшие выборочные средние x и y и исправленные выборочные дисперсии SX2 и SY2. Генеральные дисперсии, хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу Н0: М(Х) = М(У) о равенстве математических ожиданий двух нормальных с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе Н1: М(Х) ¹ М(У), необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия:

Затем по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы К=n+m-2 найти критическую точку tдвуст. кр.(a, К).

Если êТнабл ê< tдвуст. кр.(a, К) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если êТнабл ê> tдвуст. кр.(a, К) – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе М(Х) > М(У) находят критическую точку tправост. кр.(a, К) и числу степеней свободы К=n+m-2. Если Тнабл < tправост. кр.(a, К) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В противном случае гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе М(Х) < М(У) находят вначале критическую точку tправост. кр. по правилу 2 и полагают tлевост. кр. = - tправост. кр.. Если Тнабл > - tправост. кр. – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2.4 Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение случайной величины Х в виде последовательности S интервалов xi+1 - xi и соответствующих им частот ni, причем åni = n, где n – объем выборки. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена равномерно.

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, необходимо выполнить следующее.

1. Оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные изменения Х. Обозначим оценки a и b через a* и b*.

,

2. Найти дифференциальную функцию предполагаемого распределения.

3. Найти теоретические частоты.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы К = S - 3, где S – число интервалов, на которые разбита выборка.

2.5 Проверка гипотезы об однородности двух выборок. Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: Х1,Х2, ... ,Хn1 и У1,У2, ... ,Уn2. Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны, требуется лишь, чтобы величины были непрерывными. Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные непрерывные функции распределения F1(X) и F2(X).

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой. Н0: F1(X) = F2(X). Конкурирующими могут быть гипотезы Н1: F1(X) ¹ F2(X), F1(X) > F2(X), F1(X) < F2(X).

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу Н0: F1(X) = F2(X) об однородности двух независимых выборок объемов n1 и n2 (n1<= n2) при конкурирующей гипотезе Н1: F1(X) ¹ F2(X), необходимо выполнить следующие действия:

1. Расположить значения обеих выборок в возрастающем порядке в виде одного числового ряда. Пронумеровать все значения этой возрастающей числовой последовательности.