Математический анализ (стр. 3 )

, где - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P1, P3, P4, P2.

P1   y   x   P3   P4   P2   Q1   Q2   Q4   Q3   v   u

Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),

Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

.

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.

.

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

Приложения двойного интеграла

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Пусть поверхность s, площадь которой надо вычислить, задана уравнением F(x, y, z) = 0 или уравнением z = f(x, y). Введем разбиение s на ячейки Dsk, не имеющие общих внутренних точек, площадью Dvk. Пусть область s и ячейки Dsk проектируются на плоскость OXY в область D и ячейки Ddk площадью Dsk. Отметим на ячейке Ddk точку Mk. В точке Qk (ячейки Dsk), которая проектируется в точку Mk, проведем единичный вектор нормали nk {cosak, cosbk, cosgk} к поверхности s и касательную плоскость.

Если приближенно считать равными площадь Dvk ячейки Dsk и площадь ее проекции на касательную плоскость, то можно считать справедливым соотношение Dvk cosgk = Dsk. Выразим отсюда Dvk=Dsk/ cosgk. Будем измельчать разбиение при условии max diam Dsk ®0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Ddk ®0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность s задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае , .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

. .

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dmx = y dm = y r(x, y) ds,

dmy = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJx = y2 dm = y2 r(x, y) ds,

dJy = x2 dm = x2 r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ0 = dJx + dJy.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , ,

J0 = Jx + Jy.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).