Математика и информатика (стр. 2 )

Непротиворечивость – важнейшее свойство теории аксиом, поскольку в противоречивых теоретических моделях можно провести доказательства, приводящие к несовместимым результатам. Естественно, такие модели не интересуют математиков.

Аксиоматическая теория T называется непротиворечивой, если для любого утверждения A, сформулированного в терминах этой теории, либо само утверждение A, либо его отрицание А недоказуемо в этой теории T. Если для некоторого утверждения A теории T оба утверждения A и А доказуемы в T, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Критерием непротиворечивости является также практика. Именно в практической применимости теории оценивается адекватность отражения теорией материального мира и степень убежденности в непротиворечивости аксиоматической теории.

Полной системой аксиом некоторой теории считается система, являющаяся достаточной для доказательства или опровержения любого утверждения, сформулированного в рамках данной теории. Соответственно неполноту теории доказывает некоторое предложение А, сформулированное в рамках этой теории, недоказуемое и неопровержимое в ней. Исследование системы аксиом на полноту является непростой задачей. Однако иногда удается доказать неполноту теории, указав конкретное предложение, недоказуемое и неопровержимое в этой теории (предложение A теории T называется неопровержимым, если в T нельзя доказать предложение А).

Непротиворечивая и полная аксиоматическая теория называется максимально-непротиворечивой, т. е. любое добавление некого утверждения в качестве аксиомы делает эту теорию противоречивой.

Множество аксиом, образующих систему, называется независимым, если исключение любой аксиомы из этого множества приводит к уменьшению запаса теорем; в противном случае множество аксиом называют зависимым. Независимая аксиома не может быть выведена из остальных аксиом. Независимость какого-либо множества аксиом равносильна тому, что независима каждая аксиома из этого множества. Независимость не является обязательным требованием для системы аксиом. Независимость системы аксиом свидетельствует в известном смысле об изяществе этой системы. Не всегда для той или иной аксиоматической теории целесообразно выбирать независимую систему аксиом: изящество системы аксиом может привести к громоздкости доказательств теорем теории. По отношению к формальным системам и логическим исчислениям имеет смысл говорить о независимости правил вывода. Логические исчисления (математическая, формальная логика) это теория логических вычислений, используемых для доказательства в различных теориях. Правило вывода называется независимым, если существует теорема данного исчисления, которая не может быть выведена без использования этого правила.

Как отмечалось выше, аксиоматическое построение теории не учитывает характер первоначальных понятий и других элементов, принадлежащих этой теории. Однако этим понятиям можно приписывать некоторые значения.

Пусть множество Т – множество первоначальных понятий теории. Рассмотрим отображение f, для которого множество Т является областью определения. Если f(T) удовлетворяет всем аксиомам данной теории, то f(T) называется моделью данной аксиоматической теории, а отображение f – интерпретацией теории. Таким образом, множество объектов и соответствий между ними, являющиеся интерпретацией аксиоматической теории и удовлетворяющие её системе аксиом, можно рассматривать как модель этой теории. Для неформальных аксиоматических теорий вопрос о непротиворечивости во многих случаях удается решить с помощью понятия модели. В самом деле, если теория противоречива, то каждая ее модель содержит противоречие, потому что пара противоречащих друг другу теорем теории (A и А) переводятся в два противоречащих друг другу высказывания о модели. Теория непротиворечива, если для нее удается указать модель, свободную от противоречий.

Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей. Австрийским математиком Куртом Гёделем была доказана невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий. Многие крупные ученые – математики и философы – к числу величайших достижений научной мысли минувшего столетия относят доказательство Гёделем теоремы, суть которой состоит в том, что для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Из этого следует невозможность полной формализации научного знания. Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограничено. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена и служит целям более точного ее представления, а частности, строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики.

Раздел 2. Предмет математической логики

Логика – наука о законах мышления и его формах

Толковый словарь

В этом определении тесно прослеживается связь с психологией – так как мышление – это высшая форма познавательной деятельности, один из важнейших процессов, в котором устанавливаются связи и отношения между объектами. Мышление носит знаковый характер, выражается словом. Его материальной основой является речь. «Логика» происходит от греческого слова «логос», что в переводе означает «слово», «речь» и изучает такие процессы мышления, которые фиксируются в виде слов, предложений и их совокупностей. Логика – ход рассуждений, умозаключений, в результате которых результат приобретает четкость и определенность.

Основоположником традиционной или формальной логики по праву считают Аристотеля - древнегреческого ученого IV века до н. э. Формальная логика изучала формы мыслей и их сочетаний, отвлекаясь от конкретного содержания суждений и понятий. Первые подходы к логике как к разделу математики были разработаны немецким ученым Готфридом Лейбницем в XVII веке. 20-летний Лейбниц задумал проект математизации логики. Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции и их свойства. Он опередил время почти на два века. Только в середине XIX века английский математик Джордж Буль вновь обратился к логической проблематике. Им были высказаны идеи применения символического метода к логике. Буль показал, что символика высказываний подчиняется алгебраическим законам, а высказывания могут быть сведены к форме уравнений.

Независимо от Дж. Буля элементы логики высказываний и теоретико-множественные соотношения были изложены шотландским математиком Августом де Морганом в 1847 году. Последние известны как законы де Моргана. Исследования этих математиков положили начало новой науки – математической логики – разделу математики, изучающему доказательства и вопросы оснований математики - науки, применяющей математические методы и специальный аппарат символов.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие – нет. Важную роль в математической логике играют понятия аксиоматического метода и исчислений. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И. Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно.

В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте.

Возникшая как область «чистой» математики, в высшей степени абстрактная наука, математическая логика находит многочисленные применения в медицине, праве, биологии, психологии, экономике, кибернетике и т. д.

Раздел 3. Алгебра высказываний

Алгебра логики – раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Логика высказываний (или пропозициональная логика) является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений, известной ещё со времён античности.

Логическое высказывание – утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух значений – ложь (0, ложно, false) или истина (1, истинно, true). Логическое высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами.

Не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные, восклицательные предложения и предложения, о которых не может быть единого мнения о том, истинны они или ложны.

Например: «А2=4» не является высказыванием, так как нужны дополнительные сведения для того, чтобы сказать, истинное это высказывание или ложное. В данном примере субъект А является неопределенным, он не обозначает конкретного числа. Вместо него в равенство нужно подставить элементы из некоторого множества значений переменной. Каждому значению элементов из этого множества будет соответствовать либо истинное, либо ложное высказывание.