Рабочая программа учебной дисциплины Элементарная математика (Арифметика)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»

(МПГУ)

Математический факультет

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Элементарная математика (Арифметика)

Код и направление подготовки

050100.62 Педагогическое образование

Профили:

Математика и Информатика

Математика и Экономика

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

___________очная_____________

(очная, очно-заочная и др.)

МОСКВА

2014 г.

1. Цель освоения дисциплины «Элементарная математика (Арифметика)»

Целью дисциплины «Элементарная математика (Арифметика)» является изучение основных понятий арифметики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных идей, содействие становлению специальной профессиональной компетентности студентов в области арифметики, формирование готовности к использованию полученных в результате изучения дисциплины знаний и умений в профессиональной деятельности.

Изучение курса арифметики должно выработать у студентов интерес к вопросам элементарной математики, создать у них содержательную основу для:

а) работы в школе по различным учебникам математики;

б) работы в классах различной профильной направленности и индивидуальной работы с учащимися;

в) проведения со школьниками кружков, спецкурсов, факультативных занятий и олимпиад по математике.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Элементарная математика(Арифметика)» входит в вариативную часть учебного плана бакалавра с профилями подготовки «Математика и Информатика», «Математика и Экономика». Она является частью цикла дисциплин по элементарной математике, изучается на втором курсе. Она следует за изучением Вводного курса. Параллельно с ней изучаются базовые дисциплины высшей математики: алгебра, геометрия, математический анализ.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

Общекультурные компетенции:

ОК1 владеет культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;

ОК6 умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

ОК8 владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией;

ОК16 способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики.

Профессиональные компетенции:

ОПК1 осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;

ОПК5 способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания;

Специальные компетенции:

СК1 владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

СК3 способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики;

СК6 способен ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности;

СК9 способен к аналитической оценке, осознанному выбору и реализации образовательной программы по математике;

СК21 способен приобретать новые знания по математике, используя современные информационные и коммуникационные технологии.

В результате изучения курса арифметики студенты должны:

а) знать основные понятия арифметики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

б) владеть важнейшими методами арифметики, уметь применять их для доказательства теорем и решения задач;

в) быть знакомым с современными направлениями развития арифметики и ее приложениями;

г) знать литературу по арифметике (учебники и сборники задач, книги, статьи в журналах и т. д.).

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часов).

Структура дисциплины

Таблица 1.

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Семестр	Виды учебной работы (в академических часах)
Л	С	ПЗ	ЛБ	СР
1	Множества	3	4 ч	4 ч			8 ч
2	Индукция	3	6 ч	6 ч			8 ч
3	Системы счисления	3	4 ч	4 ч			8 ч
4	Графы	3	4 ч	4 ч			12 ч
5	Комбинаторика	4	6 ч	6 ч			10 ч
6	Вероятность	4	4 ч	4 ч			10 ч
7	Уравнения	4	4 ч	4 ч			8 ч
8	Неравенства	4	4 ч	4 ч			8 ч

Содержание дисциплины

Таблица 2.

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела (дидактические единицы)
1	Предмет элементарной математики	Эпоха элементарной математики (по ). Основные разделы элементарной арифметики, алгебры и дискретной математики. Обзор литературы.
2	Сюжетные задачи	Арифметические и алгебраические методы их решения. Краткий исторический обзор. Понятие математической модели и ее реализации.
3	Системы счисления	Примеры множеств. Операции над множествами. Бесконечные множества. Счетные множества. Континуум. Примеры точечных множеств на плоскости. Парадоксы бесконечных множеств.
4	Множества.	Примеры множеств. Операции над множествами. Бесконечные множества. Счетные множества. Континуум. Примеры точечных множеств на плоскости. Парадоксы бесконечных множеств.
5	Логика и алгоритмические задачи.	Логика высказываний. Истинные и ложные высказывания. Отрицание. Логические операции. Необходимые и достаточные условия. Логические парадоксы. Алгоритмы для решения логических задач.
6	Доказательства.	Примеры доказательств: полный перебор, метод «от противного», косвенные доказательства. Необходимые и достаточные условия. Следование и равносильность.
7	Натуральные и целые числа.	Четность. Делимость. Признаки делимости. Арифметика остатков. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, их свойства. Алгоритм Евклида. Простые и составные числа
8	Календарные системы.	Юлианский и григорианский календари. Краткая история.
9	Индукция.	Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Метод бесконечного спуска.
10	Начала комбинаторики.	сочетания и размещения. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Принцип Дирихле.
11	Комбинаторика на графах.	Простейшие понятия теории графов и логические задачи. Конечные позиционные игры. «Ним» и «Цзяньшицзы». Выигрышные стратегии.
12	Дискретные процессы.	Инварианты и полуинварианты.
13	Вероятности.	Условная вероятность. Сумма и произведение вероятностей. Примеры и задачи.
14	Алгебра как наука об уравнениях.	Алгебраические вычисления. Тождественные преобразования. Разложение на множители.
15	Квадратные уравнения.	Корни квадратного уравнения. Симметрия. Теорема Виета.
16	Алгебраические неравенства.	Доказательство простейших неравенств.

5. Образовательные технологии

1. Традиционные образовательные технологии

Информационная лекция, семинар, практическое занятие, лабораторная работа

2. Технологии проблемного обучения

Проблемная лекция, практическое занятие в форме практикума

3. Технологии проектного обучения

Исследовательский проект, творческий проект, информационный проект

4. Интерактивные технологии

Лекция-беседа, лекция-дискуссия, семинар-дискуссия

5. Информационно-коммуникационные образовательные технологии

Лекция-визуализация, практическое занятие в форме презентации

6. Самостоятельная работа студентов.

Таблица 3.

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вид самостоятельной работы	Трудоемкость (в академич. часах)
1	Множества	Изучение литературы, решение задач	8 ч
2	Индукция	Изучение литературы, решение задач	8 ч
3	Графы	Изучение литературы, решение задач	8 ч
4	Системы счисления	Изучение литературы, решение задач	12 ч
5	Комбинаторика	Изучение литературы, решение задач	10 ч
6	Вероятность	Изучение литературы, решение задач	10 ч
7	Уравнения	Изучение литературы, решение задач	8 ч
8	Неравенства	Изучение литературы, решение задач	8 ч

7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства

Средства оценивания:

1) Диагностирующий контроль: устные опросы и собеседования.

2) Текущий контроль: письменная самостоятельная работа.

Текущий контроль проводится по результатам выполнения студентами самостоятельных работ, устных ответов.

Содержание письменных самостоятельных работ разрабатывается преподавателями кафедры на основе программы Элементарной математики и утверждается на заседании кафедры.

Письменные самостоятельные работы рассчитаны на время от четверти до одного часа, состоят из двух-четырех вариантов, и включает в себя 4-6 вопросов и задач по пройденной теме.

Письменные самостоятельные работы выполняются на отдельных листах, на которых указывается фамилия студента, курс и номер группы.

Решение каждой задачи оценивается плюсом, минусом или плюсом-минусом. Оценка за выполнение самостоятельной работы ставится на основе оценок за решение задач.

Таблица 4.

№п/п	Наименование раздела дисциплины	Средства текущего контроля
1	Множества	Самостоятельная работа
2	Индукция	Самостоятельная работа
3	Системы счисления	Самостоятельная работа
4	Графы	Самостоятельная работа
5	Комбинаторика	Самостоятельная работа
6	Вероятность	Самостоятельная работа
7	Уравнения	Самостоятельная работа
8	Неравенства	Самостоятельная работа

Примерная тематика самостоятельных работ

1)  При каких целых положительных n 20n+16n-3n-1 число делится на 323?

2)  Существует ли такое натуральное число n, что n2+n+1делится на 1995?

3)  Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?

4)  Доказать, что число, составленное из 3n одинаковых цифр, делится на 3n.

5)  а) Найти последнюю цифру чисел: ; ; 11989+21989+31989+…[phone]; 11+22+33+…[phone].

б) Найти две последние цифры чисел: 3999; ; 413+423+433+…+593.

6)  Какие остатки может давать сотая степень целого числа при делении на 125?

7)  Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 100.

8)  Доказать, что если натуральное число n делится на 5, то и n-е число Фибоначчи также делится на 5.

9)  Числа 22007 и 52007 записаны в строчку одно за другим. Определите количество цифр в написанном таким образом числе.

10)  Все целые числа выписаны подряд, начиная с единицы. Определить, какая цифра стоит на 198156 месте.

11)  Число написано 99 девятками. Определите сумму цифр квадрата этого числа.

12)  Найти сумму попарных произведений первых n натуральных чисел.

13)  В последовательности 1975… каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предшествующих четырех цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд цифры 1234; вторично четверка цифр 1975?

14)  Является ли простым число 323+2?

15)  Пусть x – последняя цифра простого числа p>3. Докажите, что –число составное.

16)  Доказать, что все числа вида 10001, 100010001, 1000100010001,… – составные.

17)  Доказать, что каждые два числа последовательности 2+1, 22+1, 24+1, 28+1, 216+1,… являются взаимно простыми.

18)  Существует ли такое натуральное число n, что n2 + n + 1 делится на 1955?

19)  Найти все целые числа равные: а) квадрату суммы цифр числа; б) сумме цифр куба числа.

20)  Найти все четырехзначные числа, являющиеся полными квадратами и записываемые а) четырьмя четными числами; б) четырьмя нечетными числами.

3) Промежуточная аттестация – зачет, экзамен

Перечень вопросов к первому зачету.

1. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8, и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

2. Существует ли число, которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 58 раз?

3. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?

4. В страну рыцарей и лжецов приехал турист. Первый местный житель, которого он встретил, утверждал, что является рыцарем. Турист обрадовался, и нанял его себе в проводники. Через некоторое время они встретили еще одного местного жителя. Турист отправил проводника спросить у него рыцарь он или лжец. Проводник вернулся и ответил, что абориген утверждает, что он рыцарь. Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

5. Вася сказал, что умеет решать уравнение 19x2+97x=1997 в натуральных числах. Докажите, что Вася ошибся.

6. Про трехзначное число x известно, что если от него отнять 7, то результат разделится на 7, если от него отнять 8, то результат разделится на 8, а если отнять 9, то результат разделится на 9. Что это за число?

7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли составляло 2%?

8. Гребец, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 15 минут он заметил пропажу и поймал шляпу в километре от моста. Какова скорость течения реки?

9. По какой цене следует продавать смесь двух сортов конфет, если цена первого сорта - 10 рублей за килограмм, второго 15 рублей за килограмм, а вес конфет первого сорта в три раза больше, чем второго?

10. Известно, что среди математиков - 10% философов, а среди философов - 1% математиков. Кого больше философов или математиков и на сколько процентов?

11. Курьеры из мест А и В двигаются каждый равномерно, но с разными скоростями, друг другу навстречу. После встречи, для прибытия к месту назначения, одному нужно было еще 16, другому - еще 9 часов. Сколько времени требуется тому и другому для прохождения всего пути от А до В?

12. Если велосипедист будет ехать со скоростью 10 км/ч, то он опоздает на 1 час. Если же он будет ехать со скоростью 15 км/ч, то он приедет на 1 час раньше. С какой скоростью он должен ехать, чтобы приехать вовремя?

13. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Достигнув берега, они сразу отправляются обратно. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

14. Сначала отпили чашки черного кофе и долили ее молоком. Потом выпили чашки и снова долили ее молоком. Потом выпили еще полчашки и опять долили ее молоком. Наконец, выпили полную чашку. Чего выпили больше: кофе или молока?

15. Докажите, что из 52 целых чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 100.

Перечень вопросов ко второму зачету.

1. Изобразите множества точек, задаваемые равенством:

2. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

Докажите неравенства для положительных чисел (№3-4):

3.

4. Если , то .

5. Упростите выражение

6. Сократите дробь .

7. Найдите наибольшее значение выражения, если

8. Найдите область значений выражения , если .

9. На плоскости даны 5 точек с целыми координатами. Докажите, что середина хотя бы одного отрезка имеет целые координаты.

10. В квадрате 4´4 моль проела 15 маленьких дырок. Докажите, что из него можно вырезать целый квадрат 1´1.

11. Докажите, что если между цифрами числа 1331 написать по равному количеству нулей, то получится точный куб.

12. Докажите, что всякое простое число при делении на 30 дает в остатке простое число.

13. Докажите, что число есть точный квадрат.14.

14. При каких натуральных дробь является целым числом

15. Решите уравнение в целых числах: .

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

Блинков средние в арифметике и геометрии. - М.: Изд-во МЦНМО, 2012.

, Савин о математике. Книга 1. Дискретные объекты. - М.: Изд-во МЦНМО, 2005.

Виленкин о множествах. - М.: Изд-во МЦНМО, 2005.

Горбачев олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.

, Тонких и практика решения текстовых задач. М.: Издательский центр «Академия», 2002.

 Г.. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). 4-е изд., стереотипное. - М.: МЦНМО, 2008.

Кноп и алгоритмы. - М.: Изд-во МЦНМО, 2011.

Кузьмин методы решения логических задач. - М.: Дрофа, 2006.

, Канин шкатулка. - М.: Дрофа, 2006.

Петров игры. - М: Книжный дом «Либроком», 2011.

Спивак и одна задача по математике. М.: Просвещение, 2002.

Успенский примеры математических доказательств. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009.

Шень : примеры и задачи. - М.: Изд-во МЦНМО, 2008.

Чулков задачи. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009.

б) дополнительная литература:

, Фрибус задачи: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1994.

Галкин задачи по математике: задачи логического характера. Кн. для учащихся 5-11 классов. М.: Просвещение,, 1996.

Задачи, вопросы и софизмы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

, , Розенталь работа по математике. М.: Просвещение, 1984.

Депман арифметики. – М.: Просвещение, 1965.

История элементарной математики с указаниями на методы преподавания. – Одесса: Mathesis, 1910.

Лихтарников ребусы. - СПб.: Лань, МИК, 1996.

Мерзляков и аналоги четности. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2002.

Мельников задачи по теории графов. - Минск: НТ, 2001.

Савин математические задачи. - М.: АСТ, 1995.

Принцесса или тигр? – М.: Мир, 1985.

Фомин счисления. - М.: Наука, 1968.

Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта +, 2000.

Энциклопедия элементарной математики, книги I-V. – М.: Физматгиз, Москва, 1961 - 1966.

в) мультимедийные средства: компьютерная система «Математика», графический компьютерная программа презентаций «PowerPoint».

г) интернет-ресурсы: etudes. ru, exponenta. ru, math. ru, www. mathedu. ru, mccme. ru, problems. ru.

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

-  оборудование аудитории: компьютер, проектор, интерактивная доска;

-  наглядные пособия плакаты и модели;

10. Аннотация рабочей программы дисциплины

Элементарная математика (Арифметика)

1. Цель дисциплины: обобщение и систематизация знаний студентов по ключевым темам школьного курса арифметики, повторение и закрепление основных разделов школьного курса арифметики с точки зрения заложенных в них фундаментальных идей, содействие становлению специальной профессиональной компетентности студентов в области арифметики, формирование готовности к использованию полученных в результате изучения дисциплины знаний и умений в профессиональной деятельности.

2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Элементарная математика (Арифметика)» входит в вариативную часть профессионального цикла учебного плана бакалавра с профилями подготовки «Математика и Информатика», «Математика и Экономика».

3. Требования к результатам освоения дисциплины: Процесс изучения дисциплины направлен на формирование и развитие компетенций: ОК1, ОК6, ОК8, ОК16, ОПК1, ОПК5, СК1, СК3, СК6, СК9, СК21.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление об истории возникновения и развития элементарной математики, об ученых–математиках, о современном состоянии арифметики, направлениях ее развития и приложениях;

познакомиться с классической и современной литературой по элементарной математике: учебниками, сборниками задач, статьями в журналах, интернет-ресурсами по математике.

знать основные понятия арифметики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

владеть важнейшими методами арифметики, уметь применять их для доказательства теорем и решения задач.

4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часов).

5.  Семестры: 3, 4.

6.  Основные разделы дисциплины: Множества, индукция, системы счисления, графы, комбинаторика, вероятность, уравнения, неравенства.

7. Автор(ы): - доцент кафедры элементарной математики и методики обучения математике.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению «Педагогическое образование» и профилями подготовки «Математика и Информатика», «Математика и Экономика»..

Автор: доцент кафедры элементарной математики и методики обучения математике

Программа одобрена на заседании кафедры элементарной математики и методики обучения математике от 01. 09. 2015 года, протокол № 1.

Зав. кафедрой ______________________

.

«___» ______________ г.