Математический анализ (стр. 23 )

Лекция 17. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций

(тригонометрический ряд Фурье)

Тригонометрической системой функций называется система функций

Это – периодические функции.

Докажем два свойства периодических функций.

1)  Если функция имеет период , то функция имеет период .

Доказательство. .

2)  Если функция имеет период , то .

Доказательство. =

(делаем замену переменных в последнем интеграле )

.

Доказанные свойства позволяют

1)  рассматривать тригонометрическую систему функций на любом отрезке длиной (период равен , ), например на отрезке ,

2)  при вычислениях интегралов от функций с периодом, кратным , проводить интегрирование по любому отрезку длиной .

Так как элементы тригонометрической системы функций представляют собой непрерывные функции, то они сами и их квадраты (как произведение непрерывных функций) интегрируемы на отрезке . Поэтому можно рассматривать пространство L2 на отрезке и строить ряд Фурье.

Скалярное произведение функций введем так:

Для того, чтобы построить ряд Фурье по тригонометрической системе функций надо доказать, что эти функции попарно ортогональны на .

Теорема. Тригонометрическая система функций состоит из попарно ортогональных на отрезке функций.

Доказательство. . ,

,

Пусть .

Теорема доказана.

Вычислим скалярные квадраты элементов тригонометрической системы.

,

.

Составим ряд Фурье по тригонометрической системе функций

.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле .

,

,

.

Теперь необходимо сформулировать условия, при которых функция представляется рядом Фурье по тригонометрической системе функций.

Условия Дирихле.

1)  Интервал, на котором определена функция, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна.

2)  Функция в области определения непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода.

Теорема Дирихле.

Пусть функция задана на некотором сегменте и удовлетворяет на нем условиям Дирихле. Тогда функция может быть разложена на этом сегменте в сходящийся к ней ряд Фурье по ортогональной системе функций .

В точке непрерывности функции , где - сумма ряда Фурье.

В точке разрыва функции .

Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье

Теорема. Пусть функция определена на отрезке , разлагается на нем в тригонометрический ряд Фурье и непрерывна на нем вместе со своими производными до p –1 порядка включительно. Пусть Если p –ая производная функции кусочно непрерывна на интервале , то коэффициенты Фурье - бесконечно малые функции по отношению к .

Доказательство.

=.

Здесь - коэффициенты Фурье для функции .

Продолжая аналогично интегрирование по частям, получим

. Из этих соотношений следует

Из этого соотношения или непосредственно можно получить аналогичное соотношение для .

Поэтому , где или - n –ый коэффициент Фурье.

По следствию из равенства Парсеваля для коэффициентов Фурье самой функции и ее производных.. Следовательно, . Теорема доказана.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию и построить график суммы ряда .

Продолжим заданную функцию периодически на всю ось. Тогда функция будет иметь разрывы первого рода в точках . В этих точках функция будет принимать значение , равное, по теореме Дирихле, полусумме левого и правого пределов функции . В остальных точках значения функций и будут совпадать.

Вычислим коэффициенты Фурье.

,