Математический анализ (стр. 24 )

.

. Проверьте, выполнив интегрирование по частям.

Из таких разложений часто можно получать суммы числовых рядов.

Например, подставим в разложение , получим

.

Подставим в разложение , получим

.

Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке

Выше были получены формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке (или периодических функций с периодом ).

Выведем формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

Если функция задана на отрезке (или периодическая с периодом ), то функция имеет период (первое свойство периодических функций). Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье для функции с периодом .

= .

, , .

Сделаем в этих формулах замену переменных

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции . Возвращаясь к переменной x, заменяя формально t на x, получим формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции .

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию ,

не вычисляя коэффициенты ряда Фурье.

Функция непрерывна, по теореме Дирихле

,

,

,

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Свойства четных и нечетных функций.

1)  произведение четных функций – четная функция. Произведение нечетных функций – четная функция, произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

Обозначим - нечетную и четную функции:

.

Получим

,

.

2) 

.

Рассмотрим формулы разложения функции , заданной на отрезке в ряд Фурье

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции .

Если функция четна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 под интегральные функции в . Следовательно,

, , .

= (в точках непрерывности функции). Четная функция разлагается по четным функциям.

Если функция нечетна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 подинтегральные функции в . Следовательно,

, ,..

= (в точках непрерывности функции). Нечетная функция разлагается по нечетным функциям.

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке по синусам и косинусам кратных дуг

Так как функция задана на отрезке , то ее можно доопределить на отрезок четным или нечетным образом.

Если функция доопределена четным образом, то она, как четная функция может быть разложена по формулам для четной функции

, , .

= (в точках непрерывности функции).

Это – разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.

Если функция доопределена нечетным образом, то она, как нечетная функция может быть разложена по формулам для нечетной функции

, ,..

= (в точках непрерывности функции).

Это – разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.

Одну и ту же функцию, заданную на отрезке , можно разложить и по синусам, и по косинусам кратных дуг.

Пример. Разложить по косинусам и синусам кратных дуг функцию , заданную на отрезке .

Так как мы доопределяем функцию на отрезок при разложении по косинусам и синусам кратных дуг, то .

Разложим функцию по косинусам кратных дуг.

, , .

==1, .

Разложим функцию по синусам кратных дуг.

, ,..

= = , ,

(теорема Дирихле).

[1] Далее граница области предполагается кусочно-гладкой

[2] Это замечание относится ко всем рассматриваемым далее интегралам

[3] При обсуждении свойств предполагается выполнение условий теоремы существования

[4] предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции

[5] Здесь интеграл вводится несколько упрощенно. Более строгое определение интеграла приведено в выпуске VII учебника.

[6] Эти требования можно ослабить, распространив интеграл на функции со счетным числом разрывов первого рода (выпуск VII. учебника).

[7] Это очевидно, иначе предел не существует, но это стоит подчеркнуть.