Лекции по Turbo Pascal (стр. 15 )

anan-1….a2a1 = an * 2n-1 + an-1 * 2n-2 + …. + a2 * 21 + a1 * 20

где ai это символ из набора "01"

Эта система самая простая из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1. Понятно, что проще уже некуда. Примеры двоичных чисел: 10, 111, 101.

Очень важный вопрос. Можно ли, например двоичное число (или число из какой-нибудь другой системы счисления) представить в виде десятичного числа и наоборот, можно ли десятичное число представить в виде двоичного (или числа из какой-нибудь другой системы счисления).

Двоичное в десятичное. Это очень просто. Метод такого перевода даёт наш способ записи чисел. Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим следующее:

1001 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20

Выполним все записанные действия и получим:

1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0+ 0 + 1 = 9. Таким образом, получаем, что 1011(двоичное) = 9 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То же самое число, которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует четыре знака. Но это плата за простоту (бесплатно ничего не бывает). Но выигрыш двоичная система даёт огромный в арифметических действиях. И далее мы это увидим.

В свое время в Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная система счисления, ее отголоски находят у нас применение в переводе часов в минуты, минут в градусы и т. д.

При использовании системы счисления выше десятичной в обиход идут буквы, то есть, например, для шестнадцатеричной системы счисления будут использованы следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f.

Представьте в виде десятичного числа следующие числа.

а) 1101000112 (419); б) 34106(798); с) d7e816(55272); в) 522456(7013); г) 17688(1012); д) 10100039270); е) 2a01b12(58775).

Самостоятельная работа на перевод чисел в десятичную систему счисления.

Для того, чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, его нужно разложить по степеням двойки. Но если разложение по степеням десятки получается сразу, то, как разложить по степеням двойки надо немного подумать. Для начала рассмотрим, как это сделать методом подбора. Возьмём десятичное число 12.

Шаг первый. 22 = 4, этого мало. Также мало и 23 = 8, а 24=16 это уже много. Поэтому оставим 23 =8. 12 - 8 = 4. Теперь нужно представить в виде степени двойки 4.

Шаг второй. 4 = 22.

Тогда наше число 12 = 23 + 22. Старшая цифра имеет номер 4, старшая степень = 3, следовательно, должны быть слагаемые со степенями двойки 1 и 0. Но они нам не нужны, поэтому чтобы избавится от ненужных степеней, и оставить нужные запишем число так: 1*23 + 1*22 +0*21 + 0*20 = 1100 - это и есть двоичное представление числа 12. Нетрудно заметить, что каждая очередная степень - это наибольшая степень двойки, которая меньше разлагаемого числа.

Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т. д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112  =  1138  =  4B16.

Преобразуйте десятичные числа в двоичные:

а) 14 б) 29 в) 134 г) 158 е) 1190 ж) 2019

Самостоятельная работа на перевод чисел из десятичной системы счисления.

Арифметические действия в системах счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком  и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.  

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

  Сложение в шестнадцатиричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
  Пример. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.  Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21,  258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21,  1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.  
  Пример. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.
 
  Пример. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

Самостоятельная работа на сложение и умножение чисел в различных системах счисления.

Вычитание

Пример. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016
     
     
 
  Пример. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
     
     

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.  
  Пример. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
    Пример. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80 = 51.
 
  Пример. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.