Курс по выбору для учащихся 9 класса на тему: Уравнения с параметрами (стр. 5 )

1)  Как выяснить взаимное расположение прямых на плоскости?

2)  Как определить, когда система имеет единственное решение, а когда бесконечное множество решений?

III Задания для дополнительной работы

1.  При каких значениях параметра а систем имеет бесконечное множество решений?

а2х + у = 2

ах + ху = а3 Ответ: а = 0

2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых:

(а – 1)х + у = 7; 6х + ау = 7а. Ответ: если а ≠ -2, а ≠ 3, то прямые пересекаются; если а = -2 или а = 3, то прямые совпадают.

Занятие 8

Тема: «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Цель: выработка умения решать систем линейных уравнений, содержащих параметры; найти новые подходы к решению задач; знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом сложения и уметь использовать его; тренировать внимание и память.

Ход занятия

I.  Актуализация знаний.

Выразите одну переменную через другую:

а) 4х – 2у = 6 в) ху = 4 д) х + 2у + ху = 4

б) 3х – у = 1 г) х2 + у – 5 = 0

Устно решите системы уравнений:

а) (х – 2)(у – 3) = 1 б) х2 + 2ху + у2 = 9

х – 2 = 1 х – у = 1

у - 3

Ответ: (3; 4); (1; 2) Ответ: (3; 2) ; (-3; 4)

II.  Закрепление темы.

Пусть даны две прямые: у = к1х + в1

у = к2х + в2

Когда эти прямые параллельны? (если к1 = к2, в1 ≠ в2, тогда они параллельны).

Когда они совпадают? (если к1 = к2, в1 = в2)

Когда они пересекаются? (если к1 ≠ к2)

Рассмотрим такое задание.

1.  При каких значениях параметра а система уравнений

а + у = 0,5а2х

2х – у + 2 = 0

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Решение. Выразим в каждом уравнений системы переменную у.

а + у = 0,5а2х у = 0,5а2х - а

2х – у + 2 = 0 у = 2х + 2

Сравним коэффициенты при х. При равенстве коэффициентов при х. При равенстве коэффициентов при х (угловых коэффициентов) прямые могут либо совпадать, либо быть параллельными.

0,5а2 = 2

а2 = 4

а = ±2

При а = 2 имеем систему: у = 2х – 2

у = 2х + 2 и прямые параллельны (система не имеет решений)

При а = -2 имеем систему у = 2х + 2

у = 2х + 2 и прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений)

Ответ: при а = 2 система не имеет решений; а при а = -2 система имеет бесконечно много решений.

III Работа в группах

Консультанты проверяют задания учащихся. До этого учитель проверяет работы консультантов.

Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений

а) - 4х + ау = 1 + а

(6 +а)х + 2у = 3 + а Ответ: а = - 4

б) а2х + (2 – а)у = 4 + а2

ах + (2а – 1)у = а5 – 2 Ответ: а = ± 1

в) х + ау = 1

ах – 3ау = 2а + 3 Ответ: а = 0

- Какое условие должно выполнятся, чтобы система не имела решений?

(прямые должны быть параллельными, к1 = к2, в1 ≠ в2

IV Итог

Какие задания нужны для решения систем линейных уравнений, содержащих параметры?

V Задания для дополнительной работы

1.  Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений

2х + а2у = а2 + а – 2

х + 2у = 2 Ответ: а = - 2

2.  В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых

(а + 1)х + 3у + а = 0, х + (а – 1)у = а = 0

Ответ: если а ≠ ±2, то прямые пересекаются;

если а = -2 , то прямые совпадают;

если а = 2, то прямые параллельны

Задание 9

Тема: «Решение квадратных уравнений содержащих параметра»

Цель урока: научить учеников провести исследовании: выяснить как изменяются корни при изменении данных задачи, определить какими должны быть эти данные, чтобы корни уравнения в итоге удовлетворяли тому или иному условию. Определить при каких допустимых значениях параметров квадратное уравнение имеет решения, не имеет решений, установить количество этих решений, найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров; развивать логическое мышление.

Ход занятия

I Актуализация знаний.

1.  Какое уравнение называется квадратным уравнением?

2.  Как определяют число корней квадратного уравнения?

-  По закону дискриминанта:

если Д >0, то уравнение имеет два различных корня;

если Д = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);

если Д<0, то уравнение не имеет корней.

II Объяснение нового материала.

Рассмотрим пример 1.

При каких значениях параметра а уравнения 4х2 – 4ах + 1 = 0

1)  имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней.

Решим. Найдем дискриминант исходного уравнения

Д = 16а2 – 4 . 4 . 1 = 16а2 – 16

а) Так как уравнение имеет два различных корня, то Д = 16а2 – 16 > 0

а2 > 1

а2 – 1 > 0

+ - + (а – 1)(а + 1) > 0

-1 1

Ответ: (- ∞; - 1) U (1; + ∞)

б) Так как имеет два корня, не обязательно различных, то Д = 16а2 – 16 ≥0, а2 ≥1

и а Є (-∞; - 1] U [1; +∞)

в) Так как уравнение не имеет корней, то Д = 16а2 – 16 < 0,

а2 < 0 и а Є (-1; 1)

Ответ: при а Є (-∞; - 1) U (1; +∞) – уравнение имеет два различных корня;

при а Є (-∞; - 1] U [1; +∞) – уравнение имеет два корня

при а Є (-1; 1) – уравнение не имеет корней.

Пример 2. При каких значениях параметра уравнение

(в – 1)х2 + (в + 4)х + в + 7 = 0 имеет только один корень?

Решение. При в = 1 уравнение становится линейным:

(1 – 1)х2 + (1 + 4)х + 1 + 7 = 5х + 8 = 0; х = - 1,6

При в ≠ 1 имеем квадратное уравнение. Так как квадратное уравнение имеет один корень, то Д = 0.

Д = (в + 4)2 – 4(в – 1)(в + 7) = в2 + 8в + 16 – 4(в2 + 6в – 7) = в2 + 8в + 16 – 4в2 – 24 в + 28 = - 3в2 – 16в + 44 = 0

3в2 + 16в – 44 = 0

в1 = 2; в2 = - 22

3

Ответ: при в = 1; в = 2; в = - 22 уравнение имеет только один корень.

3

Пример 3. Решите уравнения х2- 2(а + 1)х + 4 а = 0 – относительно переменной х.

Решение. х2- 2(а + 1)х + 4 а = 0, к = - (а + 1)

Д1 = (а + 1)2 – 4 а = а2 + 2а + 1 – 4а = а2 – 2а + 1 = (а – 1)2

Д1 (а – 1)2, то уравнение имеет решение, также при всех значениях параметра а

если а = 1, то Д = 0, и х = 2

если а ≠ 1, х1 = (а + 1) + (а – 1) = 2а; х2 = а + 1 – а + 1 = 2

Ответ: при а =1, то х = 2 уравнение имеет единое решение;

при а≠ ± 1, то уравнение имеет два решения: 2а; 2.

III Применение знаний в стандартной ситуации

1.  Решите уравнения х2 – 4авх – (а2+ в2)2 = 0 относительно переменной х.

Ответ: если а2 ≠ в2, то уравнение решений не имеет;

если а2 = в2, уравнению удовлетворяет единственное значение

переменной х = 2ав.

2.  При каких значениях параметра а уравнению х2 + ах + 1 = 0 удовлетворяет единственное значение переменной х.

Ответ: а = -2, а = 2.

3.  Решите уравнение х2 – 2а + а(а + 1) = 0.

IV Итог

На что нужно обратить внимание при решении квадратных уравнений с параметрами? (при каких допустимых значениях параметров уравнение имеет решения, не имеет решении, установить количество этих решений; найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров).

V Задания для дополнительной работы

1.  Решите уравнения:

а) 4х2 – 15х + 4а3 = 0 б) х2 – 4х + а = 0

2.  При каких значениях параметров в уравнение (2в – 5)х2 – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение? Ответ: 2,5; 4

3.  При каких значениях параметра в уравнение

(2в – 5)х2 – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет два различных корня? Ответ: в≠ 2,5; 4

Занятие 10

Тема: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры»

Цель: выработка умения решать квадратные уравнения, содержащих параметры; уделять внимания задачам исследовательского характера; задаче о существовании корней квадратного уравнения (нулей квадратного трехчлена), задаче о связи знаков корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 (а≠ 0) и параметров а, в, с.; подготовить к экзамену.

Ход занятия

1.  Сформулируйте теорему Виета для приведенного уравнения.

2.  Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения.

II Применений знаний в нестандартной ситуации.

1.  Рассмотрим Пример 1.

Найдите все значения параметра в, при которых уравнение х2 – 2вх + в + 6 = 0 имеет положительные корни.

Решение. Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант его был неотрицателен (Д ≥ 0)