Пример 1. Решить неравенство –1 + 3ах ≤ 6х + 10а
Решение: Преобразуем неравенство: 3ах – 6х ≤ 10 а + 1
х(3а – 6) ≤ 10а + 1
если а = 2, то х. 0 ≤ 21, ему удовлетворяет любое х;
если а > 2, то х ≤ 10а + 1 ; если а < 2, то х ≥ 10а + 1 ;
3а – 6 3а – 6
Ответ: если а < 2, то х Є 10 а + 1; + ∞ ;
3а – 6
если а > 2, то х Є -∞; 10 а + 1; если а = 2, то х – любое число
3а – 6
2. Задание для самостоятельного решения.
Решить неравенство 2mх – 10 х ≥ m – 5
Ответ: если m >5, то х Є 1; + ∞ ; если m < 5, то х Є - ∞ 1;
2 2
если m = 5, то х – любое число
3. Рассмотрим пример 2.
Решить неравенство х – 2 . а – 1 ≤ 2 (х + 1)
а 3а
Решение. Приведем неравенство к виду 3ах – 6а + 6 ≤ 2х + 2
а а
если а = 0, то неравенство решений не имеет;
если а > 0, то умножим обе части на а и решим полученное неравенство:
3ах – 6а + 6 ≤ 2х + 2
3ах – 2х ≤ 6а – 4
х(3а – 2) ≤ 2(3а – 2);
если а = 2 , то х – любое число;
3
если а > 2 , то х ≤ 2; если 0 < а < 2 , то х ≥ 2
3 3
Рассматривая случай а < 0, придем к неравенству х (3а – 2) ≥ 2(3а – 2)
Поскольку а < 0 < 2 , то х ≤ 2
3
Ответ: если а Є ( - ∞; 0) U ( 2; + ∞), то х Є ( - ∞; 2];
3
если а = 0, то решений нет;
если а Є (0; 2 ), то х Є [2; + ∞); если а = 2 , то х – любое число
3 3
III Формирование навыков
Работа в парах. Решение неравенств.
а) ах – а2 ≥ х – 1; в) 3 (2а – х) < ах + 1
б) mх > 1 + 3х г) ах + 1 - х – 4а ≥ а 2
IV Итог
V Задания для дополнительной работы
Решите неравенство: а) ах + 16 ≤ 4х + а2 ; б) 3х + 1 - 2х – 1 ≤ х – 1
а2 – 1 а – 1 а + 1
Ответ: а) если а < 4, то х Є [а + 4; + ∞); если а = 4, то х – любое число;
если а > 4, то х Є (- ∞; а + 4];
б) а Є (- ∞; - 1) U 2; 1 , то х Є - ∞; 2а + 1 ;
3 3а – 2
если а Є (-1; 2 ) U (1; + ∞), то х Є 2а + 1 ; + ∞ ;
3 3а – 2
если а = 2, то х – любое число; а = ± 1, то решений нет
3
Занятие 13
Тема: “Уравнения и неравенство с параметрами”
Цель: выработка умения решать уравнения и неравенства с параметрами; уметь применеть метод интервалов для решения неравенства с параметрами; научить учеников думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей.
Ход занятий
I. Актуализация знаний.
1. Устная работа: 1) решит неравенства: 2х + 3 < х + 4
х < 0; х + 12 < х + 5; 2х + 4 < 2х + 4 – нет решения
6
х >1; х + 13 > х + 17
3
2) укажите область определения функции у = √х – 3; у = √2х – 4; у = √2 – х
II Формирование навыков и умений
Рассмотрим пример 1.
Найти все значения периметра а, при каждом из которых неравенство х – а < 0
х – 8а
выполняется при всех х таких, что 2 ≤ х ≤ 4.
Решение. Сначала решим неравенство х – а < 0 методом интервалов. Для этого
х – 8а
определим положение чисел а и 8а на координатной прямой. Пусть а < 8а, то есть
а > 0. Тогда решением неравенства будет интервал а < х < 8а. Это неравенство по условию должно выполняться для всех 2 ≤ х ≤ 4, то есть отрезок [2; 4] должен содержаться в интервале (а; 8а). Это требование равносильно системе
а < 2
8а > 4 из которой следует, что 1 < а < 2 если а > 8а, то а < 0, и оба числа
2
а и 8а будут отрицательными, что не удовлетворяет условию 2 ≤ х ≤ 4
Ответ: 1 < а < 2
2
Пример 2. Решить неравенство а2х – а2 + 9 < х – 4(а – 3)
Решение. а2х – а2 + 9 < х – 4(а – 3)
а2х – х < а2 – 4а + 3
х(а – 1)(а + 1) < (а – 1)(а – 3)
При а = -1 будем иметь 0х < 8, что выполнено при всех х. При а = 1, 0х < 0 – решений нет
При │а│< 1, то х > а – 3 ; при │а│> 1, то х < а – 3
а + 1 а + 1
Ответ: если │а│< 1, то х Є а – 3 ; + ∞
а + 1
если │а│> 1, то х Є - ∞; а – 3 ; если а = -1, то х – любое; если а = 1, то решений
нет. а + 1
Пример 3. При каких значениях параметра р неравенство
( р2 – р – 2)х ≤ р5 – 4р4 + 4р3 не имеет решений?
Решение. Разложим на множители многочлены в левой и правой частях неравенства: (р + 1)(р – 2)х ≤ р3 (р – 2)2. Из этого неравенства заключаем, что при
р = -1, оно примет вид 0х ≤ - 9. Это неравенство решений не имеет. Легко проверить, что при других р неравенство будет иметь решения. Ответ: р = -1.
Упражнения для самостоятельной работы.
Решите неравенства:
а) mх < 4 – 2х; в) а2х + 1 - а2 х + 3 < а + 9х
2 3 6
б) 5 + кх ≤ 5 + к; г) 2х – m - m < 3
(m – 2)(х + 3) m – 2 х + 3
д) ах – 3 - а > а – 1
х – 3 2
IV Итог
Учитель проверяет работы консультантов, а они в свою очередь, проверяют остальных. Объясняют правильный ход решения, вместе исправляют ошибки. Учитель помогает индивидуально каждому.
Решите неравенства:
а) 6 > 0; б) 3 > 1 ; в) 5 > 4а
х – а ах + а 5 х – 4а
Ответ: а) если а < 0, то х Є - ∞; а + 6 U (а; + ∞)
а
если а = 0, то х Є (0; + ∞); если а > 0, то х Є а; а + 6
а
б) если а < 0, то х Є 15 – 1 ; - 1 ; если а = 0, то решений нет;
а
если а > 0, то х Є - 1; 15 – 1 ;
а
в) если а < 0, то х Є - ∞; 4а + 5 U (4а; + ∞);
4а
если а = 0, то х Є (0; + ∞); если а > 0, то х Є 4а; 4а + 5
4а
Задание 14.
Тема: “Неравенства и системы неравенств с параметрами”
Цель: научить вырабать способ решения неравенства и системы неравенств с параметрами; научить увидеть всевозможных вариантов и подвариантов на которые распадается основой ход решения, понимать цели выполняемых действии; расширять математический кругозор.
Ход занятия.
I. Актуализация знаний.
1. Что называется системой линейных неравенств с одним неизвестным?
2. Как можно решить систему линейных неравенств?
II. Объяснение материала.
Для того чтобы решить систему линейных неравенств, надо решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую часть полученных решений. Она и будет решением этой системы. И при этом надо учесть параметр.
Рассмотрим пример 1.
При каких значениях а система неравенств – 5х < 10
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
