Курс по выбору для учащихся 9 класса на тему: Уравнения с параметрами (стр. 6 )

Оба корня положительны, если сумма корней положительна (х1 + х2 > 0) и произведение корней положительно (х1 . х2 >0).

Пусть х1 и х2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета:

х1 + х2 = 2в, х1 . х2 = в + 6. Имеем систему неравенств:

х1 + х2 = 2в > 0 в> 0 в> 0

х1 . х2 = в + 6. > 0 в> -6 (в – 3)(в + 2) ≥ 0

Д ≥ 0 4в2 – 4(в +6) ≥ 0

Решим квадратное неравенство:

4в2 – 4в – 24 ≥ 0 + - +

в2 – в – 6 ≥ 0 -2• 0 • 3

(в – 3)(в + 2) ≥ 0 Ответ: [3; + ∞)

2.  Задания для самостоятельного решения: Сборник, № 60(1,2) – «Итоговая аттестация» , стр 107.

3.  Рассмотрим пример 2

При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 7 = 0 меньше 7?

Решение. Рассмотрим функцию ƒ(х) = х2 – ах + 7. Графиком данной функции является парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами. у

ƒ(х)

7 х

 

Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы

ƒ(7) > 0

Д ≥ 0

Хвершины <7

Решим каждое из этих неравенств.

ƒ(7) = 49 – 7а + 7 > 0; Д = а2 – 28 ≥ 0

а< 8 (а - 2√7)(а + 2√7) ≥ 0

 

+ - +

-2√7 0 2√7

а Є (-∞;- 2√7] U [2√7; +∞)

Хвершины = - в = - - а = а ; а < 7 а < 14

2а 2 2 2

-2√ 7 2√ 7 8 14

Ответ: а Є (-∞;- 2√7] U [2√7; 8)

4.  Рассмотрим пример 3.

При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения

х2 – ах + 7 = 0.

Решение. Рассмотрим функцию ƒ(х) = х2 – ах + 7. Чтобы число 7 разделяло корни уравнения, достаточно, чтобы

у ƒ(х) ƒ (7) < 0

Решим неравенство ƒ (7) = 49 – 7а + 7 < 0

а > 8

7 х

Ответ: при а > 8, то число 7 находится между корнями уравнения х2 – ах + 7= 0

5. Задания для самостоятельного решения.

1)  Сб. М 259 (1) «Итоговая аттестация», стр. 107

2)  Сб. № 000 (1)

III Итог

Какие задания мы сегодня научились решать? (Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек).

IV Задания для дополнительной работы

3)  Сб. № 000 (2), № 000 (2), № 000.

«Итоговая аттестация», стр. 107

Задание 11

Тема: « Решение дробно–рациональных уравнении, содержащих параметры»

Цель: знать алгоритм решения дробно - рациональных уравнений; научить применять этот алгоритм для решения дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры; добиться более глубокого прочного усвоения программных вопросов найти новые подходы к решению задач; воспитывать сотрудничество и взаимопомощь между учениками.

Ход задания

I.  Актуализация знаний.

-  Какое уравнении называется дробно – рациональными?

-  Как решают дробно – рациональные уравнения? (алгоритм)

-  А как решать дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры?

II.  Объяснение темы.

Для решения дробно – рационального уравнения, нужно привести его к виду дробно – линейного уравнения: ах + в = 0 и пользоваться равносильностью

сх + d

ах + в = 0 ах + в = 0

сх + d сх + d ≠ 0

Рассмотрим пример.

При каких значениях параметра а все решения уравнения а – 1 = 2х + 7

х + 6 (х + 2)2 – х – 22

не положительны?

Решение. а – 1 = 2х + 7 а – 1 = 2х + 7

х + 6 (х + 2)2 – х – 22 х + 6 (х + 6)(х – 3)

соберем все слагаемые в левой части уравнения, приведем к общему знаменателю и выполним преобразования в числителе:

(а – 1)(х – 3) – 2х – 7 = 0 ах – 3а – 3х –4 = 0 (а – 3)х = 3а +4

(х + 6)(х – 3) (х + 6)(х – 3) х ≠ - 6

х ≠ 3

Решим линейное уравнение: (а – 3)х = 3а + 4; если а = 3, то решений нет;

если а ≠ 3, то х = 3а + 4

а – 3

По условию задачи нам надо найти неположительные решения. Если х ≤ 0, то случай х = 3 невозможен, и достаточно решить систему

3 а + 4 ≤ 0

а – 3

3а + 4 ≠ - 6

а – 3 Решением неравенства 3 а + 4 ≤ 0

а – 3 будет

промежуток - 4 ≤ а < 3, второе соотношение системы даст а ≠ 14

3  9

Число 14 меньше 3, поэтому его нужно исключить из промежутка.

9

Ответ: а Є - 4 ; 14 U 14 ; 3

3 9 9

III Применение знаний в стандартной ситуации

Решите уравнения (работают группами)

а) 1 + х = а ; б) а = 1 + а – 1

1 – х с а а(х – 1)

в) х – 3 m - 2m + 3 = m - 5

х2 – 9 х + 3 х – 3

Проверяется у доски.

Ответы: а) если а ≠ - с, с ≠ 0, то х = а – с ; если а = - с, с = 0, то решений нет

а + с

б) если а ≠ ±1, а ≠ 0, то х = а + 2 ; если а =1, то х Є (-∞; 1) U (1; +∞);

а + 1;

если а = -1, или а = 0, то решений нет.

в) если m ≠ - 5, m ≠ 1, m ≠ 1, m ≠ 11, то х = 8 ;

3 3 m -1

если m = - 5 или m = 1, или m = 11 , то решений нет.

3  3

IV Итог. Как решаем дробно – рациональных уравнений, содержащих параметр? К какому виду надо его привести?

V Задания для дополнительной работы.

Решите уравнение:

а) 1 = 2

х – 2а ах – 1

Ответ: если а ≠ 2, а ≠ ± 1 ; то х = 4а – 1; если а = 2 или а = ± 1 , то нет решений.

√2 2 – а √2

б) 3mх – 5 + 3m – 11 = 2х + 7

(m – 1)(x+ 3) m – 1 х + 3

Ответ: если m ≠ - 2 , m ≠ 1, m ≠ 9 , то х = 31 – 2m

5 4 4m – 9

если m = - 2 , m = 1, m = 9 , то решений нет

5 4

Занятие 12

Тема: « Уравнение и неравенства с параметрами»

Цель: выработка умения решать уравнений с параметрами; научить решать неравенство с параметрами, рационализации поиска их решения; подбору наиболее удачных способов их решения; выстраиванию алгоритмов; помощь при подготовке к экзамену.

Ход занятия

I Актуализация знаний.

1.  Что называется решением неравенства с одним неизвестным? Что значит решить неравенство с одним неизвестным?

2.  Какие неравенства называется равносильными?

3.  Какие свойства есть о равносильности неравенств?

II Объяснение темы

1.  Рассмотрим неравенства, которые после преобразования приводятся к линейным неравенствам вида ах > в, где а и в – параметры. При решении таких неравенств необходимо рассматривать случаи а = 0, а > 0, а < 0.