Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, - методом подстановки или методом сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.
Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Две прямые могут либо пересекаться в одной точке (одно решение), либо совпадать (бесконечно много решений), либо не иметь общих точек (решений нет).
Предположим, что коэффициенты уравнений системы отличны от нуля. Тогда:
1) чтобы система имела единственное число решение, необходимо и достаточно выполнение условия: а ≠ в
а1 в1
2) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнение условия: а = в = с
а1 в1 с1
1) чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение условия:
а = в ≠ с
а1 в1 с1
Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать особо.
Пример 1. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений:
ах + а2у = 1
х + (а – 1)у = а
Решение Из второго уравнения системы найдем х и подставим его в первое уравнение:
а (- (а – 1)у +а) + а2у = 1
х = - (а – 1)у + а
Решим первое уравнение системы:
- а2у + ау + а2 + а2 у = 1
ау = 1 – а2
При а = 0, 0у = 1 – это уравнение, а значит, и система решений не имеет.
Если а ≠ 0, то у = 1 – а2 . Подставляя это значение во второе уравнение системы,
а
получим, что х = а3 – а + 1
а
Ответ: если а ≠ 0, то а3 – а + 1; 1 – а2 ; если а = 0, то решений нет.
а а
Пример 2. Для каждого значения параметра а решить систему а2х + у = а2
х + ау = 1
Решение. Из первого уравнения выразим у и подставляем во второе уравнение системы: у = а2 – а2х
х + а(а2 – а2х) = 1
Преобразуем второе уравнение к виду х (1 – а3) = 1 – а3
Если а ≠ 1, то х = 1. Подставим найденное значение в первое уравнение системы и найдем, что у = 0.
Если а = 1, то из полученного уравнения следует, что х – любое число. Положим, х = t,
t Є R. Первое уравнение системы дает в этом случае у = 1 – t
Ответ: если а ≠ 1, то х = 1, у = 0;
если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R
III Формирование навыков и умений
1. 
Для каждого значения параметра а решите систему уравнений:
а) ах + у = а2 б) ах+у=а³ в) 2х – ау = 5 г) х + 7у = 2
х + ау = 1 х+ау=1 3у – 6х = -15 3х + у = а
5х + 11у = а2 + 3а
2. Найдите все значения параметра m, при которых система имеет единственное решение.
а) 3х – 2у = 6 в) х – (m+ 1)у = m + 2
mх + у = -3 mх + у = m – 3
б) mх + mу = m2 г) 2х – 3 = 0
х + mу = 2 mx + у(m – 1) = 1,5
IV Итог . 1) Как решаются системы линейных уравнений с параметрами?
2) Какие случаи могут быть?
Ответы:
1) а) если а ≠ ±1, то х = а2 + а + 1 ; у = - а ;
а + 1 а + 1
если а = 1, то х = t, у = 1 – t; , t Є R; если а = -1, то решений нет.
б) если а ≠ ±1, то х = а2 + 1, у = - а; если а = -1, то х = t, у = t –1, t Є R;
если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R;
в) если а ≠ 1, то х = 2,5; у = 0;
если а = 1, то х = t, у = 2t – 5, t Є R;
г) если а = -2,8, то х = -1,08, у = 0,44;
если а= 1; то х = 1, у = 1
4 4; при других а решений нет;
2.а) при всех m, кроме m = -1,5;
б) при всех m, кроме m = 0, m = 1; в) при всех m; г) при всех m, кроме m = 1.
Занятие 7
Тема: “ Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры”
Цель: знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом подстановки; уметь использовать этот алгоритм для решения систем уравнений; содержащих параметры; уметь определить взаимное расположение прямых на плоскости (прямые пересекаются, параллельны, совпадают); развивать логическое мышление у учащихся.
Ход занятия
I. Актуализация знаний. Постановка целей.
· Пересекаются ли графики линейных функций:
у = 3 – 5х и у = - 3х + 1
у = 5х – 2 и у = 3 – 8х
у = х + 2 и 3у = 3х + 6
· Сколько решений имеет система линейных уравнений:
а) у = 5х – 3 б) у = - 2х + 1 в) у = х + 6
у = 3х + 3 у = 7 – 2х 3у = 3х + 18
II. Объяснение темы.
Рассмотрим пример 3. В зависимости от параметра а выяснить взаимное расположение прямых ах + у = 1 и х + ау = 2 – а на плоскости.
Решение. Рассмотрим систему ах + у = 1
х + ау = 2 – а
Пусть а ≠ 0, составим отношения соответствующих коэффициентов:
а ; 1 ; 1
1 а 2 – а
Условие пересечения прямых: а ≠ 1 , откуда следует, что а2 ≠ 1;
1 а то есть а ≠ ±1. Значит, данные прямые будут пересекаться при всех а, отличных от 1 и –1. Если а = 0, то уравнения прямых примут вид у = 1 и х = 2. Эти прямые имеют общую точку, если а = -1, то соотношения примут вид
- 1 ; - 1 ; 1 ,
1 1 3
что означает параллельность прямых. При а = 1, все три дроби равны, и потому прямые совпадают.
Ответ: если а ≠ ±1, то прямые пересекаются;
если а = -1, то прямые параллельны;
если а = 1, то прямые совпадают.
Пример 4. Найти все значения параметра а при которых система
3х + 7у = 20
ах + 14у = 15 имеет единственное решение.
Решение. Если а = 0, то система имеет единственное решение. Если а ≠ 0, то для единственности решения требуется, чтобы имело место неравенство 3 ≠ 7 , откуда а ≠ 6.
а 14
Ответ: при всех а, кроме а = 6.
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых система
ах – 8у = 12
2х – 6у = 15 не имеет решения.
Решение. При а = 0, система будет иметь решение. Пусть а ≠ 0. Для того, чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение соотношения:
а = в ≠ с
а1 в1 с1, которое в нашем примере запишется так: а = -8 ≠ 12
2 -6 15
Неравенство второй и третьей дробей выполнено, поэтому найдем значения параметра, при которых а = -8. Это равенство выполняется при а = 8 Ответ: 8
2 - 6 3 3
Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых система
2х + (а – 1)у = 3
(а + 1)х + 4у = -3 имеет бесконечно множество решений.
Решение. Сначала исключим из рассмотрения значения а, при которых коэффициенты уравнений обращаются в ноль. При а = -1 и а = 1 система будет иметь единственное решение. Пусть а ≠ ± 1. Тогда составим и решим пропорции
2 = а –1 = 3
а + 1 4 - 3
Так как все три дроби должны быть равны, то нет разницы, какие из них приравнивать. Поэтому выберем те, которые приведут к наиболее простому уравнению. Решим уравнение, а затем проверим выполнение равенства для оставшейся дроби. Первое равенство приведет к квадратному уравнению, а второе – к линейному: а – 1 = - 1, а = - 3
4
Подставляя а = - 3 в первую дробь, убедимся, что ее значение также будет равно – 1.
Ответ: - 3.
II. Практическая часть.
Упражнение для самостоятельной работы.
1. Найдите все значения параметра р, при которых система имеет бесконечно множество решений:
3х + ру = 3
рх + 3у = 3 Ответ: р = 3.
2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых:
а) ах – у = - 2а; х – ау = 2; если а ≠ ±1, то пересекаются
а = ±1, то параллельны;
б) 2ах + у + 6а = 0; х + 2ау + 3 = 0; если а ≠ ± 1 , то пересекаются
2
если а = ± 1 то прямые совпадают
2
3. При каких значениях параметра а система имеет бесконечное множество решений?
ах + а2у = а
х + ау = 1 Ответ: а = 0 или а = 1.
III. Итог
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
