Математический анализ (стр. 4 )

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

=.

Эта формула известна в теоретической механике.

Замечание о несобственных двойных интегралах

Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).

Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл второго рода[4] определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .

Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .Вычислим этот интеграл по области .

.

=

=

Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.

Пример. Вычислить интеграл Пуассона .

Неопределенный интеграл «не берется». Но двойной интеграл по области равен

I =.

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим

I = .

Поэтому = . По четности .

Лекция 3 Тройной интеграл

Задача о массе пространственного тела

Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.

Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.

Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) Dvk с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).

На каждом элементе разбиения – элементарной области отметим точку Mk(xk, yk, zk). Вычислим плотность в этой точке f(xk, yk, zk) = f(Mk) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области Dvk приближенно равна = f(Mk) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляя интегральную сумму), приближенно получим массу области V

Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).

.

Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу[5].

Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла[6].

Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.

Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.

Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.

Теорема существования. Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит[7]:

1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.

Свойства тройного интеграла

1.  Линейность
а) =+

б) =
Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в левой части равенства, в ней делают нужную операцию (это возможно, т. к. число слагаемых конечно) и получают интегральные суммы для интегралов в правой части. Затем, по теореме о предельном переходе в равенстве, переходят к пределу, и свойство доказано.

2.  Аддитивность (по множеству)
=+

Доказательство проводится, как и ранее, через интегральные суммы с использованием замечания к теореме существования.

Разбиение выбирается и измельчается так, чтобы граница областей V, W состояла из границ элементов разбиения (это можно сделать, учитывая замечание). Тогда интегральная сумма для интеграла в левой части равенства равна сумме двух интегральных сумм, каждая для своего для интеграла в правой части равенства. Переходя к пределу в равенстве, получаем требуемое соотношение.

3.  , где – объем области V.
Интегральная сумма для интеграла в левой части =

4.  Если f(x, y, z) ³g(x, y, z), то ³.
Переходя к пределу в неравенстве ³(по теореме о переходе к пределу в неравенстве), получим требуемое соотношение.
Следствие. Если f(x, y, z) ³0, то ³0.

5.  Теорема об оценке интеграла. Если m £f(x, y, z) £M, то

mV££MV.

Интегрируя неравенство m £f(x, y, z) £M, по свойству 4 получим требуемое неравенство.