Математика и информатика (стр. 1 )

АКАДЕМИЯ ТРУДА И СОЦИАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Кафедра информационных систем управления

и вычислительной техники

, ,

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

МАТЕМАТИКА. Часть 1

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

(Для подготовки студентов по специальности
030602 «Связи с общественностью»)

Москва – 2010

АКАДЕМИЯ ТРУДА И СОЦИАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Кафедра информационных систем управления

и вычислительной техники

, ,

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

МАТЕМАТИКА. ЧАСТЬ 1

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

(Для подготовки студентов по специальности
030602 «Связи с общественностью»)

Москва – 2010

Журина, М. А., Курочкин, А. В., Розанов, и информатика. Математика. Часть 1 : учебное пособие / ст. преп. , канд. физ.-мат. наук, доцент , канд. техн. наук . – М. : Издательский дом «АТИСО», 2010. – 34 с.

В учебном пособии рассматриваются основы аксиоматического метода и математической логики. Приведены основные положения алгебры высказываний, даны примеры составления таблиц истинности, формализации высказываний, проверки равносильности формул алгебры высказываний.

Учебное пособие предназначено для подготовки по специальности 030602 «Связи с общественностью».

Рецензент – доцент кафедры «Математическое моделирование экономических процессов» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве РФ», канд. физ.-мат. наук
.

Утверждено Ученым советом АТиСО 11 сентября 2009 г.

© Академия труда
и социальных отношений, 2010

© , ,
, 2010

Введение

Основной целью курса «Информатика и математика» является ознакомление студентов с навыками работы в условиях современной информационной реальности.

Материал по дисциплине «Информатика и математика» разделен на две части. Настоящее пособие посвящено первой части и предназначено для подготовки по специальности 030602 «Связи с общественностью».

В пособии рассмотрены вопросы, относящиеся к темам «Аксиоматический метод» и «Основы математической логики».

Во второй части рассмотрены вопросы, относящиеся к основам теории вероятностей и математической статистики.

В начале каждого раздела приведено краткое теоретическое изложение материала, затем даны примеры заданий к нему с разбором решений и рекомендациями к самостоятельной работе.

Для получения дополнительных знаний рекомендуется воспользоваться указанной литературой. В пособии использова-
ны некоторые задания из раздела 5 практикума по курсу «Информатика и математика» (, . – М. : АТиСО, 2007).

Раздел 1. Аксиоматический метод

Одним из способов построения научной теории является аксиоматический метод. Греческое слово аксиома означает бесспорную, не требующую доказательств истину. В самом толковании этого слова подразумевается некоторая интуитивная очевидность. Первые представления об аксиоматическом методе возникли в Древней Греции и связаны с именами Платона, Аристотеля, Евклида. Для аксиоматических теорий этого периода характерно интуитивное использование логических правил. Подобные теории называются неформальными или интуитивными. Построение аксиоматической теории состоит из следующих этапов:

1 этап. Задается некоторое множество понятий, называемых основными, первичными, неопределяемыми в рамках данной теории и отношения между ними. Например, Евклид рассматривал в качестве первичных понятия "точка", "прямая" и "лежать на". Последнее из понятий характеризовало некоторое соответствие между точками и прямыми. Попытки определения первичных понятий приводят к тому, что последние определяются, в свою очередь, через другие понятия, которые также должны определяться. Процесс последовательных определений приводит к регрессу в бесконечность, либо к ситуации, при которой в результате конечного числа последовательных шагов понятие определяется через самое себя. Таким образом, возникает некий замкнутый круг. Поэтому некоторые понятия приходится считать первичными и не давать им никаких определений. Природа познания неопределяемых понятий неизвестна. В геометрии Евклида существуют некоторые очень расплывчатые определения основных понятий. Его первая книга «Начал»
начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых
из них:

- точка есть то, что не имеет частей;

- линия есть длина без ширины;

- границы линии суть точки;

- точка есть пересечение двух прямых;

- прямая есть пересечение двух плоскостей;

- плоскость есть ограниченное пространство;

- параллельные суть прямые, которые находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с одной стороны между собой не встречаются.

Все свойства первичных понятий, которыми можно пользоваться в аксиоматической теории, описываются в аксиомах.

2 этап. Выбирается исходное множество аксиом, т. е. положений, принимаемых без доказательства в рамках некоторой теории. Невозможно доказать все справедливые утверждения о первичных понятиях. При доказательстве любого утверждения нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, – на следующие, и так без конца. Возникает ситуация, аналогичная с попытками определения основных понятий. Таким образом, здесь также необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их справедливыми в данной теории. Первичные утверждения Евклид делит на постулаты и аксиомы. Различия между ними установить очень трудно и с современной точки зрения их можно называть аксиомами. Наиболее, по мнению Евклида, очевидные утверждения о точках и прямых следующие:

1)  от всякой точки до всякой точки можно провести прямую;

2)  ограниченную прямую можно продлить в неограниченную;

3)  из любого центра можно провести окружность любого радиуса;

4)  все прямые углы равны;

5)  если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 180°, то эти прямые пересекаются при их достаточном продолжении с этой стороны (основной).

3 этап. Определяются правила введения новых понятий. Как отмечалось выше, первичные понятия аксиоматической теории не определяются. Вместе с тем, все другие понятия, которые предполагается использовать в теории, должны быть строго определены через первичные неопределяемые понятия и через понятия, смысл которых был определен раньше. Высказывание, определяющее таким способом некоторое понятие, называется определением, а само понятие, смысл которого определен, носит название определяемого понятия.

4 этап. На основе аксиом и определений чисто логическим путем выводятся новые утверждения о первичных и определяемых понятиях – теоремы. Таким образом, теорема – есть утверждение, истинность которого доказывается либо на основании множества аксиом, либо на основании ранее доказанных утверждений.

Доказательством или выводом в аксиоматической теории T называется конечная последовательность В1, В2, ..., Вs высказываний теории, в которой каждое высказывание является либо аксиомой, либо получается из предыдущих высказываний данной последовательности с помощью логических правил вывода.

Совокупность полученных таким образом положений образует теорию, являющуюся разделом некоторой науки или самой наукой. Изложенный метод построения теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом условен. Одно и то же утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлен по-иному.

Систему аксиом, лежащую в основе всех доказательств, Евклид называл «Началами», которые безусловно существуют, но «относительно чего не может быть доказано, что оно есть».

Во второй половине 19 века возникает острая необходимость в обоснованиях математики. Дело в том, что в одном из разделов математики (в теории множеств) были обнаружены противоречия, названные парадоксами теории множеств. В связи с исследованиями в области обоснования математики и математической логики аксиоматическую теорию начинают рассматривать как формальную систему, устанавливающую соотношения между её элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, принадлежащих ей. Впервые за три тысячелетия ученые-математики вплотную подошли к изучению самых глубинных основ своей дисциплины. Особое внимание в упомянутых исследованиях уделяется утверждениям – аксиомам, таким их свойствам, как непротиворечивость, полнота, независимость. В первой половине 20-х годов ХХ века великий немецкий математик Давид Гильберт (1862 – 1943) наметил план исследований в области оснований математики, получивший впоследствии название «Геттингенской программы». В максимально упрощенном виде ее можно изложить следующим образом: математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:

1)  математика является полной, т. е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины;

2)  математика является непротиворечивой, т. е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение в рамках математической науки, не нарушая принятых правил рассуждения;

3)  математика является разрешимой, т. е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.

Именно в этой программе окончательно сформировались принципиальные положения аксиоматического метода, и было осознано его значение для математики. Математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда она принимает характер аксиоматической теории.